Andrea Loi Introduzione alla Topologia generale

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3 Andrea Loi Introduzione alla Topologia generale

4 Copyright MMXIII ARACNE editrice S.r.l. via Raffaele Garofalo, 133/A B Roma (06) ISBN xxxx-x I diritti di traduzione, di memorizzazione elettronica, di riproduzione e di adattamento anche parziale, con qualsiasi mezzo, sono riservati per tutti i Paesi. Non sono assolutamente consentite le fotocopie senza il permesso scritto dell Editore. I edizione: marzo 2013

5 Indice Prefazione 9 1 Richiami Insiemi e funzioni tra insiemi La completezza di R La topologia della retta Funzioni continue da sottoinsiemi di R in R Esercizi Spazi metrici Definizioni ed esempi Topologia degli spazi metrici Applicazioni tra spazi metrici Esercizi Topologie e spazi topologici Definizioni e esempi Interno, esterno, frontiera, chiusura e derivato Esercizi Basi Definizioni e esempi Topologie generate da basi Esercizi Numerabilità e separazione Numerabilità Proprietà di separazione Successioni in uno spazio topologico Punti di aderenza e successioni

6 6 Indice iv INDICE Punti di accumulazione di successioni Unicità del limite Successioni negli spazi metrici Esercizi Applicazioni tra spazi topologici Applicazioni continue, aperte e chiuse Omeomorfismi e embedding topologici Incollamento di funzioni continue Continuità e continuità sequenziale Esercizi Omeomorfismi di R n e varietà topologiche Affinità e isometrie di R n Omeomorfismi tra intervalli di R I quadrati e i dischi di R 2 sono omeomorfi Sottoinsiemi convessi di R n Varietà topologiche Esercizi Prodotti La topologia prodotto Prodotti di applicazioni Esercizi Spazi connessi Spazi topologici connessi Connessione per archi Componenti connesse Esercizi Spazi compatti Spazi topologici compatti Compattezza negli spazi di Hausdorff Spazi numerabilmente e sequenzialmente compatti Compattezza negli spazi metrici Compatti dello spazio euclideo Spazi metrici completi Esercizi

7 INDICE Indice 7 v 11 Quozienti La topologia quoziente e gli spazi quoziente Unicità degli spazi quoziente Esempi di spazi quoziente Proprietà topologiche degli spazi quoziente Lo spazio proiettivo reale Esercizi Bibliografia 14 3

8 vi INDICE

9 Prefazione Questo libro scaturisce dalle dispense del corso di Geometria 3 che ho preparato per gli studenti del secondo anno della Laurea triennale in Matematica dell Università di Cagliari negli anni L idea di scrivere un libro nasce dalla convinzione che la maggior parte dei testi di Topologia possano essere utilizzati con grande difficoltà in un corso al quale la riforma universitaria del 3 +2 mediamente assegna 9/12 crediti. Infatti il docente deve spesso integrare o eliminare alcune parti del libro di testo adottato alterando l unitarietà della struttura voluta dall autore. Queste riflessioni hanno ispirato l organizzazione e la trattazione degli argomenti del presente testo articolato in 11 capitoli. Sulla base della mia esperienza didattica ogni capitolo mediamente richiede circa 6 ore di lezioni frontali, rendendo possibile la copertura del libro nelle 64 ore di lezioni destinate al corso. Il primo capitolo contiene i richiami di base sulle funzioni tra insiemi, sulla topologia della retta e sulle funzioni continue tra sottoinsiemi di R (i numeri reali). Il secondo capitolo rappresenta una breve introduzione alla topologia degli spazi metrici trattati in modo più approfondito nei corsi di Analisi Reale e Analisi Funzionale. La parte vera e propria di Topologia Generale è trattata nei capitoli Alla fine di ogni capitolo ho inserito diversi esercizi utili per mettersi alla prova. I prerequisiti per la comprensione del libro sono la conoscenza della teoria elementare degli insiemi, della topologia della retta e delle funzioni continue, trattati nei corsi di Algebra e Analisi. Nota per lo studente La topologia generale è una disciplina affascinante, che oggi rappresenta un vero e proprio linguaggio comune di tutta la matematica. Essa però non è tanto amata dagli studenti. Infatti gli ostacoli principali in un corso di laurea triennale in Matematica sono rappresentati dall astrazione che caratterizza in modo particolare materie come l Algebra e la Topologia (non me ne vogliano i colleghi analisti e gli amici ingegneri!). Lo scopo di questi appunti è di favorire quel cambio di 9

10 10 Prefazione prospettiva inevitabile per raggiungere la piena maturità in senso matematico. Condizione necessaria affinché ciò avvenga è cimentarsi con le dimostrazioni dei teoremi (della cui brevità probabilmente resterete sorpresi) e con gli esercizi. Non si affligga lo studente se per alcuni non troverà la soluzione: sulla base della mia esperienza è piuttosto improbabile che uno studente possa svolgerli tutti. In ogni caso lo studente risulterà vittorioso perché ciò che veramente conta, ai fini della formazione, è affrontarli. Ringraziamenti Durante la stesura di questo libro mi sono avvalso dei preziosi suggerimenti di Stefano Matta al quale va un enorme ringraziamento anche per un attenta e scrupolosa lettura del testo. Desidero ringraziare gli studenti e i docenti che in questi anni, con le loro numerose e attente osservazioni, mi hanno permesso di migliorare le dispense e quindi hanno indirettamente contribuito alla stesura di questo libro. In particolare vorrei ringraziare Gianluca Bande (docente) e Luigi Pistis (ex studente). Un ringraziamento speciale va a Lidia Licheri, autrice dell immagine in copertina. Infine un ringraziamento particolare a Paola Ruvioli per la foto in copertina.