Problemi di Fisica. Elettromagnetismo. La Carica Elettrica e la Legge di Coulomb

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1 Problemi di isica Elettromagnetismo La arica Elettrica e la Legge di oulomb Data la distribuzione di carica rappresentata in figura, calcolare la forza totale che agisce sulla carica Q posta nell origine degli assi cartesiani. I dati sono: Q +6e Q -e Q +e Q +5e Q -e D cm D cm D cm D cm α 0 α 5 α 0 α 80 Distribuzione delle cariche

2 Applicando la legge di oulomb, determiniamo il valore delle singole forze che agiscono sulla carica Q per effetto dell interazione con la distribuzione di cariche: Q Q K D 0, e e ( 0 ), 0 0 e (,6 0 0 ) Q Q K D 0 e ( 0 ) 0, , 0 5 Q Q K D 0 0e ( 0 ) 0 0, ,5 0 5 Q Q K D 0 6e ( 0 ) 0 6, Rappresentiamo graficamente queste forze, riportandole in scala sul sistema di assi cartesiani, e con l aiuto dell algebra vettoriale (metodo del parallelogramma) determiniamo la forza risultante che agisce sulla carica Q: Diagramma delle forze

3 A questo punto determiniamo il modulo e l argomento della forza risultante che agisce su Q, facendo uso delle seguenti nozioni sui vettori: omponenti del vettore Modulo del vettore Argomento del vettore cos α X Y Y senα X + Y tg α α arctg α X Le componenti delle singole forze sono: omponenti di omponenti di X Y cos α senα, 0, cos sen0 5,6 0 5 X Y cos α senα 0, 0 0, cos 5, 0 sen5, omponenti di omponenti di X Y 0 67,5 0 5 X Y cos α senα cos 80,0 0 sen80 5, Le componenti della forza risultante sono date dalla somma algebrica delle componenti delle singole forze: X Y , 0 67, ,8 0 X X X X X 5 5, , 0 8, 0 Y Y Y Y In definitiva il modulo e l argomento della forza risultante sono dati da: X + 07, 0 Y ( 5,8 0 ) + ( 8, 0 ) tgα Y X 8, 0 5, , α arctgα 56,

4 La forza esercitata su una carica Q 0,5 0-5 quando una seconda carica Q,5 0 - è posta a una distanza d 0,8 0 - m è di 6, 0-5. Determinare il valore della costante dielettrica in cui sono immerse le cariche. La costante dielettrica relative del mezzo si calcola come formula inversa della legge di oulomb: πε ε 0 R 0,5 0 π 8,85 0 Q Q d πε ε 5 0 R,5 0 6, 0 5 d Q (0,8 0 Q ) ε R Q πε, Q d, 0 0 Il valore corrisponde all alcol etilico.

5 el modello di Rutherford dell atomo di idrogeno l elettrone ruota attorno al nucleo alla distanza di circa R 0 - nm. Qual è la frequenza della rotazione? (m e, 0 - kg; e,6 0 - ; K 0 m / ) In questo modello, l elettrone descrive una traiettoria circolare per cui è soggetto ad una forza centripeta, ossia una forza diretta verso il nucleo: m a dove: a ω R è l accelerazione centripeta ω π f è la pulsazione legata alla frequenza di rotazione f Sostituendo queste quantità in troveremo la frequenza di rotazione: m a m ω R m (π f) R π f m R f π m R f π m R Ma la forza centripeta non è altro che la forza elettrica che calcoliamo con la legge di oulomb: e K R 0 8,6 0 ( 0 0 ),5 0 per cui: f π,5 0, Hz

6 Determinare la distanza d alla quale dovrebbero porsi due elettroni affinché la forza di interazione elettrica sia uguale al loro peso sulla superficie della erra. (m e, 0 - kg; e,6 0 - ; K 0 m / ; g,8 m/s ) Poiché la forza elettrica tra i due elettroni è uguale alla loro forza peso sulla superficie della erra, calcoliamo quest ultima applicando il secondo principio della dinamica: E P m g, 0,8 8, 0 Per calcolare d, applichiamo la legge di oulomb: e K e K e 0,6 0 E K E d K e d d 5,m d 8, 0 E E 8

7 alcolare il raggio di una sfera di ferro che potrebbe essere sollevata da terra dalla forza d interazione tra due cariche elettriche di poste alla distanza di m. (K 0 m / ; densità del ferro σ 7,8kg/m ) Il raggio di una sfera è legato al suo volume dalla formula: V πr R V π R V π Per calcolare R manca il volume, che può essere calcolato come: σ m V V m σ Però ci manca il valore m della massa della sfera di ferro, che può essere calcolata applicando il secondo principio della dinamica: P m g m P g 0,8 0, 0 kg dove la forza peso P, stando ai dati del problema, è uguale alla forza elettrica tra due cariche di poste alla distanza di un metro: P E Q Q K d 0 0 Per cui: V 0, 0 0, 0 0, 0 m e quindi: R 0, 0 m 0m 7,8 π

8 Determinare il valore che dovrebbero avere due cariche uguali poste una sulla erra e l altra sul Sole, affinché la forza di repulsione elettrica neutralizzi l attrazione gravitazionale erra Sole. (M Sole,8 0 0 kg; M erra 5,8 0 kg; G 6, m /kg ; K 0 m / ) E Q Q E M S M G d G La condizione per cui la forza elettrica repulsiva tra le due cariche uguali neutralizzi la forza gravitazionale attrattiva tra la erra ed il Sole, è la seguente: E G Q K d/ M G S M d/ K Q G M S M Q G M S K M Q G M S K M 6,67 0, ,8 0,6 0 7

9 Due cariche Q + 8e Q -e sono poste alla distanza L 0 cm. In che punto si può collocare un protone in modo che resti in equilibrio? Innanzitutto stabiliamo da che parte bisogna sistemare il protone: p Q p Q p X + A B - L x enendo presente la legge di oulomb, valgono le seguenti considerazioni: se il protone fosse nel punto A, su di esso agirebbero due forze opposte, ma sarebbe più grande di in quanto la carica Q, oltre ad essere più vicina al protone, ha un valore più grande della carica Q ;quindi il protone si sposterà verso sinistra e pertanto la posizione A non può essere quella di equilibrio. se il protone fosse nel punto B, su di esso agirebbero due forze concordi, per cui il protone si sposterà verso sinistra; pertanto la posizione B non può essere quella di equilibrio. se il protone fosse nel punto, su di esso agirebbero due forze opposte, ed essendo la carica Q più lontana, la posizione sarà quella di equilibrio. ella posizione di equilibrio, le due forze e dovranno essere uguali in modulo: () Se poniamo la carica Q nell origine dell asse X ed indichiamo con x la posizione del protone rispetto a Q, la () diventa: Q p Q p K/ / / K/ Q (x L) Q x 8e (x L) ex x (x L) x L x + L x x L x + L 0 L equazione da risolvere è un equazione di grado, la cui soluzione ci darà la posizione di equilibrio del protone: x 80x x 68, cm x,7 cm La soluzione x,7 cm va scartata in quanto in quella posizione il protone si troverebbe nella posizione tra Q e Q, che come abbiamo visto, non è una posizione di equilibrio.

10 Una sferetta di massa m,00 g possiede una carica di, Se la erra, approssimata a una sfera di raggio 6,8 0 km, avesse una carica di segno opposto uguale a,00 0, quale sarebbe l accelerazione della sferetta in prossimità della superficie terrestre? onsideriamo la carica distribuita sulla erra come una carica puntiforme posta nel suo centro (teorema sul guscio sferico carico). Per calcolare l accelerazione della sferetta applichiamo il principio della dinamica: ma e + P ma e + mg ma e mg a + () m dove le forze che agiscono sulla sferetta sono la forza di oulomb e, attrattiva, e la forza peso P: Q q,00 0,00 0 e K 0 6 R (6,8 0 ) 0,0 P mg,00 0,8 0,088 Sostituendo nella () i valori trovati, otterremo l accelerazione della sferetta: a 0,0 + 0,088 0,8 m/s

11 Due piccole sfere conduttrici identiche hanno cariche Q e q. Sapendo che, dopo essere state messe a contatto fra loro, esercitano l una sull altra, a parità di distanza, una repulsione elettrica uguale a /8 di quella esercitata prima del contatto, determina il rapporto Q/q. Prima del contatto le due sfere agiscono attraverso la forza elettrica data da: Q q K r Dopo il contatto, la carica su entrambe le sfere è (Q+q)/, in quanto si ripartisce in parti uguali essendo le sfere identiche, per cui l intensità della forza di repulsione è: Q + q K r Imponendo che sia: 8 otteniamo: Q + q K r Q q K 8 r Q + q + Qq Qq Q 8 + q + Qq Qq Q + q 5Qq Dividendo entrambi i membri per q e ponendo Q/q x, otteniamo un equazione di grado che risolta ci darà i valori dell incognita Q/q: 5 ± ± x 5x + 0 x x ; x

12 In ciascuno dei vertici di un triangolo rettangolo isoscele, di cateto 6,0 cm, è posta una carica positiva q, Determinare l intensità della forza elettrica agente su ciascuna carica. ORZA OALE AGEE SULLA ARIA I A Per il principio di sovrapposizione, sulla carica posta in A agisce una forza totale che è la somma vettoriale delle forze che le cariche poste in B ed in esercitano sulla carica posta in A: + B alcoliamo analiticamente la forza totale Innanzitutto determiniamo il valore delle forze B e attraverso la legge di oulomb: q q,0 0,0 0 B K 0 AB 0,06 0,05 q q,0 0,0 0 K 0 A 0,08 0,0 dove: A AB + B 0,06 + 0,06 0, 08 m Le componenti di B e sono: omponenti di B omponenti di BX BY B 0 0,05 X Y cos α 0,0 cos 5 0,00 senα 0,0 sen5 0,00 dove α 5 perché il triangolo è rettangolo isoscele

13 Le componenti della forza risultante sono date dalla somma algebrica delle componenti delle singole forze: X 0,05 0,00 0, 05 Y Xi BX X + 0 0, , 00 Yi Y In definitiva il modulo e l argomento della forza risultante sono dati da: Y 0,00 X + Y 0,05 + 0,00 0,06 tgγ 0,8 γ 5, 8 0,05 X. ORZA OALE AGEE SULLA ARIA I B Per il principio di sovrapposizione, sulla carica posta in B agisce una forza totale che è la somma vettoriale delle forze che le cariche poste in A ed in esercitano sulla carica posta in B: + A alcoliamo analiticamente la forza totale Innanzitutto determiniamo il valore delle forze A e attraverso la legge di oulomb: A 0 q q K AB,0 0,0 0 0,06 0,05 0 q q K B,0 0,0 0 0,06 0,05 Poiché A e sono perpendicolari tra loro, il modulo e l argomento della forza risultante sono dati da: 0,05 A + 0,05 + 0,05 0,05 tg β β 5 0,05 A

14 . ORZA OALE AGEE SULLA ARIA I Per il principio di sovrapposizione, sulla carica posta in agisce una forza totale che è la somma vettoriale delle forze che le cariche poste in A ed in B esercitano sulla carica posta in : A + B alcoliamo analiticamente la forza totale Innanzitutto determiniamo il valore delle forze A e B attraverso la legge di oulomb: A q q,0 0,0 0 K 0 0,0 B 0,08 B q q,0 0,0 0 K 0 0,05 B 0,06 dove: A AB + B 0,06 + 0,06 0, 08 m Le componenti di B e sono: omponenti di B omponenti di BX BY 0 B 0,05 AX AY A cos α 0,0 cos 5 0,00 senα 0,0 sen5 0,00 dove α 5 perché il triangolo è rettangolo isoscele Le componenti della forza risultante sono date dalla somma algebrica delle componenti delle singole forze: X Xi AX + BX 0, , 00 Y Yi AY + BY 0,00 + 0,05 0, 05 In definitiva il modulo e l argomento della forza risultante sono dati da: Y 0,05 X + Y 0,00 + 0,05 0,06 tgγ,5 γ 7, 0,00 X