FISICA. Lezione n. 5 (2 ore) Gianluca Colò Dipartimento di Fisica sede Via Celoria 16, Milano

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1 Università degli Studi di Milano Facoltà di Scienze Matematiche Fisiche e Naturali Corsi di Laurea in: Inormatica ed Inormatica per le Telecomunicazioni Anno accademico 00/, Laurea Triennale, Edizione diurna FISICA Lezione n. 5 ( ore) Gianluca Colò Dipartimento di Fisica sede Via Celoria 6, 033 Milano web page: gianluca.colo@mi.inn.it Carlo Pagani Dipartimento di Fisica Laboratorio LASA Via F.lli Cervi 0, 0090 Segrate (Milano) web page: carlo.pagani@unimi.it

2 Equazione di Newton in D e 3D Questa equazione può essere proiettata sulle tre direzioni indipendenti x, y e z La orza è F F x i + F y j + F y k Σ(F i,x ) i + Σ(F i,y ) j + Σ(F i,z ) k e dunque si ha: F x ma x F y ma y F z ma z F m a Gianluca Colò & Carlo Pagani Fisica per Inormatica 0

3 Caduta libera e moto parabolico Sono questi due moti dovuti all accelerazione di gravità, g, prodotta dalla orza di gravità, F g y Come si procede:. Si sceglie il sistema di coordinate. Si ricava l accelerazione dalle orze 3. Si ricava l equazione del moto dall accelerazione 4. Si applicano le condizioni iniziali Esempio del grattacielo: 0 Esempio del proiettile: g Nota: i risultati non dipendono dalla massa m Gianluca Colò & Carlo Pagani 3 Fisica per Inormatica 0

4 Moto parabolico (seguito) Le equazioni generali sono: La traiettoria si ottiene eliminando il tempo: g Quelle sopra sono equazioni generali Formula speciica: gittata R (punto di ritorno alla quota si partenza) Altra ormula speciica: punto più alto della traiettoria: Gianluca Colò & Carlo Pagani 4 Fisica per Inormatica 0

5 In igura è rappresentato un proiettile lanciato verso un terrapieno di altezza h con velocità iniziale v m/s e angolo di lancio θ 0 60 sopra il piano orizzontale. Il proiettile cade nel punto A, 5 s dopo il lancio. Calcolare: a) l altezza del terrapieno, b) la velocità del proiettile all impatto, c) la massima altezza, H, che esso ha raggiunto sopra il livello del terreno. Si trascuri la resistenza dell aria. I dati del problema sono: x 0 y 0 0 t 5 s θ 0 60 v 0.x 4.0 cos(θ 0 ).0 m/s v 0.y 4.0 sin(θ 0 ) 36.4 m/s y(t ) h? Esercizio sul moto parabolico Utilizzando le equazioni di pagina precedente, calcolo i valori di x(t) e y(t) all istante t t v ( t ) v x( t ) v t 5 m 05 m v x y ( t ) a 0, x y t + v 0, y g t + v 0, y 0, x y( t [ ] ) Per calcolare il valore di H notiamo che il proiettile raggiunge la quota massima quando la sua velocità verticale si annulla per passare da ascendente (v y > 0) a discendente (v y < 0). Calcolo quindi il valore di t H al quale v y 0 e poi sostituisco il valore trovato nella y (t) poiché H y (t H ) - v0, y 36.4[ m s ] vy ( th ) g th + v0, y 0 th 3.70 s - g 9.83 m s H y( t H ) Gianluca Colò & Carlo Pagani 5 gt + v 0, y t 9.83 ms y v g t + v 0, y t h m [ ] [ ] 3.7 [ s ] [ ms ] 3.7[ s] 67.4 m Fisica per Inormatica 0 x

6 Il moto armonico Le oscillazioni sono onnipresenti nella vita quotidiana, dalle vibrazioni alla musica. Il moto oscillatorio ondamentale è il moto armonico semplice. Ad esempio, il moto associato ad una orza elastica, cioè proporzionale allo spostamento con segno opposto, genera un moto armonico! L andamento della coordinata di spostamento (x) nel tempo è rappresentato da una unzione caratteristica, detta sinusoide. Gianluca Colò & Carlo Pagani 6 Fisica per Inormatica 0

7 Legge oraria del moto armonico L equazione caratteristica di un moto periodico o armonico ed i suoi parametri principali sono: Grandezza Unità SI Simbolo / Relazione Frequenza hertz, Hz Hz oscillazione al secondo Periodo s Tempo per un oscillazione completa Ampiezza Pulsazione radianti/s Escursione massima dalla posizione di equilibrio T ν ν x m π ω πν T Gianluca Colò & Carlo Pagani 7 Fisica per Inormatica 0

8 Dinamica del moto armonico Nota la legge oraria possiamo ricavare le espressioni di velocità ed accelerazione del moto armonico: dx d dv v( t) [ xm cos ( ω t + ϕ) ] ωxm sin( ωt + ϕ) a( t) ω xm cos( ωt + ϕ) dt dt dt E con queste, applicare il II principio della dinamica: Dunque il classico sistema massa-molla è caratterizzato da un moto armonico semplice e lineare per cui vale: Pulsazione Periodo ( mω ) x kx ; k mω F ma ω T π k m m k Gianluca Colò & Carlo Pagani 8 Fisica per Inormatica 0

9 Il pendolo semplice L oscillatore lineare è un valido modello per un grande numero di sistemi isici in cui è presente un oscillazione, ad esempio il pendolo La scomposizione delle orze per un generico angolo θ permette di ricavare l espressione della orza di richiamo: F osc F sin ( θ ) mg sin( θ ) Non si tratta dunque di una orza di richiamo lineare! Ma per piccoli angoli vale sempre che: g sin( θ ) θ E dunque, solo per piccoli scostamenti, possiamo scrivere: F ( θ ) mg sin( θ ) mgθ kθ k mg F sin ; osc g Otteniamo inatti una legge di moto armonico per la variabile θ: g π θ θ sin t 0 θ0 sin( ωt) ; T π L ω L g Gianluca Colò & Carlo Pagani 9 Fisica per Inormatica 0

10 Gravitazione Newton per primo mise in relazione la orza che attira gli oggetti alla supericie terrestre con la orza che vincola i corpi celesti e ormulò qualitativamente la legge di gravitazione universale: Ogni corpo dotato di massa esercita una orza attrattiva gravitazionale su ogni altro oggetto massivo, e a sua volta subisce la stessa attrazione La legge di gravitazione può essere espressa così: F G m m r m ed m sono le masse dei corpi, r è la distanza tra loro e G, la costante di gravitazione universale, ha valore pari a: 6,67 0 N m / kg E proprio un classico esempio di azione e reazione secondo la III legge della dinamica G Gianluca Colò & Carlo Pagani 0 Fisica per Inormatica 0

11 Gravitazione - La legge della gravitazione può essere espressa in orma vettoriale nel seguente modo: rˆ L elemento è detto versore, è un vettore di modulo unitario diretto lungo la congiungente le due particelle Una sera di materiale uniorme da un punto di vista gravitazionale attira una particella posta al suo esterno come se tutta la massa osse concentrata nel suo centro Se un corpo interagisce per gravitazione con n altri corpi, vale il principio di sovrapposizione: la orza risultante è data dalla somma dei singoli eetti Questo si applica anche ad un corpo esteso: Gianluca Colò & Carlo Pagani Fisica per Inormatica 0

12 Le leggi di Keplero ed il moto dei pianeti Johannes Kepler, astronomo tedesco (57-60), arrivò a ormulare tre leggi empiriche che governano i moti dei pianeti. In seguito Newton dimostrò come si possano tutte derivare dalla legge della gravitazione legge o legge delle orbite: Tutti i pianeti si muovono su orbite ellittiche, di cui il sole occupa uno dei due uochi legge o legge delle aree: Il segmento che collega un pianeta al sole descrive aree uguali in tempi uguali 3 legge o legge dei periodi: Il quadrato del periodo di un pianeta è proporzionale al cubo del semiasse maggiore della sua orbita Gianluca Colò & Carlo Pagani Fisica per Inormatica 0

13 3 legge di Keplero per i pianeti Orbita circolare Moto Circolare Uniorme 3 T r Orbita ellittica 3 T R a 3 T r E le cose si anno molto più complicate Attraverso il II principio della dinamica e le leggi del moto circolare possiamo esprimere la terza legge di Keplero come: T π GM 4 r 3 Gianluca Colò & Carlo Pagani 3 Fisica per Inormatica 0

14 Il centro di massa - Il centro di massa di un corpo o di un sistema di corpi è il punto che si muove come se vi osse concentrata tutta la massa e vi agissero tutte le orze esterne Per un sistema costituito da n masse concentrate m i e dalla massa totale pari a M in uno spazio a tre dimensioni il centro di massa ha coordinate: x cdm M n i m x i i ; y cdm M n i m y i i ; z cdm M n i m z i i M n i m i Le tre equazioni scalari possono essere sostituite da un unica equazione vettoriale Gianluca Colò & Carlo Pagani 4 Fisica per Inormatica 0

15 Il centro di massa - Le coordinate del centro di massa di un sistema di masse concentrate, dipendono dal sistema di rierimento (ma questo non è vero per la sua posizione rispetto alle masse stesse) m kg ; m 3 kg d 4 m M x x 0 ; x d 4 m cdm n i M m kg + 3 kg 4 kg i n i mi xi ( )[ kg m] 3 m 4 kg x x.5 ; x x + d 5.5 m M cdm n i M m kg + 3 kg 4 kg i n i mi xi ( )[ kg m] 4.5 m 4 kg m kg ; m.5 kg ; m 3 kg ; M 4.5 kg ; a 50 cm Gianluca Colò & Carlo Pagani 5 Fisica per Inormatica 0

16 La quantità di moto Deiniamo la quantità di moto o momento lineare di un corpo puntiorme il vettore: m massa del corpo v velocità del corpo La ormulazione originale del II principio della dinamica è data proprio in unzione della quantità di moto! Vale inatti l equazione: Che non è altro che un enunciazione perettamente equivalente della già vista: La rapidità di variazione del momento di una particella è proporzionale alla orza netta che agisce sulla particella e ha la stessa direzione di quella orza Gianluca Colò & Carlo Pagani 6 Fisica per Inormatica 0

17 Conservazione della quantità di moto Nel caso di un sistema di più corpi dalla massa totale M deiniamo la quantità di moto totale del sistema come: v cdm è le velocità del centro di massa del sistema Dalla deinizione stessa di quantità di moto segue che, per un sistema di più particelle che: sia isolato: la risultante di tutte le orze esterne è nulla sia chiuso: nessuna particella entra o esce dal sistema vale che: F risult. ρ dp 0 0 dt P costante > P iniziale P inale E il principio di conservazione della quantità di moto. Gianluca Colò & Carlo Pagani 7 Fisica per Inormatica 0

18 Conservazione quantità di moto - Esempio: Un astronave che procede alla velocità di 00 km/h espelle uno stadio esaurito di massa pari al 0% della massa totale e alla velocità relativa v r 500 km/h. Determinare la velocità inale dell astronave dopo l espulsione. Il sistema è chiuso e vale la conservazione della quantità di moto > P P i P i M v i P M [0.8 v + 0. (v v r )] > > v v i + 0. v r ( ) 00 km/h Esempio: Un disco esplode al centro in tre pezzi che si muovono senza attrito su un piano. Determinare la velocità di un pezzo note le direzioni delle velocità, la suddivisione della massa e una delle velocità delle parti v B 9.94 m/s v A M C v C cos(80 ) + M B v B cos(50 ) 3 m/s Dati: M A 0.5M M B 0.M M C 0.3M v C 5 m/s v B? v A? Il sistema è chiuso e vale la conservazione della quantità di moto > P P i 0. P x - M A v A + M C v C cos(80 ) + M B v B cos(50 ) 0 P y 0 + M C v C sin(80 ) - M B v B sin(50 ) 0 > M B v B M C v C sin(80 )/sin(50 ) > v B.5 v C sin(80 )/sin(50 ) Gianluca Colò & Carlo Pagani 8 Fisica per Inormatica 0

19 Impulso La quantità di moto rappresenta un potente mezzo per la risoluzione di problemi legati alla collisione tra due o più corpi. Durante l urto una orza rapidamente variabile F(t) agisce per un tempo breve, da t a t, inducendo una variazione della quantità di moto p di un corpo. Possiamo scrivere: variazione di quantità di moto deinizione di impulso teorema dell impulso p <F> t orza media che agisce nell intervallo di tempo t Gianluca Colò & Carlo Pagani 9 Fisica per Inormatica 0