Corso di Idraulica ed Idrologia Forestale

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1 Corso di Idraulica ed Idrologia Forestale Docente: Prof. Santo Marcello Zimbone Collaboratori: Dott. Giuseppe Bombino - Ing. Demetrio Zema Lezione n. 1: Correnti a pelo libero Anno Accademico

2 Indice Generalità sulle correnti a pelo libero Espressione dell'energia specifica Stato critico Correnti lente e veloci Scala delle portate - portata critica Espressione dell'energia critica nella sezione rettangolare Il moto uniforme di una corrente a superficie libera Alvei a debole/forte pendenza

3 Indice Il moto permanente in correnti a superficie libera Profili di moto permanente in alveo prismatico Profili di corrente in alveo a debole pendenza Profili di corrente in alveo a forte pendenza Trasformazione di una corrente lenta in una corrente veloce e viceversa Applicazioni: Passaggio sotto una paratoia Passaggio su una soglia

4 Materiale didattico Slides delle lezioni frontali Citrini-Noseda (pagg [applicazioni])

5 Generalità Una corrente a superficie libera (o a pelo libero) presenta una superficie a contatto con l atmosfera, l sulla quale pertanto la pressione relativa è nulla La superficie libera è dunque isobarica

6 Generalità Sezione trasversale A = area L = larghezza in superficie h = altezza, profondità o tirante idrico C = contorno bagnato

7 Generalità Sezione longitudinale Si distinguono: la linea del fondo la linea della superficie libera (o( profilo del pelo libero) Il tirante idrico h è normale al fondo

8 Generalità Ipotesi: 1) corrente lineare le traiettorie sono sensibilmente rettilinee e parallele

9 Generalità ) pendenza del fondo piccola il tirante idrico - normale alla linea di fondo - si può confondere con la verticale Ad esempio per α = risulta cos α 1 (e d altra d parte senα tanα)

10 Generalità Se sono vere le ipotesi 1 e, potremo considerare le pressioni variabili lungo la normale alla linea di fondo con legge idrostatica Preso un riferimento coincidente col fondo di una sezione, risulterà: p z = + γ h

11 Espressione dell'energia specifica Energia specifica o carico totale: H = z + p γ + α v g È generalmente più comodo, in una data sezione, considerare il carico o energia specifica E riferiti al fondo della stessa: E = h V + α g

12 Espressione dell'energia specifica Introducendo la portata Q: Q E = h + α Q g A In una data sezione, a parità di portata,, l energia l specifica riferita al fondo E ed il tirante idrico h sono correlati

13 Espressione dell'energia specifica Studio qualitativo della funzione E = f(h),, per portata Q fissata e costante: per h 0 A 0 E per h Q ga 0 E h E = h + α Q g A

14 Stato critico Stato critico: minima energia specifica E rispetto al fondo con cui una portata Q può transitare in una data sezione energia critica altezza critica velocità critica

15 Correnti lente e veloci Le correnti con h > h c si dicono correnti lente ; ; esse hanno V < V c Le correnti con h < h c si dicono correnti veloci ; ; esse hanno V > V c

16 Correnti lente e veloci Una data portata può transitare in una sezione come corrente lenta o corrente veloce: ciò dipenderà dalle condizioni di moto che governano la corrente stessa

17 Scala delle portate D altra parte, in una data sezione, possiamo ricavare il tirante idrico h in funzione di E e Q; risulta: h = E α Q g A

18 Scala delle portate h = E α Q g A Q = A g α ( E h) In una data sezione, a parità di energia specifica E, il tirante idrico h e la portata Q sono correlati: per h = 0 A = 0 Q = 0 per h = E Q = 0

19 Portata critica Stato critico: massima portata Q che può transitare in una sezione con una data energia specifica E portata critica altezza critica velocità critica

20 Espressione dell'energia critica nella sezione rettangolare Se ci riferiamo ad una sezione rettangolare di larghezza L, posto: Q P = L (dove P è denominata portata specifica), risulta, se α = 1: 1 da cui: h + h P g h Q E = h + = h + = 0 P g L h g h La minima energia E c si trova ponendo: P g h 1 3 E h = 0 = 0

21 Espressione dell'energia critica nella sezione rettangolare Se h c è il valore di h per cui l equazione l è soddisfatta e P c la corrispondente portata specifica, d altra parte si ha: da cui: P V c c = = P h c c h g h 3 c = 3 c = h c P g h c g 3 c = g h Vc 1 E c = hc + = hc + hc = g c 3 h c

22 Il moto uniforme di una corrente a superficie libera Il moto è caratterizzato dal fatto che la corrente presenta in tutte le sezioni la stessa velocità,, la stessa altezza e la stessa area della sezione Segue da ciò che nel n moto uniforme la pendenza piezometrica coincide con la pendenza del fondo i = J Anche la linea dei carichi totali sarà parallela al fondo

23 Il moto uniforme di una corrente a superficie libera Formula di Darcy-Weisbach J = f v gd ƒ = indice di resistenza,, calcolabile con la formula di Prandlt per tubi scabri 1 f = 1 ε log 3,715 D sostituendo in essa l espressione l 4R i al posto di D, dove R i è il raggio idraulico

24 Il moto uniforme di una corrente a superficie libera Formula di Chèzy V = χ R i J Formula di Gauckler-Strickler V = K R i 3 J 1 χ e K coefficienti di scabrezza (tabellati nei manuali)

25 Il moto uniforme di una corrente a superficie libera Se si sceglie la formula di Gauckler-Strickler Strickler,, per la sezione rettangolare si ha: Q = AkR / 3 i i

26 Il moto uniforme di una corrente a superficie libera essendo: Q = VA si ha: Q = A = Lh0k Lh 0 Lh0 L h + 0 / 3 Ri i = A / C = L Lh 0 + h 0

27 Alvei a debole/forte pendenza Abbiamo visto che esiste una relazione univoca fra l altezza di moto uniforme h 0 e la portata Q, data ad esempio dalla formula di Chezy Esiste, come detto, anche una relazione univoca tra una fissata portata Q e l altezza critica h c, che dipende dalla forma della sezione trasversale, ma non dalle altre caratteristiche idrauliche del canale

28 Alvei a debole/forte pendenza Data la portata Q e individuate l altezza di moto uniforme h 0 e l altezza critica h c, se risulta: h 0 > h c si dice che il moto uniforme è in corrente lenta Se invece risulta: h < 0 h c si dice che il moto uniforme è in corrente veloce

29 Alvei a debole/forte pendenza Definiremo canali con pendenza critica i c quelli per cui l altezza di moto uniforme h 0 coincide con l altezza critica h c Se risulta: i < i c si dice che l alveo è a debole pendenza e il moto uniforme si svolge in corrente lenta Mentre se risulta: i > i c si dice che l alveo è a forte pendenza e il moto uniforme si svolge in corrente veloce

30 Il moto permanente in correnti a superficie libera Il moto permanente di una corrente a superficie libera è caratterizzato dal fatto che, non variando con il tempo le sezioni idriche, la portata deve restare costante in tutte le sezioni,, secondo l equazione l di continuità Q s + A t = 0

31 Il moto permanente in correnti a superficie libera Restando costante la portata, lungo l'ascissa s può tuttavia variare l area l e con essa la velocità e l altezza; l la superficie libera della corrente, in una sezione longitudinale, presenterà quindi un profilo non parallelo al fondo, detto appunto profilo di moto permanente

32 Il moto permanente in correnti a superficie libera Equazione di conservazione dell energia energia sezioni 1 e a distanza s: tra le due z 1 + h 1 + v 1 g = z + h + v g + H H è la perdita di carico totale

33 Il moto permanente in correnti a superficie libera H = J s J s è la perdita di carico dovuta alle resistenze al moto nel tratto di lunghezza s (J è la pendenza della linea dei carichi totali) z 1 + E1 = z + E + J s

34 Il moto permanente in correnti a superficie libera E E 1 = ( i J ) s essendo: z z = 1 i s e per una distanza infinitesima ds: de = i J ds

35 Il moto permanente in correnti a superficie libera Adottando per la perdita di carico unitaria l espressione: V C R Q A C J = = desunta dalla formula di Chezy,, si evince che J è tanto minore quanto maggiore è h,, crescendo con h il denominatore per fissata portata Q R

36 Il moto permanente in correnti a superficie libera Pertanto: i = J in condizioni di moto uniforme (h = h 0 ) i > J per correnti lente (aventi h > h 0 ) i < J per correnti veloci (aventi h < h 0 )

37 Il moto permanente in correnti a superficie libera L energia specifica E dipende da h ed h varia lungo l alveo con l ascissa l s; in termini analitici E = f [h(s)] Pertanto: de ds = E h dh ds

38 Profili di moto permanente in alveo prismatico L equazione che fornisce la variazione dell altezza della corrente in funzione dell ascissa s si può porre infine nella forma: de dh dh i J = ds de ma: = ds de = i J ds de ds dh dh

39 Profili di corrente in alveo a debole pendenza In un alveo a debole pendenza l altezza l di moto uniforme è superiore all altezza altezza critica TRE PROFILI Profilo al di sopra dell altezza di moto uniforme Profilo compreso tra l altezza l critica e l altezza l di moto uniforme Profilo compreso tra il fondo e l altezza l critica

40 Profili di corrente in alveo a debole pendenza 1. Profilo al di sopra dell altezza di moto uniforme Essendo h 0 > h c, la corrente è lenta E > 0 h avendo la corrente h > h 0, dev essere essere J < i, cioè i - J > 0 e, poiché: dh i J = ds de dh

41 Profili di corrente in alveo a debole pendenza 1. Profilo al di sopra dell altezza di moto uniforme risulta: dh ds > 0 Le altezze crescono con l ascissa l s e si trova un profilo di corrente lenta ritardata,, denominato con la sigla D1

42 Profili di corrente in alveo a debole pendenza 1. Profilo al di sopra dell altezza di moto uniforme Verso monte h tende ad h 0, J tende ad i, i J tende a 0, mentre il denominatore ha un valore finito e si ha: dh ds Il moto uniforme viene raggiunto asintoticamente (h tende ad h 0 ) 0

43 Profili di corrente in alveo a debole pendenza 1. Profilo al di sopra dell altezza di moto uniforme de Verso valle le h crescono; E tende ad h, per cui 1, mentre J tende a 0 ed i J tende ad i, per cui: dh dh ds Il profilo tende all orizzontale i

44 Profili di corrente in alveo a debole pendenza. Profilo compreso tra l altezza l critica e l altezza l di moto uniforme Essendo h 0 > h c, la corrente è ancora lenta,, per cui: E h avendo la corrente h < h 0, dev essere essere J > i, cioè i - J < 0 > 0

45 Profili di corrente in alveo a debole pendenza. Profilo compreso tra l altezza l critica e l altezza l di moto uniforme Pertanto sarà: dh ds < 0 Il profilo, denominato D,, avrà altezze decrescenti con l ascissa s e quindi sarà un profilo di corrente lenta accelerata

46 Profili di corrente in alveo a debole pendenza. Profilo compreso tra l altezza l critica e l altezza l di moto uniforme Verso monte le h sono crescenti, J tende ad i, i J tende a 0, mentre il denominatore ha un valore finito e si ha dh ds Il moto uniforme viene raggiunto asintoticamente (h tende ad h 0 ) 0

47 Profili di corrente in alveo a debole pendenza. Profilo compreso tra l altezza l critica e l altezza l di moto uniforme Verso valle le h decrescono verso la h c, i J mantiene un valore finito,, mentre: de dh 0 Il profilo tende alla verticale e dh ds

48 Profili di corrente in alveo a debole pendenza 3. Profilo compreso tra il fondo e l altezza l critica Essendo h < h c, la corrente è veloce,, per cui risulta: E h < 0 avendo la corrente h < h 0, dev essere essere J > i, cioè i - J < 0

49 Profili di corrente in alveo a debole pendenza 3. Profilo compreso tra il fondo e l altezza l critica Essendo: sarà: dh ds = dh ds i J de dh > 0 e si avrà un profilo di corrente veloce ritardata detto D3

50 Profili di corrente in alveo a debole pendenza 3. Profilo compreso tra il fondo e l altezza l critica Verso monte per h tendenti a zero si trova un profilo con tangente verticale In realtà la parte del profilo con altezze più basse non può iniziare dal fondo alveo, ma da un altezza alquanto superiore a questo

51 Profili di corrente in alveo a debole pendenza 3. Profilo compreso tra il fondo e l altezza l critica Verso valle le h crescono e tendono ad h c, i J mantiene un valore finito,, mentre: de dh 0 e dh ds Il profilo tende alla verticale

52 Profili di corrente in alveo a forte pendenza In un alveo a forte pendenza l altezza l di moto uniforme è inferiore all altezza altezza critica TRE PROFILI Profilo al di sopra dell altezza critica Profilo compreso tra l altezza l critica e l altezza l di moto uniforme Profilo compreso tra il fondo e l altezza l di moto uniforme

53 Profili di corrente in alveo a forte pendenza 1. Profilo al di sopra dell altezza critica Essendo h > h c, la corrente è lenta E > 0 h avendo la corrente h > h 0, sarà anche J < i, quindi i J > 0 e poiché: dh i J = ds de dh

54 Profili di corrente in alveo a forte pendenza 1. Profilo al di sopra dell altezza critica risulta: dh ds > 0 Le altezze crescono con l ascissa l s e si trova un profilo di corrente lenta ritardata,, denominato con la sigla F1

55 Profili di corrente in alveo a forte pendenza 1. Profilo al di sopra dell altezza critica Verso monte i valori di h sono decrescenti verso h c, i J mantiene un valore finito,, mentre: E h Il l profilo ha tangente verticale 0

56 Profili di corrente in alveo a forte pendenza 1. Profilo al di sopra dell altezza critica Verso valle,, al crescere di h con l ascissa l s, J tende a 0, i J tende ad i,, mentre: E 1 per cui: h Il profilo tende a disporsi orizzontale h s i

57 Profili di corrente in alveo a forte pendenza. Profilo compreso tra l altezza l critica e l altezza l di moto uniforme Si ha h < h c e la corrente è veloce,, per cui: E < 0 h avendo la corrente h > h 0, sarà anche J < i, quindi i J > 0 e poiché: dh i J = ds de dh

58 Profili di corrente in alveo a forte pendenza. Profilo compreso tra l altezza l critica e l altezza l di moto uniforme si avrà: dh ds < 0 Il profilo, denominato F,, avrà altezze decrescenti con l ascissa s, e quindi sarà un profilo di corrente veloce accelerata

59 Profili di corrente in alveo a forte pendenza. Profilo compreso tra l altezza l critica e l altezza l di moto uniforme Verso monte h tende ad h c, i J tende ad un valore finito, mentre il denominatore tende a 0, per cui: h s = Il profilo si dispone con tangente verticale

60 Profili di corrente in alveo a forte pendenza. Profilo compreso tra l altezza l critica e l altezza l di moto uniforme Verso valle h tende a h 0, il denominatore tende ad un valore finito,, mentre J tende ad i, i J tende a 0, pertanto: dh ds Il profilo tende a raggiungere la pendenza i, cioè l altezza di moto uniforme 0

61 Profili di corrente in alveo a forte pendenza 3. Profilo compreso tra il fondo e l altezza l di moto uniforme Essendo h < h c, la corrente è veloce,, per cui risulta: E < 0 h avendo la corrente h < h 0, sarà anche J > i, quindi i J < 0 e poiché: dh i J = ds de dh

62 Profili di corrente in alveo a forte pendenza 3. Profilo compreso tra il fondo e l altezza l di moto uniforme si avrà: dh ds > 0 e si avrà un profilo di corrente veloce ritardata detto F3

63 Profili di corrente in alveo a forte pendenza 3. Profilo compreso tra il fondo e l altezza l di moto uniforme Verso monte h tende a 0 ed il profilo avrà tangente verticale In realtà la parte del profilo con altezze più basse non può iniziare dal fondo alveo, ma da una altezza alquanto superiore a questo

64 Profili di corrente in alveo a forte pendenza 3. Profilo compreso tra il fondo e l altezza l di moto uniforme Verso valle h tende ad h 0, J tende ad i, i J tende a 0, 0 mentre il numeratore tende ad un valore finito,, per cui si, avrà: h = 0 s Il profilo tende asintoticamente al moto uniforme

65 Profili di corrente in alveo a debole/forte pendenza Alveo a debole pendenza Il moto uniforme,, che è di corrente lenta,, viene sempre raggiunto asintoticamente verso monte

66 Profili di corrente in alveo a debole/forte pendenza Alveo a forte pendenza Il moto uniforme,, di corrente veloce,, viene raggiunto asintoticamente verso valle

67 Profili di corrente in alveo a debole/forte pendenza Alveo a debole pendenza Originata in una sezione qualsiasi di una corrente lenta, una perturbazione, che determina lo scostamento dal regime di moto uniforme, può risalire lungo l alveo l verso l infinito l a monte

68 Profili di corrente in alveo a debole/forte pendenza Alveo a forte pendenza Originata in una sezione qualsiasi di una corrente veloce, una perturbazione, che determina lo scostamento dal regime uniforme, non può che propagarsi verso valle

69 Profili di corrente in alveo a debole/forte pendenza Alveo a debole pendenza Allo stato critico si tende sempre verso valle

70 Profili di corrente in alveo a debole/forte pendenza Alveo a forte pendenza Allo stato critico si tende sempre verso monte

71 Profili di corrente in alveo a debole/forte pendenza Alveo a debole pendenza Alveo a forte pendenza Dei sei profili quattro corrispondono a correnti ritardate, due a correnti accelerate: questi ultimi si svolgono nell intervallo di altezze comprese fra quella critica e quella di moto uniforme, qualunque sia la pendenza dell alveo

72 Trasformazione di una corrente lenta in una corrente veloce e viceversa Una corrente lenta può trasformarsi in veloce senza discontinuità,, passando per lo stato critico Ciò avviene per l unico l profilo di corrente lenta accelerata che esista, il profilo D Questo profilo termina con lo stato critico; l unico l profilo di corrente veloce che parte proprio dallo stato critico è il profilo F

73 Trasformazione di una corrente lenta in una corrente veloce e viceversa A differenza del caso precedente, il profilo D3, che è di corrente veloce, deve essere determinato da una perturbazione a monte; mentre il profilo F1, che è di corrente lenta, deve essere determinato da una perturbazione a valle La trasformazione di una corrente veloce in corrente lenta non avviene mai, dunque, con continuità con un passaggio per lo stato critico

74 Il risalto idraulico M 1 Π 1 -M G senα G Π α La trasformazione di una corrente veloce in corrente lenta avviene attraverso un fenomeno noto come risalto idraulico o salto di Bidone

75 Il risalto idraulico M 1 Π 1 -M G senα G Π α Il fenomeno si presenta come un vortice ad asse orizzontale con rilevante dissipazione di energia,, che si sviluppa in un tronco d alveo d a monte del quale si trova un profilo di corrente veloce (D3 se è i < i c, oppure F o F3 se è i > i c ) ed a valle un profilo di corrente lenta (D1 o D se è i < i c, F1 se è i > i c )

76 Il risalto idraulico M 1 Π 1 -M G senα G Π Applicando l equazione l globale dell idrodinamica, si ha: G + Π + M 1 M = 0 e considerando la sua proiezione nella direzione del moto: G sen α + Π 1 - Π R + M 1 M = 0 dove Π 1 e Π sono le spinte sulle sezioni 1 e, M 1 e M le spinte idrodinamiche (flussi di quantità di moto) e R è la risultante delle azioni tangenziali sulla parete e sul fondo α

77 Il risalto idraulico M 1 Π 1 -M G senα G Π α Trascurando la differenza G sen α R,, si ottiene: Π 1 - Π + M 1 M = 0 ovvero: Π 1 + M 1 = Π + M

78 Il risalto idraulico M 1 Π 1 -M G senα G Π α La somma S = Π 1 + M 1 = Π + M è detta spinta totale della corrente

79 Il risalto idraulico M 1 Π 1 -M G senα G Π Risulta, per una generica sezione: α Π = p 0 A dove p 0 è la pressione nel baricentro e A è l area della sezione e: M = ρ Q v = ρ A v dove Q è la portata e v è la velocità media nella sezione

80 Il risalto idraulico Si può vedere facilmente che la spinta idrostatica è zero per h = 0 e che essa tende all infinito al crescere di h; mentre la spinta idrodinamica tende a zero per h che tende all infinito, poiché in questo caso la velocità tende a zero; tende ad infinito per h tendente a zero, perchè in questo caso la velocità tende all infinito

81 Il risalto idraulico Per la sezione rettangolare,, nella quale è: 1 ρq S = γ h L + Lh la funzione S(h) avrà allora un minimo che si verifica per h = h c

82 Il risalto idraulico La curva delle S viene perciò divisa in due rami: quello delle correnti lente (h > h c ) e quello delle correnti veloci (h < h c ) Esistono sempre due altezze, una di corrente lenta h 1 e una di corrente veloce h, che presentano la stessa spinta totale; esse si dicono altezze coniugate del risalto

83 Il risalto idraulico Il risalto si localizza nella sezione in cui è soddisfatta l equazione globale dell idrodinamica, cioè dove è S(h 1 ) = S(h )

84 Applicazioni Passaggio sotto una paratoia in condizione di alveo a debole pendenza a valle Allo sbocco si forma l altezza critica Dallo sbocco a monte si trova un profilo di corrente lenta accelerata,, che tende a raggiungere il moto uniforme all infinito a monte

85 Applicazioni Passaggio sotto una paratoia in condizione di alveo a debole pendenza a valle A monte della paratoia si realizza un profilo di corrente lenta ritardata, a valle un profilo di corrente veloce ritardata,, che si raccorda con un risalto al profilo di corrente lenta

86 Applicazioni Passaggio sotto una paratoia in condizione di alveo a forte pendenza a valle A monte della paratoia a monte si forma un profilo di corrente lenta in alveo a forte pendenza

87 Applicazioni Passaggio sotto una paratoia in condizione di alveo a forte pendenza a valle A valle si realizza un profilo di corrente veloce,, ritardata o accelerata a seconda che l apertura l a risulti minore o maggiore di h 0

88 Applicazioni Passaggio su una soglia La corrente sia lineare in una sezione 1 a monte della soglia e in una sezione sulla soglia Inoltre consideriamo nulla la perdita di energia nell intorno della soglia

89 Applicazioni Passaggio su una soglia Per il teorema di Bernoulli tra le sezioni 1 e, avremo: V1 h1 = a + h + g V + E 1 a = E g Nella sezione si ha un energia rispetto al fondo minore rispetto alla sezione 1

90 Applicazioni Passaggio su una soglia Se la corrente a monte è veloce,, l altezza l sulla soglia, h, è maggiore dell altezza a monte h 1 Se invece la corrente a monte è lenta,, l altezza l sulla soglia h è minore dell altezza a monte h 1 La corrente lenta si deprime; la corrente veloce si innalza

91 Applicazioni Passaggio su una soglia Se però la soglia è abbastanza alta, quando ci si abbassa di a dal punto (E, h) relativo alla corrente a monte della soglia, è possibile che risulti: E - a < E c

92 Applicazioni Passaggio su una soglia In questo caso la corrente non può transitare sulla soglia nelle condizioni previste: essa infatti non possiede l energia minima necessaria, per cui dovrà guadagnare l energia minima necessaria, aumentando il suo livello a monte

93 Applicazioni Passaggio su una soglia Poiché in questo caso la soglia agisce controllando la corrente, essa, a monte della soglia, non potrà che essere lenta

94 Applicazioni Passaggio su una soglia La corrente si troverà allo stato critico sulla soglia stessa e con energia E = a + E c immediatamente a monte di essa

95 Applicazioni Passaggio su una soglia Se la corrente è lenta, supponendo condizioni di moto uniforme con i < i c, avremo a monte un profilo di corrente lenta ritardata in alveo a debole pendenza (D1), che si raccorda al moto uniforme all infinito a monte A valle avremo un tratto di corrente veloce ritardata (D3) (h v < h 0 ), che termina con un risalto

96 Applicazioni Passaggio su una soglia Se la corrente è veloce,, supponendo condizioni di moto uniforme con i > i c, si troverà a monte della soglia un profilo di corrente lenta ritardata in alveo a forte pendenza (F1), che termina verso monte con un risalto,, e a valle un profilo un profilo di corrente veloce ritardata (F3) che tende al moto uniforme