DIPARTIMENTO DI MATEMATICA A.S EQUAZIONI DI GRADO SUPERIORE AL 2

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1 DIPARTIMENTO DI MATEMATICA A.S EQUAZIONI DI GRADO SUPERIORE AL 1. EQUAZIONI RISOLVIBILI MEDIANTE SCOMPOSIZIONE. EQUAZIONI BINOMIE. EQUAZIONI TRINOMIE. EQUAZIONI RECIPROCHE 1. EQUAZIONI RISOLVIBILI MEDIANTE SCOMPOSIZIONE Un equazione di grado n può essere risolta utilizzando la legge di annullamento del prodotto 1 quando, ridotta in forma normale, il polinomio al primo membro è scomponibile in fattor i. Esempio guida risolto e commentato: Procedimento Commenti + 9 = = 0 Riduco l equazione in forma normale ( + ) 9( + ) = 0 Eseguo la scomposizione in fattori con raccoglimento a fattor comune parziale. ( + )( 9) = 0 + = 0 9 = 0 Applico la legge di annullamento del prodotto 1 = = 9 Risolvo le due equazioni,, = ± = ± 9 1 La legge di annullamento del prodotto stabilisce che se un prodotto è zero allora uno (o più) dei suoi fattori è zero. Un equazione si dice in forma normale se è scritta come P()=0, dove P() è un polinomio ridotto in forma normale, cioè senza termini simili. Scomporre un polinomio in fattori (o fattorizzare) significa scriverlo come prodotto di due o più polinomi di grado minore non ulteriormente scomponibili.

2 Dall esempio ora risolto possiamo dedurre alcune considerazioni: 1. E necessario essere in grado di scomporre con sicurezza e precisione un polinomio (conoscenza dei diversi metodi di fattorizzazione e senso critico su quale di questi applicare).. La scomposizione ha termine quando i fattori sono di 1 o di grado. Se uno o più sono di grado superiore al occorre verificare se sono ulteriormente scomponibili o se, ragionando sui segni dei loro termini, non sono annullabili.. Deve essere nota la legge di annullamento del prodotto e la si deve applicare correttamente.. Deve essere acquisita con sicurezza la capacità di risolvere equazioni di 1 e di grado. Vediamo ora un nuovo esempio la cui risoluzione è lasciata allo studente. A fianco di ogni passaggio sono annotate le operazioni da compiersi. Procedimento Commenti Riduci l equazione in forma normale. Scomponi con raccoglimento a fattor comune totale. Scomponi il fattore con il metodo di Ruffini. Scomponi il fattore di grado ottenuto dal metodo di Ruffini con un raccoglimento parziale.. Riscrivi l equazione con il 1 membro scomposto in fattori (i fattori dovrebbero essere ) Applica la legge di annullamento del prodotto. Dovresti aver ottenuto tre soluzioni reali: (+;0;-) e due soluzioni non reali. Esercizi: 1. = = [ 0; + ; ] [ 0 ;; ] [ ; ;]

3 = 0 0; + ; = ( 8 ) = ( ) 1 1 ;0; ; 7. + = 0 [ 1; ] ( + ) + 6 = 0 [ 0; ; ] 9. ( ) + = 0 [ 1 ;;] 10. ( + 1) + ( 1 + ) = ( + 1) [ 1; ] 7 0 ha molteplicità due. 5 Non ha soluzioni nel campo dei numeri reali; ha due soluzioni con molteplicità due nel campo dei numeri complessi. 6 1 ha molteplicità due. 7 1 e hanno molteplicità due.

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5 . EQUAZIONI BINOMIE Un equazione si dice binomia se, ridotta in forma normale, è del tipo: A n + B = 0 dove A,B sono numeri reali con A 0. Risolvendola si ha: n = B A Successivamente, per individuare la soluzione è necessario effettuare l estrazione di radice ad indice n. Si presentano allora due casi: B i. Se n è dispari, l equazione ammette una sola soluzione reale = n. A ii. Se n è pari, l equazione: a. non ammette soluzioni reali se A e B sono concordi. B b. ammette due soluzioni reali opposte n 1, = ± se A e B sono discordi. A La spiegazione a tutto ciò è la seguente. I radicali ad indice dispari ammettono sempre una e una sola soluzione indipendentemente dal segno del radicando. I radicandi ad indice pari non ammettono soluzione reale se il radicando è negativo (questo accade se A e B sono concordi e quindi B/A è negativo). I radicandi ad indice pari ammettono due soluzioni reali se il radicando è positivo (questo accade se A e B sono discordi e quindi B/A è positivo) e una a molteplicità due se è zero. Esercizio guida risolto e commentato: Procedimento Commenti 8 = 0 = 8 Trasporto il termine noto dal 1 al membro cambiandogli segno. = 8 Effettuo l estrazione di radice con indice pari all esponente dell incognita. = Semplifico il radicale. 8 Esercizio guida risolto e commentato: Procedimento Commenti + 78 = 0 = 78 Trasporto il termine noto dal 1 al membro cambiandogli segno. 8 In questo esempio la soluzione non è un numero irrazionale ma in altri casi è possibile sia necessario ridurre l indice di radice o trasportare un fattore fuori da radice.

6 = 78 = 9 = 9 Divido ambo i membri per il coefficiente di Semplifico la frazione. Effettuo l estrazione di radice con indice pari all esponente dell incognita.. L equazione non ammette soluzioni nel campo dei numeri reali. 9 Esercizi: = 0 6 e soluzioni non reali. 16 = 0 [ ± 8] e soluzioni non reali = 0 Non ha soluzioni reali +. 8 = ± e soluzioni non reali [ ] 9 Che l equazione non ammettesse soluzioni nel campo dei numeri reali era comprensibile sin dal testo con un semplice ragionamento: + 78 è un polinomio che assume valori sempre non inferiori a 78 poiché è una quantità non negativa.

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8 . EQUAZIONI TRINOMIE Un equazione si dice trinomia se, ridotta in forma normale, è del tipo: A n n + B + C = 0 ( 1) dove A,B,C sono numeri reali con A 0; B 0; C 0 10 e con n N, n > Per risolvere la (1) occorre effettuare un cambio di variabile del tipo: n y = () da cui discende che: y = n Sostituendo queste due ultime relazioni nella (1) si ottiene una equazione di grado nell incognita y. Ay + By + C = 0 Quest ultima verrà risolta e le eventuali soluzioni in y verranno trasformate in attraverso la formula inversa della (): = n y n = ± se n è dispari se n è pari Esercizio guida risolto e commentato: Procedimento Commenti = = 0 Riduco l equazione in forma normale. 8 y 5y + 7 = 0 Effettuo il cambio di variabile y = e trasformo l equazione in y. 5 ± ± 19 y1 = 7 8 Risolvo l equazione di grado in y. 1 y 1, = = = y = 1 1 = = y y 1 = = 7 8 = 1 = 1 Ricavo le soluzioni in con la formula inversa del cambio di variabile = y. 10 E interessante notare che se o A=0 o B=0 l equazione si riduce a una binomia. 11 Se n=1 l equazione si riduce ad una equazione di grado, se n= l equazione viene detta biquadratica. 1 Il calcolo preventivo del discriminante, = b ac, può essere utile per stabilire il numero di soluzioni reali dell equazione in y. Nel caso di n pari, può essere utile lo studio preventivo del segno delle soluzioni in y.

9 Esercizi:

10 . EQUAZIONI RISOLUBILI MEDIANTE OPPORTUNE SOSTITUZIONI