Enrico Silva - diritti riservati - Non è permessa, fra l altro, l inclusione anche parziale in altre opere senza il consenso scritto dell autore

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1 La buca della di presente potenziale opera. infinita. Particella in una scatola () = per a > > v () per > a e < Richiamo: è l energia potenziale. Dove essa diviene, la regione è inaccessibile Per l autorizzazione a riprodurre in parte o ain tutto la presente opera è richiesto il permesso Classicamente: scritto dell autore (E. Silva) particella confinata a muoversi nella scatola, dotata inizialmente di momento p qualunque (può avere qualunque velocità, che è costante in modulo e si inverte di segno nell urto con la parete) e posizione, con energia totale pari all energia cinetica E = p 2 /2m. L energia può assumere qualunque valore E (maggiore o uguale; se E = la particella è in quiete). La densità di probabilità di trovare la particella, misurandola a caso, in un punto fra e a è uniforme (perché v =cost).

2 Particella in una scatola () = per a > > () per > a e < Per l autorizzazione a riprodurre in parte o ain tutto la presente opera è richiesto Quantisticamente: il permesso ragioniamo scritto dell autore sulla fdo. (E. Silva) 1- Cerchiamo gli stati stazionari, quindi: 2- soluzioni separabili, infine 3- la ψ generica (combinazione di stati stazionari). Non è possibile trovare la particella fuori dalla buca: (). Analiticamente, dobbiamo imporre Equazione di Schrödinger () = per a > > () per > a e < a Dobbiamo Enrico allora Silva risolvere - proprietà l equazione intellettuale non dipendente non ceduta dal tempo: ep(-iet/ħ) per avere l evoluzione temporale) (solo dopo aver trovato le autofunzioni dell energia, le moltiplicheremo per l esponenziale con (condizioni al contorno) ma all interno della buca = : con equazione molto semplice, le peculiarità delle soluzioni stanno nelle condizioni al contorno. cosa cambierebbe se, nella buca, fosse = cost,? edi anche il procedimento nel seguito.

3 Forma delle autofunzioni a Non è permessa, in particolare, la riproduzione anche con parziale Per l autorizzazione e a riprodurre in parte o in tutto la presente Oscillatore armonico classico! (oppure, onde stazionarie su una corda tesa) Le autofunzioni sono del tipo con (dalle condizioni al contorno) Perché i coseni non vanno bene? (suggerimento: condizioni al contorno). Perché ka = non è accettabile? Perché non si considerano anche i valori negativi di k? Autofunzioni normalizzate e livelli energetici a Enrico Silva - proprietà intellettuale con non ceduta e Autofunzioni opera è richiesto del tipo il permesso scritto dell autore con (E. Silva) Autofunzioni: Autovalori dell energia: (il prefattore viene dalla normalizzazione) n numero quantico

4 E Livelli energetici a localizzazione Per l autorizzazione -> quantizzazione a riprodurre dell energia, in parte livelli o in tutto permessi. la presente Non è accettabile il valore E = (corrispondentemente, sarebbe ψ n = ): esiste una Energia di punto zero Se avesse E =, allora anche p = all interno della buca, con Δp =. Per il principio di indeterminazione, ΔpΔ ħ/2 -> Δ->. Ma non può essere, perché la buca ha larghezza finita! i sistemi confinati devono avere E >. vedi anche sez.2.4 del simulatore v.cdrom su Atomi! Autofunzioni a ψ 1 ψ 2 Per ψ 3 l autorizzazione a riprodurre in parte o in tutto la presente Alternanza di funzioni pari e dispari rispetto al centro della buca. Perché era da aspettarsi? (suggerimento: la grandezza significativa è la densità di probabilità) A ogni livello energetico superiore la fdo ha un nodo in più. sono fdo ortonormali, ovvero: dove δ mn =, se m n, = 1 se m=n. formano un insieme completo: ogni funzione f() può essere scritta come: (serie di Fourier)

5 Densità di probabilità 2 ψ 2 1 ψ 2 ψ 1 ψ 2 ψ 3 n = 1 opera è richiesto n = 2il permesso scritto dell autore (E. Silva) ψ n = 3 Nei vari stati stazionari la particella ha picchi di probabilità. ha dei punti dove la probabilità di trovarsi è nulla!!! (i nodi). molto diverso dal caso classico a.5 1 Buca infinita: riassunto ψ 1 ψ 2 { Enrico a Silva - proprietà intellettuale non ceduta ψ ψ 1 2 ψ 3 2 autofunzioni densità di probabilità ψ 2 Per l autorizzazione a riprodurre in 1 parte o in tutto la presente opera è richiesto il permesso scritto dell autore (E. n = Silva) ψ 3 2 ψ 2 E spettro energetico n = 2 2 ψ n = 3

6 Dipendenza dal tempo Richiamo: a Per uno stato generico devono essere combinati i vari stati stazionari: Attenzione: i c n sono complessi! ciascuno introduce una fase! Dipendenza dal tempo (2) Negli stati stazionari, a quindi non della vi presente è moto (di opera. probabilità). Per avere l analogo opera è richiesto del moto il di permesso una particella, scritto dell autore è necessario (E. che Silva) la particella sia in uno stato non stazionario, ovvero in una sovrapposizione di stati stazionari: Per visualizzare: (sez v. online)

7 Momento Le autofunzioni dell energia: a non sono Non autofunzioni è permessa, del in momento: particolare, la riproduzione anche parziale perché non Per esiste l autorizzazione un p n tale che: a riprodurre in parte o in tutto la presente (avendo opera svolto è richiesto la derivata) il permesso scritto dell autore (E. Silva) Un altro punto di vista: ψ n è sinusoidale dentro la buca, ma nulla fuori dalla buca: pertanto è una forma d onda complicata, rappresentabile in serie di Fourier con onde di diversa lunghezza d onda. Allora (de Broglie: p=h/λ) non vi è un unico momento che rappresenta l autofunzione. O più in generale: in un qualunque sistema legato la particella è localizzata, fra e a in questo caso: l indeterminazione sulla posizione è Δ ~ a. Quindi (principio di indeterminazione) ho un intervallo di momenti Δp ~ ħ/a. Stati non stazionari a Enrico Si dimostra Silva - proprietà intellettuale non ceduta (in generale, Non è non permessa, solo per in la particolare, buca infinita) la riproduzione anche parziale nota: non dipende dal tempo: conservazione dell energia rappresenta la probabilità di trovare (mediante una misura) il valore dell energia in corrispondenza a E n.

8 Non è permessa, in particolare, Sez.3: la riproduzione anche parziale Digressione: emissione da stati eccitati Lo spettro discreto di un sistema legato (confinato) rende conto dell esistenza delle righe di assorbimento degli spettri atomici: sono possibili Enrico solo assorbimenti Silva - proprietà di fotoni intellettuale con non ceduta Non salti è permessa, discreti di a in energia. particolare, la riproduzione anche parziale L emissione sembra più ardua della da spiegare: presente se opera. un atomo è in uno stato stazionario (richiamo: questi stati sono stati ottenuti con = cost), anche se non il fondamentale, non dovrebbe mai opera passare è richiesto a un altro il permesso stato (in particolare, scritto dell autore uno stato (E. a Silva) energia inferiore, emettendo un fotone). In realtà, la condizione = cost non è mai soddisfatta esattamente: così come una particella deve avere energia di punto zero, il campo elettromagnetico non può mai essere rigorosamente nullo. Quindi, esiste sempre (almeno un piccolo) (t), che fornisce allo stato a energia discreta E n una larghezza ΔE. Allora, per il principio di indeterminazione, la particella resta nello stato eccitato per un tempo Δt ~ ħ/δe finito: dagli stati eccitati un elettrone decade.

9 Nanocristalli Sono cristalli (solitamente di un qualche semiconduttore) di dimensioni trasverse ~ 2 1 Å. Costituiscono buche di potenziale, e quindi Enrico determinano Silva - proprietà stati legati intellettuale al loro interno. non ceduta Ragionando sullo spettro della della buca presente infinita: opera. buca stretta opera -> è E richiesto elevate. E il permesso scritto dell autore (E. Silva) la differenza di energia più piccola fra i livelli è: La emissione a minor frequenza è per ħω = ΔE min. Proprietà ottiche di nanocristalli E La struttura elettronica Enrico Silva è più - proprietà complessa intellettuale della semplice non ceduta Non è permessa, buca in (bande particolare, strette). la riproduzione anche parziale Per semplicità: consideriamo della le sole presente transizioni opera. fra i due Per l autorizzazione livelli a inferiori. riprodurre in parte o in tutto la presente opera è richiesto Poiché ħω il permesso = ħ2πc/λ scritto, ho emissione dell autore per: (E. Silva) ħω = ΔE min ovvero λ = λ ma. λ ma può essere determinata dalla sola dimensione del nanocristallo: dimensioni più piccole -> cristallo più blu. Nota. In un cristallo, la massa efficace dell elettrone, m, è inferiore alla massa dell elettrone libero, m e (molto all ingrosso, nei semiconduttori qui di interesse è circa.1 m e ), a causa del potenziale degli ioni collocati in una griglia periodica.

10 Proprietà ottiche di nanocristalli Dimensioni più piccole -> cristallo più blu Nanocristalli di seleniuro di cadmio, di identica Enrico composizione Silva - proprietà chimica. intellettuale non ceduta I Non cristalli è permessa, che appaiono in particolare, rossi sono la di riproduzione anche parziale dimensioni maggiori, della quelli presente che opera. appaiono Per l autorizzazione gialli sono a di riprodurre dimensioni in parte o in tutto la presente opera è richiesto minori. il permesso scritto dell autore (E. Silva) Particolare di figura in M.A. Reed, "Quantum Dots", Scientific American, January 1993, pp da Con m ~.1 m e, a ~ 25 Å, si ha λ ma ~ 7 Å (controllare): soglia nel visibile (luce rossa) Buche bidimensionali

11 Buca rettangolare infinita L y y L equazione di Schrödinger è in due dimensioni: con l hamiltoniana: Il potenziale: opera (,y) è richiesto = dentro il permesso il rettangolo, scritto e dell autore > fuori (E. dal Silva) rettangolo. Condizioni al contorno: su ogni asse, come per la buca infinita: ψ = sui bordi del rettangolo. L -> le autofunzioni saranno ancora funzioni sinusoidali, lungo e lungo y. Si può dimostrare usando ulteriormente la separazione delle variabili: l equazione di Schrödiger non dipendente dal tempo risulta (in questo caso in cui = nella buca) separabile nelle due variabili e y. erificatelo, provando a cercare una soluzione ψ (,y)=ψ () ψ y (y) e ponendo E = E +E y. Si ottengono due equazioni identiche a quella della particella in una buca unidimensionale. Buca rettangolare infinita (2) L y y Gli autovalori opera corrisponderanno è richiesto il permesso a autofunzioni scritto dell autore con una (semi)oscillazione (E. Silva) su, una su y (1,1), una su e due su y (1,2), due su, una su y (2,1), due su e due su y (2,2,), etc etc: L

12 Autofunzioni: analogia con le vibrazioni di una membrana Per l autorizzazione 1,1 a riprodurre in parte o 1,2 in tutto la presente 2,2 2,1 Enrico Silva - proprietà intellettuale non ceduta Sez.3, 4.1, 4.4, 4.5

13 L Buca quadrata: degenerazione L Se la buca è quadrata (L = L y = L) y ho autovalori uguali per diverse autofunzioni: degenerazione. In questo esempio, ho degenerazione (ovvero stessa energia) nei casi in cui n, n y = l,m e m,l (esempio: n, n y = 1,2 e 2,1): degenerazione doppia. Due autofunzioni con stessa energia. Ma, ad esempio, i livelli dati dalle coppie n, n y = (1,7), (7,1) (5,5) hanno degenerazione tripla (n 2 + n y 2 = 5). Tre autofunzioni con stessa energia. Degenerazione Se un livello energetico ha degenerazione g, allora vi sono g autofunzioni di stessa energia: Per ciascuna di esse della vale: presente opera. Per con l autorizzazione stessa E. a riprodurre in parte o in tutto la presente Allora, per una qualunque combinazione lineare di queste autofunzioni, vale: Ovvero, ogni funzione della forma: (stiamo considerando solo le g autofunzioni con energia E) è autofunzione dell energia con autovalore E. > è uno stato stazionario!

14 Usando: Enrico Silva - proprietà intellettuale non ceduta provare Per l autorizzazione a selezionare uno a stato riprodurre composto in parte da (1,2) o in tutto e (2,1), la presente e studiare il opera comportamento è richiesto il permesso al variare scritto dell dell autore aspect ratio. (E. Silva) Quando la buca è quadrata, lo stato è stazionario e cambia solo la fase (il colore). Quando la buca è rettangolare, lo stato non è in generale stazionario*, e i picchi (e le distribuzioni) di probabilità variano nel tempo. * sebbene possano darsi casi di particolari rapporti fra le lunghezze dei lati in cui si ottengono comunque stati degeneri. Recinti della presente e miraggi opera. quantici

15 Recinti quantici (Quantum Corrals) A partire dagli anni 9, presso i laboratori IBM è stato possibile manipolare singoli atomi per creare strutture di confinamento per la funzione d onda degli elettroni: cosiddetti recinti quantici (quantum corrals). Non è permessa, in Å Recinto ottenuto particolare, la riproduzione mediante anche parziale 48 atomi di Fe su una superficie di Cu. opera è richiesto il permesso scritto dell autore Le onde (E. Silva) all interno sono stati stazionari della fdo elettronica. La figura rappresenta una misura: non si trata di una simulazione M. F. Crommie, C. P. Lutz, D. M. Eigler, "Confinement of electrons to quantum corrals on a metal surface", Science 262, 218 (1993) Altri recinti quantici... La misura della densità di probabilità della fdo elettronica è resa possibile dal microscopio a effetto tunnel: vedere prossime lezioni.

16 Onde stazionarie in un recinto ellittico (non quantico!) Onde su un piatto ellittico di mercurio, create facendo cadere gocce di mercurio Enrico Silva - proprietà intellettuale non nel ceduta punto in rosso. Non è permessa, in particolare, la riproduzione Il disegno, anche che parziale riproduce il risultato dell esperimento, Per l autorizzazione a riprodurre in parte o in tutto risale la presente al Si noti come lo stimolo (la caduta delle gocce) sia applicato solo in uno dei fuochi dell ellisse. L onda risultante riproduce identicamente nel secondo fuoco quanto avviene nel primo. Recinto quantico ellittico Å Co su Cu H. C. Manoharan, C. P. Lutz, D. M. Eigler, "Quantum mirages formed by coherent projection of electronic structure", Nature 43, 512 (2)

17 Autostati in un recinto ellittico Miraggi quantici (Quantum Mirages) Collocando un atomo di Co in un fuoco. Il Co è magnetico, e causa un forte aumento di resistenza elettrica (effetto Kondo) nel metallo. Si misura R, nel fuoco dove si trova l atomo di Cu, e nell altro fuoco. Si Enrico trova Silva che R - aumenta proprietà anche intellettuale nel secondo non ceduta fuoco. Topografia Mappa di r. Più luminoso=r più alta

18 Miraggi quantici (2) Controllo: si colloca l atomo di Co dove la fdo è circa nulla. Si misura R, nel fuoco dove si trova l atomo di Cu, e nell altro fuoco. Si trova che R non aumenta più nel secondo fuoco. Enrico Correlazione Silva - proprietà quantistica intellettuale della non fdo. ceduta Topografia Mappa di r. Più luminoso=r più alta Possibili importanti conseguenze sulle tecnologie dello stivaggio (miniaturizzazione) e trasmissione dell informazione.