Lezione 7. Numeri primi. Teorema Fondamentale dell'aritmetica.

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1 Lezone 7 Prereqst: L'nseme de nmer nter Lezone 6 Nmer prm Teorema Fondamentale dell'artmetca Defnzone 7 Un nmero ntero p dverso da 0 e s dce prmo se per ogn a b Z Altrment p s dce composto p ab p a oppre p b Defnzone 7 Un nmero ntero p dverso da 0 e s dce rrdcble se per ogn a b Z Altrment p s dce rdcble p = ab a è nvertble oppre b è nvertble Qeste de nozon sono n realtà eqvalent come rslta dal segente Lemma 73 Sa p n nmero ntero dverso da 0 e Allora sono eqvalent le segent condzon () p è prmo; () p è rrdcble; () dvsor d p sono p p Dmostrazone: () () Sa p prmo e sano a b Z tal che p = ab Essendo p non nllo anche a e b sono non nll Inoltre n partcolare p ab qnd n base alla Defnzone 7 p a oppre p b Nel prmo caso a = pq per qalche q Z percò s ha a = abq da c essendo a cancellable (n qanto elemento non nllo d n domno d ntegrtà) s dedce che bq = Pertanto b è nvertble Analogamente s dedce che nel secondo caso a è nvertble Cò prova che p è rrdcble () () Sa p rrdcble e sa a n dvsore d p Allora s ha che p = ab per qalche b Z Sege n base alla Defnzone 7 che a è nvertble oppre b è nvertble Nel prmo caso a p p Dnqe dvsor d p a { } Nel secondo caso cò vale per b e d consegenza { } sono - p -p () () Spponamo che p verfch () e sano a b Z tal che p ab Sa d n massmo comne dvsore d a e p Allora d è n dvsore d p e qnd { } d oppre d { p p} Nel secondo caso p dvde a Nel prmo caso p ed a sono coprm e qnd per la Proposzone 64 sege che p dvde b Cò prova che p è prmo Esempo 74 Sono nmer prm Il pù grande nmero prmo fnora conoscto è scoperto nel 03 Tale nmero ha cfre decmal

2 Il prossmo rsltato s dedce con n facle ragonamento ndttvo dalla Defnzone 7 Lemma 75* Sa p n nmero prmo e sano a ar Z tal che p a ar Allora qalche { r} p a per Samo ora n grado d provare l Teorema 76 (Teorema Fondamentale dell'artmetca o Teorema d fattorzzazone nca) Sa n n nmero ntero maggore d Allora esstono per qalche ntero postvo s s nter postv prm p p ps tal che n = p p p s () Inoltre l nmero s ed nmer prm p p p s sono nvocamente determnat Dmostrazone: Spponamo per assrdo che essta n nmero ntero maggore d per l qale non esste na decomposzone del tpo () Allora l'nseme X d tal nmer è n sottonseme non voto d Ned n qanto tale per l prncpo del mnmo (assoma d bon ordnamento) ammette n mnmo m In partcolare m non è allora n nmero prmo Qnd n vrtù del Lemma 73 m è n nmero rdcble Pertanto esstono a b Z non nvertbl tal che m = ab Essendo m postvo possamo spporre a meno d cambare eventalmente l segno ad entramb fattor che a e b sano entramb postv Allora ess sono entramb maggor d In partcolare da a > sege che m b = < m Qnd b X e pertanto b s scrve come prodotto d nter postv prm Ma per a smmetra s ha anche che a X e qnd anche a s scrve come prodotto d nter postv prm Sege che lo stesso vale per m contro l'potes Cò prova che ogn nmero ntero maggore d ammette na decomposzone del tpo () Spponamo ora che l nmero ntero postvo n ammetta oltre ad () la segente decomposzone dove t è n ntero postvo e q q q t sono nter postv prm: n = qq q t () Provamo allora che s = t e che a meno d rordnare fattor n () e n () s ha p = q per ogn = s Procedamo per ndzone s s Se s = allora n = p è prmo Dalla () sege allora che t = Non pò essere nfatt t perché altrment n sarebbe l prodotto d q e q qt che sono nmer natral maggor d e qnd non nvertbl e qnd n sarebbe rdcble e dnqe per l Lemma 73 non sarebbe prmo Qnd n = q e dnqe n partcolare p = q Cò prova la base dell'ndzone Spponamo ora che sa s > e che la tes sa vera per s Dalla () e dalla () sege che p p p q q q (3) s = t Poché p dvde l prodotto a secondo membro n vrtù del Lemma 75 a meno d rordnare fattor s ha che p q Ma n base al Lemma 73 dvsor d q sono q q Essendo p postvo e dverso da e sege che p = q Allora essendo p q non nll e qnd cancellabl dalla (3) sege che p ps = q qt Il nmero d fattor a prmo membro è s

3 mentre fattor a secondo membro sono t qnd per l'potes ndttva s ha s = t coè s = t e a meno d rordnare fattor per ogn = s p = q Cò conclde l passo ndttvo e completa la dmostrazone Nota L'gaglanza () s dce fattorzzazone o decomposzone n fattor prm del nmero natrale n I nmer p s dcono fattor prm d n Raccoglendo nella () fattor prm gal s ottene na scrttra pù compatta: α α αr n = p p p r (4) ove prm p sono a de a de dstnt e gl esponent α sono nter postv (precsamente per ogn ndce α è l nmero d volte che l fattore prmo p compare nella fattorzzazone d a) Esempo 77 La fattorzzazone d 500 è la fattorzzazone d 6094 è Vedamo ora alcne applcazon del Teorema Fondamentale dell'artmetca Il prossmo rsltato sfrtta l'esstenza della decomposzone n fattor prm Teorema 78 (Infntà de nmer prm) Esstono nfnt nmer prm Dmostrazone: Dmostramo che sono nfnt nmer prm postv Spponamo per assrdo che cò non sa vero Allora nmer prm postv formano n nseme fnto dcamo { p p p k } Sa N = p p p k + Allora N è n ntero e N > qnd n vrtù del Teorema Fondamentale dell'artmetca ammette na decomposzone n fattor prm In partcolare N è dvsble per n nmero prmo qnd esste n ndce { k} tale che p dvde N Ma allora n vrtù della Proposzone 69 (b) sege che p dvde l che è mpossble Cò prodce la contraddzone desderata e prova la tes Ne prossm esercz tlzzeremo l'nctà della decomposzone n fattor prm che rformlamo nella forma segente Sa a n ntero postvo e sano p p p nmer prm postv tal che s abba a = p α p α p α ove gl esponent α sono nter non negatv Allora qest esponent sono nvocamente determnat Infatt: fattor prm d a sono nvocamente determnat qnd sono nvocamente determnat gl ndc per qal p non è n fattore prmo d a ossa per 0 qal α = 0 Elmnando fattor corrspondent a qest ndc (che sono p α = p = ) s ottene l'espressone d a come prodotto de so fattor prm ossa la (4) nella qale gl esponent sono nvocamente determnat Eserczo 79 Sano p p p nmer prm postv e sa a = p α p α p α ove gl esponent α sono nter non negatv Sa b n ntero postvo Provare che allora b dvde a se e solo se = β β ove gl esponent b p p p β β sono nter non negatv tal che β α per ogn ndce Svolgmento: Spponamo che b dvda a Allora esste n ntero (postvo) q tale che a = bq Se q = allora a = b e qnd la tes è banalmente vera Se b = allora s ha la decomposzone volta per b con β = 0 per ogn ndce Spponamo allora che b > e q > Poché b e q

4 dvdono a loro fattor prm sono anche fattor prm d a (n vrtù della transtvtà della relazone d dvsbltà) Qnd le loro fattorzzazon sono della forma segente: β β b = p p p γ γ q = p p p β γ per opportn esponent nter non negatv β e γ Sege allora che α α α β β β γ γ γ a = p p p = bq = ( p p p )( p p p ) da c p p p p p p (5) α α α β + γ β + γ β + γ = Da cò per l'nctà della fattorzzazone s dedce che per ogn ndce s ha α = β + γ da c β α come volevas Vceversa se b = p β p β p β e valgono qeste dsgaglanze allora vale la (5) con γ = α β (ntero non negatvo) per ogn ndce e qnd a = bq con q come sopra Pertanto b dvde a Eserczo 70* Sano a b nter maggor d Determnare n massmo comne dvsore ed n mnmo comne mltplo d a b a partre dalle loro fattorzzazon Svolgmento: Sano p p p nmer prm (a de a de dstnt) che sono fattor prm d a o d b Allora le fattorzzazon d a b s scrvono nella forma α α a = p p p β β b = p p p α β ove gl esponent α β sono nter non negatv (se allora α = 0 se p non compare nella fattorzzazone d b allora 0) p non compare nella fattorzzazone d a β = Allora mn( α β ) mn( α β ) mn( α β ) MCD( a b) = p p p Provamo che l prodotto a secondo membro (certamente postvo) verfca le condzon (a) e (b) della Defnzone 63 Per semplctà d notazone ponamo per ogn ndce γ = mn( α β ) e d = p γ p γ p γ Allora essendo per ogn ndce γ α e γ β n vrtù dell'eserczo 79 s ha che d dvde a e d dvde b Spponamo ora che l'ntero e dvda a e b Possamo spporre a meno d cambare l segno che e sa postvo Allora n base all'eserczo 79 la sa fattorzzazone è della forma e = p δ p δ p δ ove gl esponent δ sono ttt nter non negatv e per ogn ndce s ha ε α e ε β Sege che per ogn ndce ε γ Cò n base all'eserczo 79 mplca che e dvde d Cò prova che d è n massmo comne dvsore d a e b La parte relatva al mnmo comne mltplo è lascata al lettore

5 Eserczo 7* Sano a b nter maggor d Provare che a b sono coprm se e solo se non hanno fattor prm n comne