Grandezze fisiche Grandezza fisica Sistema Internazionale d Unità di Misura

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1 Grandezze fisiche Grandezza fisica Per descrivere qualitativamente e quantitativamente un fenomeno naturale attribuiamo delle proprietà a quelle entità che partecipano al fenomeno stesso. Ad esempio un corpo ha una massa, una temperatura, una velocità, occupa una posizione etc. Queste proprietà vengono chiamate grandezze. Le grandezze fisiche sono proprietà del corpo che hanno una caratteristica: quella di essere misurabili. Durante l evoluzione del fenomeno naturale, le grandezze fisiche che descrivono le proprietà dei corpi subiscono delle variazioni a causa di interazioni con l ambiente, che sono descritte da altre grandezze fisiche, quali ad esempio forze, lavoro o scambi energetici. Le leggi fisiche sono relazioni causa-effetto perché legano le grandezze d interazione (causa) con le variazioni delle grandezze fisiche proprietà del corpo (effetto). Sistema Internazionale d Unità di Misura Partendo da alcune grandezze fisiche definite come specificato precedentemente e che vengono dette grandezze fisiche fondamentali, possiamo definire, utilizzando definizioni e leggi fisiche, nuove grandezze fisiche che vengono dette grandezze fisiche derivate. Vi è una certa arbitrarietà nella scelta delle grandezze fisiche di base e, una volta fissate tali grandezze fisiche fondamentali, vi è una certa arbitrarietà nella scelta delle unità di misura. Quando si fissano le grandezze fisiche di base e le corrispondenti unità di misura si è scelto un sistema di unità di misura. Una volta fissato tale sistema sono automaticamente fissate le unità di misura delle grandezze derivate. Il Sistema Internazionale d Unità di misura è costituito da 7 grandezze di base indicate nella tabella 1.1 unitamente al nome delle loro unità di misura e al relativo simbolo. 1

2 Tabella 1.1. Unità SI di base Grandezza Unità Nome Simbolo Lunghezza Metro M Massa Chilogrammo Kg Tempo Secondo S Intensità di corrente Ampere A elettrica Temperatura Kelvin K Quantità di sostanza Mole Mol Intensità luminosa Candela Cd Accanto alle sette unità fondamentali vengono definite due unità supplementari: il radiante (rad) e lo steradiante (sr). Il radiante è l unità di angolo piano ovvero è quell angolo piano con il vertice nel centro della circonferenza che sottende un arco uguale al raggio. Lo steradiante è l unità di angolo solido. Poiché in certi casi le unità risultano sconvenienti da usare perché troppo grandi o troppo piccole, il S.I. prevede anche l esistenza di multipli e sottomultipli che seguono la scala decimale. Il prefisso che individua il multiplo e il sottomultiplo, il fattore corrispondente e il simbolo da anteporre senza interspazio al simbolo dell unità sono indicate nella tabella 1.2 Tabella 1.2. Prefissi dei multipli e sottomultipli delle unità SI Fattore Prefisso Simbolo Fattore Prefisso Simbolo exa E 10-1 Deci d peta P 10-2 Centi c tera T 10-3 Milli m 10 9 giga G 10-6 Micro μ 10 6 mega M 10-9 Nano n 10 3 chilo k Pico p 10 2 etto h Femto f 10 deca da Atto a Le definizioni operative e le unità di misura delle grandezze derivate si ottengono utilizzando le unità di misura delle grandezze di base e le relazioni algebriche tra ognuna delle grandezze derivate e quelle fondamentali. In tabella 1.3 vengono elencate alcune grandezze derivate e le corrispondenti unità di misura mentre nella tabella 1.4 vengono riportate alcune grandezze le cui unità di misura hanno un nome particolare. 2

3 Tabella 1.3 Alcune grandezze derivate e loro unità di misura Grandezza Simbolo Unità Grandezza Simbolo Unità Superficie A m 2 Accelerazione A m s -2 Volume V m 3 Periodo T s Densità ρ kg m -3 Viscosità Η N m -2 s Velocità v m s -1 Calore C J kg -1 K -1 Velocità angolare specifico ω rad s -1 Entropia S J K -1 Tabella 1.4 Alcune grandezze derivate con unità di misura a denominazione speciale Grandezza Unità Simbolo Grandezza Unità Simbolo Forza newton N Carica elettrica coulomb C Energia e joule J Potenziale Volt V lavoro elettrico Pressione pascal Pa Capacità Farad F elettrica Potenza watt W Resistenza elettrica Ohm Ω Molto spesso, nonostante l esistenza di unità SI per tutte le grandezze, si preferisce l impiego di alcune unità particolari. Nella tabella 1.5 sono riportate alcune di tali unità con relativi simboli e corrispondenti fattori di conversione con le unità del SI Tabella 1.5 Unità di misura legali a tempo indeterminato Grandezza Unità Simbolo Fattore di conversione SI Angolo piano gradi sessagesimali (π/180) rad Energia elettronvolt ev J Massa unità di massa atomica tonnellata Pressione bar bar 10 5 Pa Tempo minuto ora giorno min h d u t kg 10 3 kg 60 s 3600 s s Volume litro l, L 10-3 m 3 3

4 Grandezze scalari e vettoriali Per definire una grandezza fisica bisogna dare uno scalare ossia un numero seguito dall unità di misura. Le grandezze fisiche, quali ad esempio temperatura, massa, che sono completamente determinate da uno scalare vengono chiamate grandezze scalari. Vi sono tuttavia fenomeni naturali quali l azione che due forze mutuamente perpendicolari esercitano su un corpo, le rotazioni di un corpo rigido, che non possono essere spiegati ammettendo che le grandezze che vi compaiono siano scalari, ma solo facendo l ipotesi che esistano grandezze che vi siano in natura grandezze definibili mediante due o più scalari se si utilizza un riferimento cartesiano, o, da un modulo, da una direzione e da un verso se si utilizzano le coordinate polari. In ogni caso, indipendentemente dal sistema di riferimento adottato queste grandezze non sono definibili mediante un solo scalare. Le grandezze che hanno queste proprietà vengono chiamate grandezze vettoriali o più semplicemente vettori e sono piuttosto numerose. La posizione di un punto materiale, la velocità, la forza, il campo elettrico, il momento di dipolo magnetico sono alcuni esempi delle numerose grandezze vettoriali che verranno analizzate durante le lezioni. Un vettore viene rappresentato da un segmento orientato: la lunghezza del segmento, misurata in una certa scala è il modulo del vettore, mentre la retta alla quale appartiene il segmento e il verso della freccia ne indicano la direzione e il verso. Un vettore libero è completamente definito dalle tre caratteristiche sopraelencate e quindi vettori liberi uguali aventi cioè lo stesso modulo, la stessa direzione e lo stesso verso, rappresentano la stessa grandezza fisica indipendentemente dalla posizione in cui vengono collocati. Un vettore applicato invece è un segmento orientato di cui è stata fissata l ubicazione nello spazio. Le grandezze vettoriali sono indicate da una lettera con sopra una freccia oppure scritta in grassetto. Per evidenziare il modulo si usa semplicemente la lettera oppure la lettera con sopra una freccia o scritta in grassetto racchiusa da due tratti verticali. Ad esempio a rappresenta un vettore mentre il suo modulo viene scritto a oppure a o anche a. Occorre ora definire le regole per operare con i vettori. Operazioni con i vettori Prodotto di uno scalare per un vettore. Moltiplicando un vettore a per uno scalare m, si ottiene un vettore b = m a avente: modulo: b = m a ; direzione: stessa direzione di a ; verso: stesso verso di a se m è positivo, verso opposto a quello di a se m è negativo. Somma di vettori Per sommare due vettori a e b occorre traslare il segmento orientato che rappresenta il vettore b, fino a far coincidere la sua origine con l estremo libero del primo. 4

5 a a + b b Il vettore somma si ottiene congiungendo l origine del primo vettore con l estremo libero del secondo. Praticamente bisogna costruire un parallelogramma avente per lati i vettori da sommare. Il vettore somma è la diagonale maggiore di detto parallelogramma. La somma di due vettori gode della proprietà commutativa a + b = b + a. La somma di due vettori a e b ha modulo dove θ è l angolo compreso tra a e b. a + b = a 2 + b 2 + 2ab cos θ Differenza di vettori. La differenza b a di due vettori è definita come la somma del primo con l opposto del secondo, ossia è b a = b + ( a) Quindi la differenza di due vettori viene trasformata in una somma. Praticamente per fare la differenza di due vettori bisogna cambiare verso al secondo vettore e sommarlo vettorialmente con il primo. Prodotto scalare Si definisce prodotto scalare di due vettori a e b lo scalare a b = ab cos θ dove θ π è l angolo compreso fra i due vettori. Il prodotto scalare è nullo quando è 5

6 nullo uno almeno dei due vettori oppure i due vettori sono fra loro perpendicolari e viceversa. Il prodotto scalare gode della proprietà commutativa a b = b a Prodotto vettoriale Si definisce prodotto vettoriale di due vettori a e b il vettore a b avente le seguenti caratteristiche: modulo: a b = ab sin θ ove θ π è l angolo compreso fra i due vettori. Tenendo presente che il prodotto a sin θ è l altezza del parallelogramma di lati a e b, il modulo del prodotto vettoriale è l area di detto parallelogramma; direzione: perpendicolare al piano individuato dai vettori a e b; verso: i vettori a b, a, b devono formare una terna destra ossia disposti indice e medio della mano destra come a e b, il pollice diretto perpendicolarmente ad essi indica il verso di a b. Il prodotto vettoriale è nullo quando è nullo uno almeno dei vettori oppure i vettori sono fra loro paralleli e viceversa. Componenti cartesiane di un vettore Proiettiamo un vettore a, lungo due direzioni fra loro perpendicolari che assumeremo come assi x ed y, ossia mandiamo le perpendicolari dall estremo libero del vettore ai due assi. Le proiezioni a x, a y del vettore vengono chiamate le componenti scalari (cartesiane) del vettore (o più semplicemente componenti). Geometricamente, nel caso il vettore 6

7 sia posizionato la sua origine nell origine del sistema di riferimento, esse rappresentano le coordinate cartesiane del punto A estremo del vettore Le componenti possono essere calcolate considerando il triangolo rettangolo OAB.Si hanno infatti le seguenti relazioni a x = a cos θ a y = a sin θ ove θ è l angolo formato dal vettore a con l asse positivo delle ascisse. Le componenti a x, a y possono essere quindi positive o negative a seconda del quadrante in cui si trova l estremo del vettore. Se il vettore ha la direzione di un asse, la componente lungo tale asse è il modulo del vettore con il segno positivo o negativo secondo che il verso del vettore sia concorde o discorde con quello dell asse. Poiché a e θ sono le coordinate polari di a nel riferimento avente polo il punto O (0,0) e asse polare quello delle ascisse, le relazioni precedenti forniscono un legame tra coordinate cartesiane e polari di un vettore e permettono il calcolo delle coordinate cartesiane se si conoscono quelle polari. Viceversa, dalle suddette equazioni si possono ricavare le componenti polari note quelle cartesiane. Infatti quadrando e sommando tali equazioni si ottiene a = a x 2 + a y 2 e dividendo la componente cartesiana y per quella lungo l asse x si ottiene tan θ = a y a x Operazioni con le componenti cartesiane dei vettori Le operazioni di somma, differenza, prodotto scalare e vettoriale di due vettori possono essere espresse mediante le componenti cartesiane dei vettori. Somma e differenza Siano a e b i due vettori ed ( a x, a y ) ( b x, b y ) le rispettive componenti cartesiane. Il vettore somma a + b ha componenti (a x + b x ) e (a y + b y ) ossia le componenti cartesiane del vettore somma sono la somma delle componenti dei singoli vettori relative ad uno stesso asse. Facendo considerazioni analoghe si dimostra che le componenti cartesiane del vettore differenza si si ottengono facendo la differenza delle componenti dei singoli vettori relative ad uno stesso asse 7

8 Prodotto scalare Se a e b hanno componenti ( a x, a y ) e ( b x, b y ) il prodotto scalare a b si calcola mediante le seguente espressione a b = a x b x + a y b y Prodotto vettoriale Siano ( a x, a y ) ( b x, b y ) le componenti dei vettori a e b, il prodotto vettoriale a b è un vettore diretto lungo l asse z a avente componente (a b) z = a x b y a y b x I risultati ottenuti nel caso bidimensionale si estendono facilmente al caso tridimensionale Legge fisica Si è detto che una legge fisica è una relazione che lega le grandezze d interazione con le grandezze fisiche proprietà del corpi. Le più semplici leggi fisiche sono la proporzionalità diretta e quella inversa. Due grandezze sono direttamente proporzionali quando il loro rapporto è costante, mentre sono inversamente proporzionali quando il loro prodotto è costante. Ogni legge fisica può essere rappresentata graficamente in un sistema cartesiano riportando una grandezza in ascisse e l altra in ordinate. Nel caso della proporzionalità diretta si ottiene una retta, mentre nel caso della proporzionalità inversa si ottiene un ramo di iperbole equilatera. Nell ambito della fisica medica sono molto importanti sia la funzione esponenziale che quella logaritmica in quanto la prima rappresenta la legge con cui viene eliminato un farmaco dal nostro organismo mentre la seconda è la legge con cui il nostro sistema sensoriale risponde alle sensazioni esterne. 8

9 Esercizi Il Sistema Internazionale di Unità di Misura 1) Nel Sistema Internazionale il prefisso Giga equivale a a) b) c) 10 9 d) 10 6 e) 10 3 Nel Sistema Internazionale il prefisso Giga equivale a ) Nel Sistema Internazionale il prefisso milli equivale a a) b) 10-9 c) 10-6 d) 10-3 e) 10-2 Nel Sistema Internazionale il prefisso milli equivale a ) L unità di misura SI dell angolo piano è a) il grado sessagesimale b) il grado centesimale, c) il grado centigrado d) il radiante e) il metro Nel Sistema Internazionale l unità di misura dell angolo è il radiante 4) Un volume di un litro è equivalente a a) 10-1 kg b) 10-2 kg c) 10-3 kg d) 10-3 m 3 e) 10-2 m 3 9

10 E 1 L = 10 3 m 3 ossia il volume di un litro è equivalente a 10-3 m 3 5) Si considerino tre grandezze indicate con v, a ed s ed espresse rispettivamente in metri al secondo (ms -1 ), metri al secondo quadrato (ms -2 ) e metri (m). Tenendo presente le loro unità di misura, la relazione corretta tra le summenzionate grandezze è a) a = v / s b) a = v / s 2 c) a = v 2 / s d) a = (v/s) 2 e) nessuna delle precedenti relazioni Il secondo membro deve essere espresso in m s -2 perché tali sono le unità di misura del primo. Analizzando le unità di misura delle possibili risposte si deduce che la risposta corretta è v 2 /s. Le sue unità di misura sono infatti m 2 s -2 m -1 = ms -2 6) Se la grandezza a viene misurata in metri (m) e la grandezza b in secondi (s), la grandezza a+b è misurata in a) ms -1 b) ms c) m -1 s d) m -1 s -1 e) le grandezze non si possono sommare perché non sono omogenee La grandezza a + b non ha senso perché si possono sommare solo grandezze omogenee. 7) Se una grandezza a viene misurata in metri (m) e la grandezza b in secondi (s), la grandezza a/b è misurata in a) ms -1 b) ms c) m -1 s d) m -1 s -1 e) le grandezze non si possono dividere perché non sono omogenee Le unità di misura della grandezza a/b si ottengono dividendo le unità di misura di a con quella di b. Si ottiene quindi ms -1 10

11 8) Si consideri la relazione a = 2 bt ove a è una grandezza fisica adimensionale e t è un tempo misurato in secondi (s). La grandezza b deve essere espressa in a) s b) s -1 c) s -2 d) s 2 e) adimensionale Poiché l esponente deve essere adimensionale, b deve avere come unità di misura s -1 9) Si consideri la relazione a = log c ove a e c sono grandezze fisiche. La grandezza c deve essere espressa in a) m b) m -1 c) kg d) adimensionale e) nessuna delle precedenti risposte Poiché l argomento del logaritmo deve essere un numero puro, c deve essere adimensionale 10) Si consideri la relazione s = a + b c ove s ed a sono grandezze fisiche espresse in metri (m). Se b viene espresso in m 2, la grandezza c deve essere espressa in a) m 3 b) m 3 c) m 2 d) m 1 e) m Si possono sommare soltanto grandezze omogenee e quindi, poiché la grandezza a viene espressa in metri (m), tale deve essere anche il prodotto bc. Di conseguenza, essendo b espresso in m 2, c deve essere espresso in m

12 11) Si consideri l espressione s = v q g ove s è una grandezza fisica misurata in m, v in ms -1, e g in ms -2. Affinché tale espressione sia dimensionalmente corretta, il valore dell esponente q deve essere a) 1 b) 2 c) 3 d) 4 e) nessuna delle precedenti risposte Il secondo membro deve essere espresso in metri perché tali sono le unità del primo membro. Sostituendo le unità di misura si ottiene (ms 1 ) q (ms 2 ) 1 = m ossia m q 1 s 2 q = m Affinché questa relazione sia vera deve essere m q 1 = m oppure s 2 q = 1 e quindi, in ogni caso, si ha q = 2 Conversione di unità di misura 12) La densità del mercurio è g cm -3. Utilizzando le unità di base del S.I. tale valore può essere espresso come a) kg m -3 b) kg m -3 c) kg m -3 d) kg m -3 e) kg m -3 Consideriamo le seguenti equivalenze 1 g = 10 3 kg 1 cm 3 = 10 6 m 3. Dividendole membro a membro si ottiene 1 g cm -3 = 10 3 kg m 3. Di conseguenza g cm -3 sono equivalenti a kg m 3 13) La velocità di un automobile è di 72 km h -1. Espressa mediante le unità di base del S.I. è a) 7.2 ms -1 b) ms -1 c) ms -1 d) ms -1 e) 20 ms -1 12

13 Consideriamo le seguenti equivalenze 1 km = 10 3 m 1 h = s Dividendole membro a membro si ottiene 1 kmh 1 = ms 1 Di conseguenza 72 kmh 1 = ms 1 ossia 72kmh 1 = 20 ms 1 14) Un intervallo temporale di anno (365 giorni) espresso mediante l unità del S.I. è a) s b) s c) s d) s e) s Per ottenere un intervallo temporale di 365 giorni espresso in secondi occorre tenere presente che 1 h = s 1 d = s 1 y = 365 d Si ha quindi 1 y = s In notazione scientifica con tre cifre significative si ha 1 y = s 15) Una portata di 5 litri al minuto è espressa in unità SI da a) m 3 s -1 b) m 3 s -1 c) m 3 s -1 d) m 3 s -1 e) m 3 s -1 Consideriamo le seguenti equivalenze 1L = 10 3 m 3 1 min = 60 s Dividendole membro a membro si ottiene 1 Lmin 1 = m3 s 1 = m 3 s 1 Quindi si ha 5 L min 1 = m 3 s 1 ossia, in notazione scientifica e con tre cifre significative, 5 L min 1 = m 3 s 1 13

14 16) Un volume di cm 3 espresso mediante l unità SI è a) m 3 b) m 3 c) 4.32 m 3 d) m 3 e) m 3 Poiché 1 cm 3 = 10 6 m 3, cm 3 sono equivalenti a m 3 ossia a m 3 Rappresentazione cartesiana di un vettore 17) Un vettore a di modulo 40 forma con l asse delle ascisse di un sistema di riferimento cartesiano un angolo di 135. Le sue componenti lungo gli assi di quel sistema sono a) a x = 20.4 a y = 20.4 b) a x = 20.4 a y = 20.4 c) a x = 20.4 a y = 20.4 d) a x = 28.3 a y = 28.3 e) a x = 28.3 a y = 28.3 Un vettore di modulo a che forma un angolo α con l asse positivo delle ascisse ha componenti cartesiane date da a x = a cos α a y = a sin α 14

15 (vedi figura 1. 1s) Nel caso in esame a = 40 α = 135 e quindi a x = 28.3 a y = ) Il modulo del vettore a di componenti a x = 12 a y = 16 è a) 40 b) 30 c) 25 d) 20 e) 15 Il segmento orientato che rappresenta il vettore ha origine nel punto (0,0) ed estremità il punto con coordinate cartesiane le componenti a x ed a y del vettore stesso. Di conseguenza si ha a = (a x 2 + a y 2 ) Nel nostro caso essendo a x = 12 a y = 16 si ottiene a = 20 Somma di vettori 19) Il modulo del vettore somma di due vettori di modulo 3 e 4 è a) 7 b) 5 c) 1 d) 0 Non si conosce l angolo formato dalle direzioni dei vettori e quindi non si può valutare la loro somma 20) Il modulo della somma di due vettori che hanno la stessa direzione, versi opposti e moduli 3 e 4 è a) 7 b) 5 c) 1 d) 0 15

16 La somma di due vettori aventi la stessa direzione e versi opposti si effettua come la sottrazione di segmenti appartenenti alla stessa retta in geometria. Il modulo del vettore somma è quindi il modulo della differenza dei moduli dei due vettori. I vettori a e b hanno moduli 3 e 4 rispettivamente e quindi il modulo della somma vettoriale è 1 a + b = 1 21) Il modulo della somma di due vettori che racchiudono un angolo di 90 e hanno moduli 3 e 4 è a) 7 b) 5 c) 1 d) 0 Il vettore somma è l ipotenusa di un triangolo rettangolo i cui cateti sono i due vettori di modulo 3 e 4. Di conseguenza si ha a + b = = 5 22) Il modulo della somma di due vettori con la stessa direzione, lo stesso verso e moduli 3 e 4 è a) 7 b) 5 c) 1 d) 0 La somma di due vettori aventi la stessa direzione e lo stesso verso si effettua come la somma di segmenti appartenenti alla stessa retta in geometria. Il modulo del vettore somma è quindi il modulo della somma dei moduli dei due vettori. I vettori a e b hanno moduli 3 e 4 rispettivamente e quindi il modulo della somma vettoriale è 7 a + b = 7 16

17 Prodotto scalare 23) Il prodotto scalare di due vettori che racchiudono un angolo 60 e hanno moduli 4 e 5 è a) 20 b) 0 c) 10 d) 20 Ricordando che l espressione del prodotto scalare tra due vettori a e b formanti un angolo θ è a b = ab cos θ poiché nel caso in esame a = 4 b = 5 θ = 60 si ha a b = 10 24) Il prodotto scalare di due vettori con moduli 4 e 5, la stessa direzione e versi opposti è a) 20 b) 0 c) 10 d) 20 I due vettori avendo la stessa direzione e versi opposti formano un angolo θ di 180. Il loro prodotto scalare risulta Poiché a = 5 b = 4 a b = ab a b = 20 17

18 25) Il prodotto scalare di due vettori che racchiudono un angolo di di 90 e con moduli 4 e 5 è a) 20 b) 0 c) 10 d) 20 I due vettori formano un angolo di 90 e, di conseguenza, il loro prodotto scalare è nullo ossia a b = 0 26) Il prodotto scalare tra due vettori con moduli 4 e 5, la stessa direzione e lo stesso verso è a) 20 b) 0 c) 10 d) 20 I due vettori avendo la stessa direzione e lo stesso verso formano un angolo di 0 e di conseguenza il loro prodotto scalare è, per definizione, a b = ab Poiché a = 4 e b = 5 risulta a b = 20 18

19 27) Il prodotto scalare tra un vettore a di modulo 4 e un vettore b di modulo 5 vale a) 20 b) 0 c) 10 d) 20 Poiché non si conosce l angolo formato dalle direzioni dei due vettori non si può valutare il loro prodotto scalare Prodotto vettoriale 28) Il modulo del prodotto vettoriale a b tra un vettore a di modulo 9 e un vettore b di modulo 3 è a) 27 b) 3 c) 27 d) 0 Poiché non si conosce l angolo formato dalle direzioni dei due vettori non si può valutare il loro prodotto vettoriale. 29) Il modulo del prodotto vettoriale a b tra il vettore a di modulo 9 e il vettore b di modulo 3 che hanno direzioni coincidenti e versi opposti è a) 0 b) 12 c) 27 d) 6 L angolo formato dai vettori a e b aventi la stessa direzione e verso opposto è di 180 e quindi il modulo del loro prodotto vettoriale è a b = ab sin 180 = 0 19

20 30) Il modulo del prodotto vettoriale a b tra il vettore a di modulo 3 formante un angolo di π/2 con il vettore b di modulo 9 è a) 0 b) 12 c) 27 d) 6 I due vettori formano un angolo di 90 e quindi, per definizione, il modulo del loro prodotto vettoriale è a b = ab Essendo a = 9 b = 3 si ottiene a b = 27 31) Il modulo del prodotto vettoriale a b tra il vettore a di modulo 4 e il vettore b di modulo 5 che hanno direzioni e versi coincidenti è a) 20 b) 0 c) 10 d) 20 I due vettori avendo la stessa direzione e lo stesso verso formano un angolo di 0. Il modulo del prodotto vettoriale è, per definizione, a b = ab sin 0 = 0 32) Una grandezza definita come prodotto vettoriale di un vettore a con un vettore b è a) un vettore parallelo al vettore a b) un vettore parallelo al vettore b c) un vettore parallelo sia al vettore a che al vettore b d) un vettore perpendicolare sia al vettore a che al vettore b e) uno scalare Per definizione di prodotto vettoriale è un vettore perpendicolare sia al vettore a che al vettore b. 20