ESERCIZI DI MATEMATICA FINANZIARIA DIPARTIMENTO DI ECONOMIA E MANAGEMENT UNIFE A.A. 2016/2017. Esercizi 3

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1 ESERCIZI DI MATEMATICA FINANZIARIA DIPARTIMENTO DI ECONOMIA E MANAGEMENT UNIFE A.A. 2016/2017 Esercz 3 Pan d ammortamento Eserczo 1. Un prestto d 12000e vene rmborsato n 10 ann con rate mensl e pano all talana al tasso annuo = 4%. Dopo 5 ann, l tasso vene rvsto e portato a 1 = 6%. Calcolate la dfferenza tra l ultma rata del pano rspettvamente con e senza cambamento d tasso. Soluzone. La generca rata R k, ad una determnata epoca ntermeda k compresa tra 1 e n, n un pano all talana, è data dalla formula R k = C (1 + (n k + 1)), ove C è la quota captale costante, data da C = D 0 /n, mentre è l tasso annuo. Poché no dobbamo calcolare l ultma rata, ossa per k = n = 120 (12 rate mensl per 10 ann fa 120 rate n tutto), e l tasso n goco è quello mensle m, s ha che R 120 = C (1 + m ), qund la dfferenza cercata è R 120 ( 1,m ) R 120 ( m ) = D 0 n ( 1,m m ) = D ) 0 ((1 n + 1 ) (1 + ) 12, (1) ove nell ultmo passaggo abbamo trasformato l tasso mensle n annuo, evtando troppe approssmazon, con la solta formula 1,m = (1 + 1 ) e m = (1 + ) Inserendo dat numerc nella (1), s ha che R 120 ( 1,m ) R 120 ( m ) 0, , 16. Eserczo 2. Non potendo pagare l ultma rata R n, par a 1000e, d un mutuo a tasso = 10%, ottenete d chudere l prestto pagando tre rate costant par a R alle epoche t = n + 1, t = n + 2 e t = n + 3 sempre con lo stesso tasso. A quanto ammonta R? 1

2 2 ESERCIZI DI MATEMATICA FINANZIARIA Soluzone. L equazone da mpostare è la seguente: Sccome s trova che da cu D n 1 = R (1 + ) 2 + R (1 + ) 3 + R (1 + ) 4. D n 1 = R n (1 + ), R n (1 + ) = R (1 + ) 2 + R (1 + ) 3 + R (1 + ) 4, R n = R R (1 + ) 2 + R (1 + ) 3 = R a 3, ossa, poché l tasso rmane lo stesso, l ultma rata è uguale al valore attuale rferto all epoca t = n d cascuna delle tre nuove rate par a R. Dunque abbamo R = R n = R n 402, 11e. a 3 1 (1 + ) 3 Eserczo 3. Un prestto d 70000e vene rmborsato n 25 ann con rate mensl costant al tasso annuo = 5, 2%. Dopo 10 ann, l tasso annuo vene rvsto e portato a 1 = 6, 2%. Se R è la rata costante de prm 10 ann e R è quella costante degl ultm 15 ann, determnare R. Soluzone. La prospettva da cu partre, come se fosse per l momento l epoca nzale, è all epoca t = 10. Da tale epoca, per 15 ann, ossa per 180 rate mensl, s ha un normale ammortamento alla francese d rata costante R, che è data dalla solta formula R 1,m = D (1 + 1,m ) 180, ove D 120 è l debto resduo dopo 10 ann, ossa dopo 120 rate mensl pagate al veccho tasso annuo, mentre 1,m è l nuovo tasso su base mensle. Convene trasformare l tasso mensle n annuo, evtando troppe approssmazon, ossa pertanto 1,m = (1 + 1 ) , (1) R (1 + 1 ) (1 + 1 ) = D 120 ( ) 1 (1 + 1 ) = D 120. (2) 1 ( ) 15

3 ESERCIZI DI MATEMATICA FINANZIARIA 3 Ora, l problema è trovare l debto resduo D 120 : qu convene usare la formula compatta che dce che l debto resduo ad una generca epoca ntermeda k, nell ammortamento alla francese d complessve epoche n, ad un arbtraro tasso annuo x, è data da 1 (1 + x) n+k D k = D 0 1 (1 + x) n. Se applcate tale formula al vostro caso, n cu n = 300 e k = 120 e l tasso è mensle e non annuo, rsulta D 120 = D 0 1 (1 + m) (1 + m ) 300 = D 0 ( 1 1 (1 + ) 1 12 ( (1 + ) 1 12 ) 180 ) 300 = D 0 1 (1 + 1) 15 1 (1 + 1 ) 25, ove nel penultmo passaggo abbamo usato come al solto la (1). Inserendo quest ultmo rsultato nella (2), tenendo conto che D 0 = 70000e, s trova che R = D 0 1 (1 + 1) 15 1 (1 + 1 ) 25 (1 + 1 ) , 71e. 1 (1 + 1 ) 15 Eserczo 4. Redgere un pano d ammortamento all talana n 4 ann, sapendo che dat sono le 4 quote n conto captale, costant e par a C, ed l tasso annuo par a. Supposto po d dover allungare la durata del pano da 4 a 5 ann, dmezzando l orgnara ultma quota n conto captale n due part, una per l quarto e l altra per l qunto anno, rscrvere gl ultm due ann del nuovo pano. Soluzone. Prmo Caso. Poché l pano è all talana, la quota captale è costante, allora abbamo che D 0 = 4 C. Impostamo l pano relatvo al prmo anno. Abbamo che I 1 = D 0 = 4 C ; R 1 = I 1 + C = 4 C + C = C (1 + 4 ); D 1 = D 0 C = 4 C C = 3 C. Procedendo n modo analogo per le epoche 2, 3, 4, abbamo l seguente pano d ammortamento:

4 4 ESERCIZI DI MATEMATICA FINANZIARIA k C k I k R k D k C 1 C 4 C C (1 + 4 ) 3C 2 C 3 C C (1 + 3 ) 2C 3 C 2 C C (1 + 2 ) C 4 C C C (1 + ) 0 Secondo Caso. Dobbamo scrvere gl ultm due ann del nuovo pano, sapendo che C 1 = C 2 = C 3 = C e C 4 = C 5 = C 2, dunque l pano d ammortamento è l seguente: k C k I k R k D k C 1 C 4 C C (1 + 4 ) 3C 2 C 3 C C (1 + 3 ) 2C 3 C 2 C C (1 + 2 ) C 4 C/2 C C ( + (1/2)) C/2 5 C/2 (C/2) (C/2) (1 + ) 0 Eserczo 5. (Dffcle) In un pano d ammortamento alla francese su prestto nzale d e, a rate mensl, durata par a 10 ann e tasso annuo = 4%, dopo due ann l tasso passa a 1 = 5%. Supposto che vo non ruscate a pagare pú d 1020 e mensl, d quanto (eventualmente) s allunga l vostro pano? Soluzone. La rata R del nostro pano alla francese, con la varazone del tasso da mensle ad annuo, data dalla solta formula d conversone m = , è par a R = D 0 1 (1 + ) 10, ove D 0 = L eserczo non rchede espressamente d calcolare R, n ogn caso, se lo faceste, rsulterebbe R = 1009, 06 e. Dopo k = 2 ann, camba l tasso e passa a 1 = 5%, qund la nuova rata R, usando la precedente formula con 1 al posto d, l debto resduo D k (con k = 2) al posto d D 0 e con durata che ora dovrebbe essere quella resdua, ossa 8 ann, rsulterebbe par a (1) R = D (1 + 1 ) 8,

5 ESERCIZI DI MATEMATICA FINANZIARIA 5 ove D 2 s puó determnare attraverso la seguente formula generale, valda n un arbtaro pano alla francese: D k = D 0 1 (1 + ) n+k 1 (1 + ) n. Nel nostro caso 1 (1 + ) 8 D 2 = D 0 1 (1 + ) 10. Se nseramo tale formula n eq. (1), trovamo (2) R = D 0 1 ( ) (1 + ) 10 1 (1 + 1 ) 8. Se ora nserte dat, troverete R = 1046, 50 e, qund sopra l vostro tetto mensle R max = 1020 e. Conseguentemente, essendo ora evdente che, potendov permettere d pagare al massmo R max ogn mese, la durata resdua s debba allungare, dovete rscrvete la formula data n eq. (2), con R max al posto d R e x al posto d 8, perché ora la vostra vera ncognta è la nuova durata del pano. Pertanto la nuova formula dvene 1 ( ) 8 R max = D 0 1 (1 + ) (1 + 1 ) x, da cu, con qualche passaggo algebrco, s arrva a log x = ( 1 D 0 R max 1 (1+) 8 1 (1+) 10 ( ) log(1 + 1 ) ) = 8, 2558, ossa la durata supera ora gl 8 ann d crca 0, 25 ann, l che sgnfca (approssmando per leggero dfetto) 3 mes. Eserczo 6. (Dffcle) A due ann dall estnzone d un prestto a rata costante a tasso = 5, 5%, sete d fronte a due possbl scelte. La prma consste nel chudere antcpatamente l prestto, con una penale α > 0 da defnrs, proporzonale al debto resduo. Supponendo peró d non possedere la cfra necessara per la chusura antcpata, ve la fate prestare da un altra sttuzone fnanzara, presso la quale v mpegnate n un ammortamento n 2 ann a rata costante, detta R α, sempre a tasso. La seconda, nvece, consste nel contnuare l pano orgnaro, ma sapendo questa volta che l tasso subrá un nnalzamento, passando da = 5, 5% a 1 = 6%, l che ovvamente produrrá una rata R 1 pú gravosa negl ultm 2 ann. La domanda è: per qual α è pú convenente uscre antcpatamente puttosto che contnuare? Soluzone. Se s esce antcpatamente, s deve pagare l debto resduo D n 2 pú la penale par a α D n 2, ossa n tutto D n 2 (1+α). C faccamo prestare tale somma da un altra banca, presso la quale c s mpegna n un pano alla francese a tasso n

6 6 ESERCIZI DI MATEMATICA FINANZIARIA 2 ann, qund, usando la solta formula generale dell ammortamento alla francese, s ha che (3) D n 2 (1 + α) = R α a 2, ove rcordamo che, n generale, s ha 1 (1 + ) n a n =. Se, nvece, optamo per la seconda scelta, rapplchamo la formula precedente sosttuendo D n 2 (1 + α) con D n 2, perché non v é penale, ma anche con 1, a causa dell aggravo d tasso, ottenendo qund (4) D n 2 = R 1 a 2 1. Se ora s sosttusce D n 2 rcavato dalla (4) nella (3), s trova che R 1 (1 + α) a 2 1 = R α a 2, da cu, con un semplce passaggo algebrco, s ha che (5) R α R 1 = (1 + α) a2 1 a 2. Poché la maggore convenenza nell uscre antcpatamente puttosto che contnuare é ovvamente equvalente a dre che R α < R 1 o, che é lo stesso, che R α R 1 < 1, allora, nserendo questa condzone nella (5), s trova faclmente che ossa α < 1 (1 + ) 2 dunque α < 0, 7051%. α < a 2 a 2 1 1, 1 1 (1, 055) 2 0, 06 1 = 1 0, (1 + 1 ) 2 0, (1, 06) 2 Pan d ammortamento ad nteress antcpat Eserczo 7. Un bene del valore d 4329, 4766e è venduto a rate. L acqurente effettua 5 pagament rateal annual con pano alla francese. Sapendo che l tasso annuo è = 5%, scrvere l pano d ammortamento. Redgere po un pano d ammortamento a nteress antcpat, con stesso tasso e numero d ann del precedente, con vncol che l fnanzamento netto complessvo e le rate sano ugual al pano precedente. Infne, redgere anche un pano d ammortamento alla tedesca.

7 ESERCIZI DI MATEMATICA FINANZIARIA 7 NOTA BENE: la rata del pano alla francese deve venre un numero esatto, mentre tutte le altre voc dello stesso pano vanno approssmate alla seconda cfra decmale. Soluzone. Nel pano alla francese la rata è par a: R = D e. 1 (1 + ) 5 Abbamo dunque l seguente pano d ammortamento: t C k I k R k D k , ,53 216, , ,70 177, , ,84 136, , ,03 92, , ,38 47, Dobbamo redgere un pano d ammortamento a nteress antcpat, sempre al tasso del 5%, alle seguent condzon: - l fnanzamento netto complessvo nzale è lo stesso del precedente pano, ossa 4329, 4766e; - le rate complessve sono le stesse del precedente pano; dunque valgono le seguent formule: I k = I k+1 per k = 0,..., 4; I 5 = 0; D k = D k (1 + ) per k = 0,..., 5, dove I k e D k ndcano rspettvamente la quota n conto d nteresse e l debto resduo del nuovo pano. Il pano d ammortamento è dunque l seguente: k C k I k R k D k ,47 216, , ,70 177, , ,84 136, , ,03 92, , ,38 47,

8 8 ESERCIZI DI MATEMATICA FINANZIARIA Infne, nell ultmo tpo d pano da stlare, ossa quello alla tedesca, avendo a dsposzone l corrspondente pano alla francese, sappamo che la rata tedesca, denomnata R (T ), é data da R (T ) = , 05 = 952, 38, e debt resdu e le quote captale sono dentche a quelle del corrspondente pano alla francese, mentre le quote nteress s possono rcavare per dfferenza tra la rata e le quote captale. Il pano d ammortamento alla tedesca è dunque l seguente: t C k I k R k D k ,16 206, , ,53 168,85 952, , ,70 129,68 952, , ,84 88,54 952, , ,03 45,35 952,38 952, , ,38 0 Eserczo 8. Un debto d 20000e vene estnto n 5 ann con un pano d ammortamento a nteress antcpat. Sapendo che: a) C 1 = 4000e; C 2 = 6000e; C 3 = 2000e; C 4 = 5000e; C 5 = 3000e; b) l tasso annuo è tale che: 1 + = 8%; redgere l pano d ammortamento. Soluzone. Poché l pano è a nteress antcpat, vale la seguente formula: I k = 1 + D k per k = 0,..., n. Osservamo che n tale pano l debtore effettua un pagamento vrtuale par a I 0 = 1 + D 0 = 1600e, qund rceve n prestto D 0 I 0 = 18400e, anzché D 0 = 20000e.

9 Il pano d ammortamento è l seguente: ESERCIZI DI MATEMATICA FINANZIARIA 9 k C k I k R k D k Eserczo 9. Un bene d 6000e vene venduto a rate. La rateazone è all talana, a tasso annuo = 5% su 5 ann. Redgere po un pano d ammortamento a nteress antcpat, con stesso tasso e numero d ann del precedente, con vncol che l fnanzamento netto complessvo e le rate complessve sano ugual al pano precedente. Soluzone. Nel pano all talana la quota captale è par a: C = D 0 5 = 1200e. Abbamo l seguente pano d ammortamento: k C k I k R k D k Dobbamo ora redgere un pano d ammortamento a nteress antcpat, sempre al tasso del 5%, alle seguent condzon: - l fnanzamento netto complessvo nzale è lo stesso del precedente pano, ossa 6000e; - le rate complessve sono le stesse del precedente pano; dunque valgono le seguent formule: I k = I k+1 per k = 0,..., 4; I 5 = 0; D k = D k (1 + ) per k = 0,..., 5, dove I k e D k ndcano rspettvamente la quota n conto d nteresse e l debto resduo del nuovo pano. Il pano d ammortamento è dunque l seguente:

10 10 ESERCIZI DI MATEMATICA FINANZIARIA k C k I k R k D k Eserczo fnale Eserczo 10. Un fnanzamento d 1000e vene resttuto n 4 ann a tass = 12% per prm due ann e 1 = 10% negl ultm due ann. Sapendo che la prma e la terza rata sono ugual, mentre la seconda è par a 320e e l ultma a 394, 064e, determnare la rata del prmo e terzo anno. Soluzone. Per rsolvere questo problema, è suffcente mpostare la condzone d chusura fnanzara, dove peró bsogna fare attenzone al fatto che l tasso non è costante, qund essa dvene R 1 (1 + ) + R 2 (1 + ) 2 + R 3 (1 + ) 2 (1 + 1 ) + R 4 (1 + ) 2 (1 + 1 ) 2 = 1000, ove R 1 = R 3 = R è l ncognta, mentre R 2 = 320 e R 4 = 394, 064. Se s sola l ncognta R, s arrva alla soluzone R = (1000 (1 + )2 (1 + 1 ) 2 394, (1 + 1 ) 2 ) (1 + 1 ) (1 + (1 + )(1 + 1 )) = 300.