In realtà i segnali con i quali dobbiamo confrontarci più frequentemente sono limitati nel tempo

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1 Segnali trattati sino ad ora: continui, durata infinita,.. Su essi sono stati sviluppati strumenti per analizzare output di circuiti e caratteristiche del segnale: Risposta all impulso, prodotto di convoluzione, trasformata di Fourier, autocorrelazione... In realtà i segnali con i quali dobbiamo confrontarci più frequentemente sono limitati nel tempo e spesso sono segnali acquisiti e digitalizzati (campionamento del segnale) Cosa cambia?

2 Si possono trattare i segnali discreti e limitati nel tempo come moltiplicazione di segnali di durata infinita per finestre temporali e treni di impulsi Segnale di durata infinita Finestra rettangolare Treno di impulsi Segnale campionato

3 Il prodotto di segnali nel dominio del tempo diventa un prodotto di convoluzione nel dominio della frequenza

4 Campionamento dei segnali Le variazioni del segnale proveniente dal mondo fisico sono trasformate in segnali elettrici da opportuni trasduttori. Tali segnali hanno variazioni continue nel tempo, ma le misurazioni vengono effettuate solo in istanti precisi. Un fenomeno continuo viene quindi rappresentato come una sequenza discreta nel tempo. Campionare un segnale a tempo continuo significa rilevare le ampiezze del segnale su un insieme discreto di tempi. Esempio: dato un segnale f(t) (figura sopra) definito un intervallo di campionamento τ, campionare il segnale significa acquisirne il valore ai tempi nτ con < n < Il segnale campionato può essere interpretato come il segnale a tempo discreto f(nτ) Problema: Quando un segnale campionato f(nt) contiene le stesse informazioni di f(t)? Ovvero: Quando possiamo ricostruire f(t) da un segnale campionato f(nt)?

5 Segnali a banda limitata La banda occupata da un segnale è la regione di frequenze al di fuori della quale non vi sono componenti energetiche; la sua misura in Hz è indicata come larghezza di banda. Per segnali reali l'occupazione di banda è espressa in termini del solo contenuto a frequenze positive; dato che in tal caso lo spettro di potenza è una funzione pari di f, la banda totale è doppia. Un segnale f(t) è detto a banda limitata con langhezza di banda W se F ( ω) = 0 per ω > W NOTA: Se un segnale è strettamente limitato in banda, deve avere durata infinita, e viceversa. E' pratica comune, invece, parlare di limitazione in banda anche per segnali di durata finita. Nel fare questo, si considera un X(f) pari a zero per le frequenze f tali che X (f ) < ε ovvero considerare anziché X (f) a banda illimitata, una sua finestra in frequenza X W (f)= X(f)W(f) a banda limitata.

6 Teorema del campionamento (Teorema di Shannon 1949) Dato un segnale x(t) a banda limitata con larghezza di banda W, può essere univocamente ricostruito dai suoi campioni x(nτ) presi ad intervalli di campionamento 1 T S 2W ovvero ad una frequenza di campionamento F s 2W 2W è detta anche frequenza di Nyquist ovvero Un segnale con spettro nullo a frequenze maggiori di W, è univocamente definito a partire dai valori che assume agli istanti t =, con n intero Segnale campionato = segnale originario x treno impulsi

7 Trasformata di un treno di impulsi L'approccio che conviene seguire è di pensare a come ad un segnale periodico, e svilupparlo in serie di Fourier. I coefficienti si calcolano allora come: π T (t ) in quanto, tra tutti gli impulsi della sommatoria, ne resta solo uno, quello centrato in zero, dato che gli altri sono tutti esterni ai limiti di integrazione; pertanto, tutti i coefficienti risultano avere lo stesso valore, pari ad 1/T, e possiamo dunque scrivere

8 Prodotto nello spazio reale = convoluzione nello spazio delle frequenze La convoluzione ci restituisce una serie di immagini di X(f) traslate di ± n/t con T periodo di campionamento Le immagini non saranno sovrapposte solo se T 1/2W X Passa-basso Con un filtro passa-basso ritrovo lo spettro del segnale originario

9 Aliasing Fenomeno che avviene quando non si rispettano i criteri del teorema di campionamento Se T>1/2W le copie degli spettri della funzione originaria non sono più distinti tra loro Il filtro passa basso in uscita non è più in grado di restituire lo spettro originario. Alla sua uscita è presente y (t) x (t), che si differenzia da x (t) in particolar modo per i contenuti energetici nella regione delle frequenze più elevate. In un segnale audio, ad esempio, ci si accorge che c'è aliasing quando è udibile una distorsione (rumore) congiuntamente ai passaggi con maggior contenuto di alte frequenze.

10 Esempio: onda sinusoidale con f crescente campionata sempre alla stessa frequenza ω = S ω 0 6 ω = S 2ω 0 6 ω = S 4ω 0 6 ω = S 5ω 0 6

11 Il fenomeno dell'aliasing può insorgere, oltre che nel caso in cui si commetta il banale errore di adottare T c > 1/2W, anche a causa di una imperfetta limitazione in banda di x (t) (che viene in genere filtrato proprio per accertarsi che sia X(f)~ 0 con f > W). Altri problemi possono essere causati dal filtro di restituzione H(f), che difficilmente si riesce a realizzare ideale. Questo può presentare infatti una regione di transizione tra banda passante e banda soppressa di larghezza non nulla. In questo caso occorre sovracampionare con periodo Tc = 1 2W ' < 1 2W in modo che le repliche spettrali siano più distanziate tra loro, e quindi il filtro di ricostruzione possa isolare la replica centrale.

12 In opportune condizioni un segnale discreto (campionato) può contenere tutte le informazioni del segnale originario e quest ultimo può essere ricavato utilizzando un filtro passa-basso. Su un segnale discreto possono essere fatte molte operazioni: può essere convertito in un segnale digitale e memorizzato può essere manipolato da algoritmi software... Quali degli strumenti sviluppati per segnali continui possono essere utilizzati per segnali discreti e nel caso che modifiche bisogna apportare? Risposta all impulso discreto e convoluzione Dati x n sequenza in input e y n sequenza di output e assunto che il sistema discreto sia LTI si può caratterizzare tramite la risposta all impulso come nel caso continuo. Sistema discreto LTI: Dati x1 n e x2 n (due input separati) e y1 n e y2 n (rispettive uscite) allora se x n =x1 n + x2 n y n =y1 n + y2 n (linearità) se x n-m segnale di ingresso ritardato il sistema genera y n-m (uscita ritardata) Dato x n =δ n,0 (delta di Kronecker) e la risposta del sistema h n allora ogni segnale generico in ingresso darà in uscita: y n = j = x j h n j Analogo discreto dell integrale di convoluzione o sostituendo m=n-j y n = m = x n m h m

13 Nel caso di sistemi continui abbiamo trovato che e st è autofunzione per il sistema con autovalore H ( s ) Per un sistema discreto e st z n con - < n < sτ = h( τ ) e dτ Se x n =z n allora n m n m yn = z hm = z z hm = m = m = z n H (z ) X z ) con m = H ( z ) m x m = m = z m hm ( = z è definita trasformata z

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19 Trasformata discreta di Fourier (DFT) e Fast Fourier Transform (FFT) Il calcolo della trasformata discreta di Fourier richiede di moltiplicare un vettore a N componenti [f(0),...f(n-1)] per una matrice NxN la cui componente alla riga n e colonna k è i 2πnk N e Tale calcolo richiede un numero di operazioni di somma e prodotto dell ordine di N 2 richiede troppo tempo Es. se per una operazione si impiega un microsecondo con 1000 campioni si impiegherà 1 secondo a calcolare la DFT. Esistono alcuni algoritmi che semplificano i conti riducendo a N log(n) il numero di operazioni (nel caso dell esempio sopra si impiega un tempo 100 volte minore) FAST FOURIER TRASFORM Quindi posso calcolare la trasformata di un vettore a N componenti sommando le trasformate di 2 vettori a N/2 componenti Utilizzabile quando il numero di elementi del vettore è una potenza di 2

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