Applicazione del principio di conservazione dell energia a sistemi aventi un gran numero di particelle.

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Tiziano Villa
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PRIMO PRINCIPIO DLLA RMODINAMICA In una trasformazione adiabatia: In una trasformazione isoora: L In una trasformazione generia: L (7) (Primo riniio della termodinamia) Aliazione del riniio di

1 PRIMO PRINCIPIO DLLA RMODINAMICA In una trasformazione adiabatia: In una trasformazione isoora: L In una trasformazione generia: L (7) (Primo riniio della termodinamia) Aliazione del riniio di onservazione dell energia a sistemi aventi un gran numero di artielle. N.B.: La (7) è una forma ridotta del riniio generale di onservazione dell energia: non inlude il termine relativo a ossibili variazioni di energia inetia he si avrebbe se il entro di massa del sistema fosse in moto risetto al riferimento del laboratorio.

2 è una funzione di stato (diende soltanto dallo stato del sistema). diende soltanto dallo stato iniziale (A) e finale (B) ma non dalla trasformazione. L diende non solo dallo stato iniziale e finale ma anhe dalla trasformazione. L si omorta ome L Per una trasformazione infinitesima: d dl d dove dl e d sono quantità infinitesime e non differenziali esatti (d invee lo è).

3 CALOR SPCIFICO DI SOLIDI In un solido ogni atomo uò osillare orno alla osizione di equilibrio in tre direzioni indiendenti. Ciò imlia: nergia inetia on 3 termini quadratii (1/ m v x, 1/ m v y, 1/ m v z ) nergia otenziale on altri 3 termini quadratii (1/ k x, 1/ k y, 1/ k z ) uindi: Ogni atomo ossiede 6 gradi di libertà. L energia erna di un solido ostituito da N atomi ed n moli, er il teorema di equiartizione dell energia, vale: 1 6N ( k ) ( n N A)(3 k ) 3 n R Se si fornise al solido una quantità di alore, aumentando la sua temeratura di, la variazione di energia erna è: 3 nr Per il rimo riniio della termodinamia, essendo nullo il lavoro omiuto sul sistema, si ottiene: L 3 nr

4 Per la definizione di alore seifio molare, si ha quindi: 3 n R 3R n n ssendo R = 8.31 J/(mol K), si riava in definitiva he: 5 J/(mol K), in aordo on quanto trovato da Dulong e Petit (valore asotio del alore seifio molare alle alte temerature).

5 CALORI SPCIFICI DI UN GAS IDAL Il gas ideale è un tiio esemio in ui il valore del alore seifio diende dalla trasformazione. Calore seifio molare a volume ostante Si definise alore seifio molare a volume ostante di un dato sistema ostituito da n moli la grandezza: n ost Siome in questo aso il alore viene eduto al sistema tramite una trasformazione isoora (L = 0), er il rimo riniio della termodinamia si uò srivere: L ioè: n n (8) Riordando i risultati reedentemente ottenuti usando il riniio di equiartizione dell energia, si ottengono, a seonda dei vari tii di gas erfetto, le seguenti esressioni er la variazione di energia erna:

6 1) Gas monoatomio 3 n R ) Gas biatomio 5 n R 3) Gas oliatomio 3 nr Sostituendo questi valori nella (8), si ottiene infine: 3 5 R, R, 3R er un gas ideale monoatomio, biatomio e oliatomio, risettivamente.

7 Calore seifio molare a ressione ostante e relazione di Mayer Si definise alore seifio molare a ressione ostante di un dato sistema ostituito da n moli la grandezza: n ost (9) Consideriamo due trasformazioni, la rima isoora (A B) e la seonda isobara (A C), he onnettono lo stato A a temeratura on due stati B e C aartenenti ad una stessa isoterma di temeratura + (v. figura). Siome il gas è ideale ( funzione solo della temeratura), la sua energia erna negli stati B e C vale: ( B) ( C)

8 Pertanto: ( A B) ( A C) (10) Nella trasformazione isoora, er il rimo riniio e er la (8), risulta: ( A B) n Nella trasformazione isobara, er il rimo riniio, er la (9) e er l equazione di stato, si ha: ( A C) L n n n R Sostituendo le due reedenti esressioni nella (10) si riava: n n n R da ui si ottiene la osiddetta relazione di Mayer: R Sfruttando i valori del alore seifio molare a volume ostante rima riavati, risulta infine: 5 7 R, R, 4R er un gas ideale monoatomio, biatomio e oliatomio, risettivamente.

9 APPLICAZIONI DL PRIMO PRINCIPIO DLLA RMODINAMICA rasformazioni adiabatihe ed esonente adiabatio Per un gas ideale (monoatomio) la variazione infinitesima di energia erna è data da: d 3 n R d n d D altra arte, er il riniio della termodinamia, in forma infinitesima, valido er una trasformazione adiabatia: d dl d dl d da ui: d n d (11) L equazione di stato si uò srivere in forma differenziale ome: d ( ) d ( n R ) d d n R d he, er la (11) e la relazione di Mayer, diventa: d d n R d n d n R d n d

10 Dividendo membro a membro la reedente er la (11), risulta: d d n n d d Riordinando si trova: d d Integrando tra lo stato iniziale e quello finale: f i d f i d ln f i ln f i he uò essere sritta ome: i i f f Ma, essendo i ed f due stati qualsiasi, arbitrariamente selti, si giunge alla formula iù generale: ostante (1) uesta equazione esrime la relazione fra la ressione ed il volume di un gas ideale sottoosto ad una trasformazione adiabatia.

11 Riordando la definizione dell esonente adiabatio ed i valori dei alori seifii a ressione e a volume ostante er i vari tii di gas ideale, si ha: 1) Gas monoatomio ) Gas biatomio ) Gas oliatomio Si osservi he: ostante ( ) 1 ostante e, riordando l equazione di stato, si uò srivere: 1 ostante (13) uesta equazione esrime la relazione fra la temeratura ed il volume di un gas ideale sottoosto ad una trasformazione adiabatia.

12 N.B.: la ostante he omare nella (13) differise da quella he omare nella (1) er il fattore moltiliativo 1/(n R). rasformazioni isoterme Siome er un gas ideale la variazione di energia erna è roorzionale alla variazione di temeratura, in una trasformazione isoterma si ha: 0 quindi, er il rimo riniio: = L Se sul gas si omie un lavoro L (ositivo) un equivalente quantità di alore si trasferise dal gas all ambiente esterno: nulla del lavoro svolto rimane immagazzinato ome energia erna del gas. rasformazioni isoore In questo aso, essendo L = 0, ome abbiamo già visto, si ha: utto il alore assorbito (o eduto) dal sistema si tramuta in un inremento (o in un deremento) di energia erna.

13 rasformazioni ilihe In un ilo: 0 = L (14) In una trasformazione ilia il alore assorbito dal sistema è uguale al lavoro omiuto sul sistema ambiato di segno. 1) Se in un diagramma - un ilo è erorso in senso orario, allora L < 0 (lavoro ositivo omiuto dal sistema) e, er la (14), > 0 (alore netto assorbito dal sistema). ) Se un ilo è erorso in senso antiorario, allora L > 0 (lavoro ositivo omiuto sul sistema) e, er la (14), < 0 (alore netto eduto dal sistema all ambiente).

viene restituito all ambiente irostante a temeratura (on < 1 ).

14 Su un ilo di tio (1) si basa il funzionamento delle mahine termihe. Il alore 1, assorbito da un termostato a temeratura 1, in arte viene onvertito in lavoro meanio (L < 0), in arte ( ) viene restituito all ambiente irostante a temeratura (on < 1 ). Cioè: 1 = + L = 1 = L La mahina, anhe se avviata, essa di fornire lavoro se non assorbe alore imossibilità del osiddetto moto eretuo di rima seie Su un ilo di tio () si basa il funzionamento delle mahine frigorifere.

15 sansione libera In questo aso un gas è inizialmente onentrato nella arte sinistra di un ontenitore adiabatio. Arendo il rubinetto il gas si esande: nel roesso non viene effettuato alun lavoro (L = 0) e non si ha nessuno sambio di alore on l ambiente ( = 0). Per il rimo riniio: 0 0 Durante l esansione la temeratura del gas rimane ostante. L esansione libera è un esemio tiio di roesso di non equilibrio: lo stato iniziale (a sinistra nella figura) e quello finale (a destra) sono stati di equilibrio; durante l esansione, erò, i arametri di stato del sistema non hanno valori definiti e la trasformazione non uò essere raresentata on un grafio nel iano -.

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