Esame di stato di istruzione secondaria superiore Indirizzi: Scientifico e Scientifico opzione scienze applicate Tema di matematica

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1 wwwmatematicamenteit maturità 5 Esame di stato di istruzione secondaria superiore Indirizzi: Scientiico e Scientiico opzione scienze applicate Tema di matematica Il candidato risolva uno dei due problemi e risponda a 5 quesiti del questionario PROBLEMA Il piano tariario proposto da un operatore teleonico prevede, per le teleonate all estero, un canone isso di euro al mese, più centesimi per ogni minuto di conversazione Indicando con i muniti di conversazione eettuati in un mese, con () la spesa totale nel mese e con g() il costo medio al minuto: individua l espressione analitica delle unzioni () e g() e rappresentale graicamente; veriica che la unzione g() non ha massimi né minimi relativi e dai la tua interpretazione dell andamento delle due unzioni alla luce della situazione concreta che esse rappresentano Detto il numero di minuti di conversazione già eettuati nel mese corrente, determina tale che: Traccia il graico della unzione che esprime in unzione di e discuti il suo andamento Che signiicato ha il suo asintoto verticale? Sul suo sito web l operatore teleonico ha pubblicato una mappa che rappresenta la copertura del segnale teleonico nella zona di tuo interesse: Figura La zona è delimitata dalla curva passante per i punti A, B e C, dagli assi e y, e dalla retta di equazione =6; la porzione etichettata con la Z, rappresenta un area non coperta dal segnale teleonico dell operatore in questione 3 Rappresenta il margine superiore della zona con una unzione polinomiale di secondo grado, veriicando che il suo graico passi per i tre punti A, B e C Sul sito web dell operatore compare la seguente aermazione: nella zona rappresentata nella mappa risulta coperto dal segnale il 96% del territorio ; veriica se eettivamente è così L operatore di teleonia modiica il piano tariario, inserendo un sovrapprezzo di centesimi per ogni minuto di conversazione successivo ai primi 5 minuti 4 Determina come cambiano, di conseguenza, le caratteristiche delle unzioni () e g(), riguardo agli asintoti, alla monotonia, continuità e derivabilità, individua eventuali massimi e minimi assoluti della unzione g() e della sua derivata e spiegane il signiicato nella situazione concreta

2 wwwmatematicamenteit maturità 5 Punto La spesa totale in un mese è g con SVOLGIMENTO ( ) con mentre il costo medio al minuto è La unzione g è una unzione omograica (iperbole) con asintoto verticale ed asintoto orizzontale y Non ha massimi e minimi in quanto una unzione omograica non ha estremanti relativi, o alternativamente notando che la derivata prima è g' si deduce che g è strettamente decrescente in tutto il suo dominio Di seguito il graico La unzione rappresenta il costo in minuti dato da un costo isso più un costo variabile in base ai minuti stessi, quindi è una unzione lineare con i minuti di conversazione e cresce al crescere dei minuti trascorsi a teleono

3 wwwmatematicamenteit maturità 5 La unzione g rappresenta il costo medio per minuto che decresce con l aumentare dei minuti passati a teleono, al limite per tendente all ininito il coso medio si riduce al costo di un minuto in quanto il costo isso sarà trascurabilissimo (nullo o comunque quasi nullo) Punto g g 5 5 La unzione ha senso per in quanto è una quantità intrinsecamente non negativa, ed inoltre è una iperbole con asintoto verticale in Di seguito il graico La unzione rappresenta il numero di minuti che un utente dovrebbe stare a teleono per pagare un costo medio pari alla metà di quello calcolato sui minuti eettivi, il costo medio sarebbe, g Per mentre la metà del costo medio sarebbe g euro/minuto ovvero centesimi a minuto,, euro/minuto ovvero centesimi a minuto;

4 wwwmatematicamenteit maturità 5 pertanto in corrispondenza di costo per minuto, la metà del costo medio g verrebbe a coincidere con il Punto 3 La parabola ha equazione y a b c e deve passare per A(,), B(, 7/) e C(4,4) Poiché C(4,4) è il punto di massimo ed il vertice della parabola si deduce subito che b 4 b a quindi l equazione diventa y a a c Imponendo il passaggio per A a si ottiene c mentre imponendo il passaggio per C si ottiene 4 6a a, per cui l equazione diventa y Per ispezione si trova subito che la parabola passa anche per B Il territorio Z è un triangolo rettangolo isoscele di area /, mentre l area sottesa dalla parabola in [,6] è S 9 3 d 4 4 Pertanto l area coperta dal segnale è pari in percentuale a 97,6%, coerente con quanto riportato sul sito web Punto 4 Di seguito le espressioni analitiche delle nuove unzioni di spesa e costo medio a seguito dell introduzione del costo aggiuntivo dopo i 5 minuti: 6 g Di seguito i graici delle due unzioni

5 wwwmatematicamenteit maturità 5 La nuova unzione è continua in tutto il dominio R non è derivabile in 5 che è ascissa di punto angoloso in corrispondeza del quale il salto è ' 5 ' 5 non presenta asintoti essendo una composizione di unzioni lineari ed è strettamente crescente nel dominio presenta un minimo assoluto per = e vale ()= ovvero euro La nuova unzione g è continua in tutto il dominio R-{} non è derivabile in 5 che è ascissa di punto angoloso in corrispondeza del quale il 5 g ' 5 g' salto è presenta = come asintoto verticale, y come asintoto orizzontale 5 è strettamente decrescente in (,5) e strettamente crescente per >5 non presenta minimi e massimi relativi presenta un minimo assoluto per =5 e vale g(5)=, ovvero centesimi