Lemma 2. Se U V é un sottospazio vettoriale di V allora 0 U.

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1 APPUNTI d ESERCIZI PER CASA di GEOMETRIA pr il Corso di Laura in Chimica, Facoltà di Scinz MM.FF.NN., UNICAL (Dott.ssa Galati C.) Rnd, 3 April 2 Sottospazi di uno spazio vttorial, sistmi di gnratori, basi dimnsion. Sia K un campo, ch, pr smplicità, possiamo supporr ugual al campo di numri rali R o al campo di numri complssi C, sia V uno spazio vttorial su K. Dfinizion. Un sottospazio vttorial U di V é un sottoinsim non vuoto U V ch é uno spazio vttorial risptto all oprazioni di somma prodotto strno dfinit su V. Lmma. Un sottoinsim non vuoto U di V é un sottospazio vttorial s solo s sono vrificat l sgunti du proprità:. Pr ogni coppia di vttori u, v U, si ha ch u + v U. (chiusura risptto alla somma) 2. Pr ogni scalar λ K pr ogni vttor v V, si ha λv V. (chiusura risptto al prodotto strno) Lmma 2. S U V é un sottospazio vttorial di V allora U. Dim. Poiché U é non vuoto sist un vttor v U. Inoltr, poiché U é chiuso risptto al prodotto strno, si ha ch v = U. Dfinizion 2. Un sottospazio vttorial U di V si dic banal s U = {} oppur U = V. Si dic proprio o non banal altrimnti. Proposizion. Dati du sottospazi U W di uno spazio vttorial V su K, la loro intrszion U W é pur un sottospazio di V. Dim. Dimostrar pr srcizio. A diffrnza dll intrszion, l union U W di du sottospazi vttoriali U W di uno spazio vttorial V non é un sottospazio vttorial di V. Pr srcizio si sibiscano du sottospazi non banali di R 2 la cui union non é un sottospazio. Siano v,..., v k vttori di uno spazio vttorial V. Indichiamo con < v,..., v k > l insim dll combinazioni linari di qusti vttori < v,..., v k >= {λ v λ k v k, λ,..., λ k K}. Lmma 3. < v,..., v k > é un sottospazio vttorial di V dtto il sottospazio gnrato da v,...,v k. Dim. Siano u = i λ iv i w = i µ iv i vttori di < v,..., v k >. Allora u+v = i (λ i+µ i )v i. Prció v + w < v,..., v k > < v,..., v k > é chiuso risptto alla somma. Mostrar pr srcizio la chiusura risptto al prodotto strno. Dfinizion 3. Siano dati vttori v,..., v k di un sottospazio U di uno spazio vttorial V. Diciamo ch l insim di vttori {v,..., v k } é un sistma di gnratori di U s U =< v,..., v k >.

2 Dfinizion 4. Siano v,..., v k vttori di uno spazio vttorial V su K. Diciamo ch v,..., v k sono linarmnt indipndnti s, pr ogni k-upla di scalari λ,..., λ k tali ch λ v λ k v k =, () si ha λ = λ 2 =... = λ k =. Altrimnti, i vttori si dicono linarmnt dipndnti. In altr parol, k vttori v,..., v k sono linarmnt indipndnti s l unica k-upla di scalari λ,..., λ k tal ch la () é vrificata é λ = λ 2 =... = λ k =. Lmma 4. Siano dati n vttori v,..., v n in V. S v,..., v n vttori linarmnt indipndnti, allora nssuno di ssi é il vttor nullo d, inoltr, v,..., v k vttori linarmnt indipndnti pr ogni k n. S invc sist k < n tal ch i vttori v,..., v k sono linarmnt dipndnti, allora i vttori v,..., v n sono linarmnt dipndnti. Dim. Dimostrar pr srcizio. Un sottospazio U =< v > ch gnrato da un unico vttor non nullo v, si dic anch la rtta gnrata da, v. Un sottospazio W < v, w > gnrato da du vttori linrmnt indipndnti v w si dic anch il piano gnrato dai vttori v w. Ma non tutt l rtt i piani sono sottospazi!!! Lmma 5. Siano dati n vttori v,..., v n in V. Allora v,..., v n sono linarmnt dipndnti s solo s almno uno di ssi, diciamo v si scriv com combinazion linar dgli altri v = n i=2 λ iv i Dim. Supponiamo v,..., v n sono linarmnt dipndnti. Allora sistono scalari non tutti nulli λ i tali ch λ v λ k v k =. A mno di rinominar i vttori v i i rlativi scalari scalari λ i, possiamo supporr λ, possiamo dividr pr λ, ottnndo l uguaglianza v + λ λ 2v λ λ kv k =, dalla qual si dduc ch v = λ λ 2v 2... λ λ kv k. Dfinizion 5. Una bas finita {v,..., v k } di un sottospazio U di V é il dato di un numro finito di vttori v,..., v k di U tali ch a) {v,..., v k } é un sistma di gnratori di U; b) i vttori v,..., v k sono linarmnt indipndnti. Esmpio. I vttori =..., n = considrati com spazi vttoriali rali, dtta bas canonica. costituiscono una bas di Rn di C n,

3 Lmma 6. Siano v,..., v k vttori di uno spazio vttorial V su K. Allora {v,..., v k } é una bas di V ss pr ogni v V sistono sono unici scalari a,..., a k tali ch v = i a i v i = a v a k v k. a Tali scalari si chiamano coordinat di v risptto alla bas {v,..., v k }, si scriv v = a k risptto alla bas {v,..., v k } di U. Dim. Sia v V supponiamo {v,..., v k } bas di V. Allora poiché {v,..., v k } é una bas d, in particolar, é un sistma di gnratori di V, sistono scalari a i tali ch v = i a iv i = a v a k v k. Cio mostra ch v si scriv com combinazion linar di vttori dlla bas. Motriamo ch tal combinazion linar é unica. Supponiamo prcio ch sistano scalari b,..., b k tali ch v = a v a k v k = b v b k v k. Allora, n dduciamo ch (a b )v (a k b k )v k =. Pr la linar indipndnza di vttori v i, sgu ch a b = =... = b k a k. Ció mostra ch, s {v,..., v k } bas di V allora ogni vttor di V si sprim in modo unico com combinazion linar di vttori v i. Mostrar pr srcizio l implicazion invrsa. S U é un sottospazio di K n é una sua bas, allora l quazioni v v k v =..., v k = v n v nk x v v k = λ λ k λ,...λ k K, x n v n v nk si dicono quazioni paramtrich di U. Esmpio. I vttori d i sono una bas dllo spazio vttorial ral C, poiché ogni numro complsso a + ib = a + b i si sprim in modo unico com combinazion linar di i, con scalari uguali alla part ral d alla part immaginaria rispttivamnt. Analogamnt, i vttori = ( ) ( ) i, 2 =, 3 = ( ), 4 = ( ) i

4 ( ) a + ib costituiscono una bas dllo spazio vttorial ral C 2. Infatti, pr ogni vttor v =, c + id val l uguaglianza ( ) ( ) ( ) ( ) i v = a + b + c + d. i ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) a + ib i i Inoltr, s v = = a + b + c + d = a c + id i + b + c + ( ) ( ) a d = + ib i c + id, allora a + ib = a + ib c + id = c + id. Prció, poiché du numri complssi sono uguali ss hanno uguali part ral d immaginaria, si dv avr a = a, b = b, c = c d = d, com volvasi dimostrar. Pr il lmmma prcdnt, assgnar una bas di uno spazio vttorial é quivalnt ad assgnar un sistma di rifrimnto su di sso, ovvro prmtt di idntificar ciascun vttor di qusto spazio vttorial con un vttor ad m componnti numrich, dov m é il numro di vttori dlla bas. Vogliamo ora capir s uno spazio vttoril puó avr piú basi d, in caso affrmativo, s siano costituit dallo stsso numro di vttori. Abbiamo bisogno di sgunti du risultati. Lmma 7. Siano v,..., v k vttori di uno spazio vttorial V su K. Allora {v,..., v k } sono linarmnt indipndnti ss v v i non appartin allo spazio vttorial < v,..., v i >, pr ogni i 2. Dim. Supponiamo {v,..., v k } siano linarmnt indipndnti. Allora il vttor v é non nullo poiché altrimnti si avrbb l uguaglianza = v + v v k contro l ipotsi ch v,..., v k sono linarmnt indipndnti. Analogamnt, s pr assurdo sist v i tal ch v i < v,..., v i >, in particolar v i = λ v ++λ i v i, allora λ v ++λ i v i v i + v i+ + + v k =, contro l ipotsi di linar indipndnza. Assumiamo, vicvrsa, ch v v i non appartin allo spazio vttorial < v,..., v i >. Pr assurdo si assuma ch v,..., v k siano linarmnt dipndnti. Allora sistono scalari λ i tali ch λ v λ k v k = l insim A = {i λ i } é non vuoto. Poiché A é un insim finito non vuoto di numri naturali, A possid un massimo. Sia M = max(a). Allora si ha = λ v λ k v k = λ v λ M v M, poiché λ M+ =... = λ k =. Inoltr, poiché λ M, possiamo dividr l uguaglianza sopra pr λ M, ottnndo ch v M = λ λ m v... λ M λ M v M, contro l ipotsi ch v M non appartint allo spazio vttorial gnrato da v, v 2,..., v M. lmma é cosí dimostrato. Torma-Dfinizion. Sia {v,..., v k } una bas finita di uno spazio vttorial V. Allora ogni altra bas di V é costituita da k vttori. Si dic ch lo spazio vttorial V ha dimnsion finita pari a k si pon dim(v ) = k. Il

5 Inoltr, s V ha dimnsion finita, allora ogni sottospazio W di V ha dimnsion finita tal ch dim(w ) dim(v ) dim(w ) = dim(v ) s solo s W = V. S W = {}, di pon, pr convnzion, dim(w ) =. Corollario. Si V uno spazio vttorial di dimnsion k. Allora, comunqu si sclgano r > k vttori w,..., w r in V, qusti sono linarmnt dipndnti. Mntr comunqu si sclgano k vttori linarmnt indipndnti di V qusti cosituiscono una bas V. Dim. Pr assurdo sia dim(v ) = k d assumiamo sistano r > k vttori w,..., w r V linarmnt indipndnti. Allora {w,..., w r } é una bas dllo spazio < w,..., w r > gnrato dai vttori w i. In particolar, si ha dim(< w,..., w r >) = r > k. D altra part < w,..., w r > é un sottospazio di V. Prció, pr il torma prcdnt, dv ssr dim(< w,..., w r >) < k. Abbiamo cosı ottnuto una contraddizion i vttori w,..., w r sono linarmnt dipndnti. Siano infin w,..., w k vttori linarmnt indipndnti di V. Allora, ragionando com sopra, < w,..., w k > é un sottospazio di dimnsion k = dim(v ) di V. Smpr pr il prcdnt torma, n dduciamo ch V =< w,..., w r >, ottnndo l assrto. Problma di strazion di una bas Supponiamo di avr r vttori w,..., w r in uno spazio vttorial V. Ci chidiamo com dtrminar una bas dllo spazio vttorial < w,..., w r > V. Prima di tutto dobbiamo vrificar s i vttori w i sono o mno linrmnt indipndnti. In caso affrmativo ssi costituistono una bas di < w,..., w r >. Nl caso in cui risultino invc linarmnt dipndnti allora almno uno di ssi, diciamo w é combinazion linar dgli altri, w = r i=2 λ iw i. In particolar, sgu ch < w,..., w r >=< r λ i w i, w 2,..., w r >=< w 2,..., w r >. i=2 Pr mostrar qusto, é sufficint mostrar ch < w,..., w r > < w 2,..., w r > < w 2,..., w r > < w,..., w r >. La sconda inclusion é ovvia. Pr dimostrar la prima, ossrviamo ch pr ogni v = i µ iw i < w,..., w r >, abbiamo ch v = r r µ i w i = µ ( λ i w i ) + µ 2 w µ r w r = (λ 2 µ + µ 2 )w (λ r µ + µ r )w r, i= i=2 da cui l assrto. Ora, s i vttori w 2,...w r sono linarmnt indipndnti, allora ssi costituiscono una bas dllo spazio vttorial < w,..., w r >=< w 2,..., w r >, altrimnti, itrando smpr lo stsso ragionamnto, si trova un sottoinsim di {w,..., w r } costituito da vttori linarmnt indipndnti ch sono una bas di < w,..., w r >.

6 ESERCIZI. ESERCIZIO. Dati i sottospazi U = x y = λ 3 λ R R3 z W = { x y x z = }, z calcolar una bas di U, W U W. ESERCIZIO 2. Quali di sgunti vttori v = w = appartin al piano < 2 2 > R 3? ESERCIZIO 3. Si vrifichi ch v = 2 v 2 = v 3 = 5 3 é una bas di R 3 si trovino l coordinat di v = risptto a tal bas. ESERCIZIO 4. Si considri il sottospazio U di R 3 di quazion U : 3x 6y + z =. Si vrifichi ch il vttor bas appartin a U si scriva v in coordinat risptto alla sgunt 9 v = 3 v 2 = 2 di U. ESERCIZIO 5. Costruir una bas di C 3 ch contnga il vttor i. ESERCIZIO 6. Trovar dimnsion d quazioni paramtrich di sgunti sottospazi vttoriali di R 3 : { x + y + z = x + y + z = x 5y + z = U : x y z =, W : x z =, T : x 5y + z =, Ω : x z =. 3x + 2y + z = x + y + z =

7 ESERCIZIO 7. Si calcoli una bas di ciascuno di sgunti du sottospazi < > R 3. < 2 2 > R 3 ESERCIZIO 8. Dtrminar una bas calcolar la dimnsion dllo spazio vttorial M(2, 2; R) dll matrici 2 2 a cofficinti in R. Si svolga lo stsso srcizio pr M(2, 2; C), considrato com spazio vttorial complsso ral. ESERCIZIO. Nllo spazio vttorial M(2, 2; K) dll matrici 2 2 a cofficinti in K, si considri l insim {( ) } a a U = 2 a a 2 a + a 22 =. 22 Si dimostri ch U é un sottospazio vttorial di M(2, 2; K). Si dtrmini una bas di U si calcoli, infin, la sua dimnsion. ESERCIZIO. Nllo spazio vttorial M(3, 3; R) dll matrici 3 3 a cofficinti in R, si considri l insim U = a a 2 a 3 a 2 a 22 a 23 a 22 + a 33 =, a =. a 3 a 32 a 33 Si dimostri ch U é un sottospazio vttorial di M(3, 3; R). Si dtrmini una bas di U si calcoli, infin, la sua dimnsion. ESERCIZIO 2. Nllo spazio vttorial complsso M(2, 2; C) dll matrici 2 2 a cofficinti in C, si considrino i sottospazi {( ) a a U = 2 a 2 a 22 {( ) a a V = 2 a 2 a 22 tali ch a = a 22 } } tali ch a 2 =. Dtrminar una bas calcolar la dimnsion di U, V U V. Si svolga poi lo stsso srcizio considrando M(2, 2; C) com spazio vttorial ral.