10. FUNZIONI CONTINUE

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1 . FUNZIONI CONTINUE DEFINIZIONE DI CONTINUITÀ DI UNA FUNZIONE IN UN PUNTO 46 oppure: def. f cotiu i lim f ( ) = f ( ) def. f cotiu i lim f ( + h ) = f ( ) h Il cocetto è vermete fodmetle e quidi dimo d lizzrlo ei dettgli. Duque u fuzioe è cotiu i u puto se e solo se per defiizioe: è defiit i tede limite per che tede ; tle limite coicide col vlore che l fuzioe ssume co = Possimo che dire che def. f cotiu i esistoo si lim ( ) lim ( ) ( ) f che f e soo etrmbi uguli f + Dicimo che per le fuzioi che si utilizzo più frequetemete (otteute operdo i svriti modi su fuzioi lgebriche goiometriche logritmiche espoezili ) l cotiuità è l orm metre l discotiuità è l eccezioe. Per questo motivo il cocetto di cotiuità si comprede meglio ttrverso i CONTROesempi cioè gli esempi di DIScotiuità. I TRE TIPI DI DISCONTINUITÀ Si h u discotiuità di specie o di tipo slto qudo esistoo l tedere di si il limite siistro che il limite destro e soo etrmbi fiiti m soo diversi fr loro cosicché ell ttrversmeto dell sciss si h pputo u slto ugule ll differez fr il limite destro e quello siistro. Esempi: = rc tg. Quest fuzioe f ( ) h u discotiuità di specie o di tipo slto i = i quto lim f( ) = lim f( ) = + Il slto vle duque = g( ) = = sigum( ) Quest fuzioe g( ) h u discotiuità di specie o di tipo slto i = : lim g ( ) = ; lim g ( ) =+ + Il slto dell g( ) ell origie vle

2 47 Si h u discotiuità di specie qudo l tedere di lmeo uo fr i due limiti siistro e destro o o esiste oppure esiste m è ifiito. Esempi: y = 3 h u discotiuità di specie i = 3 (limiti siistro e destro ifiiti) y = e h u discotiuità di specie i = (il limite destro è ifiito) y = se h u discotiuità di specie i = (il limite o esiste) Si h u discotiuità di 3 specie (discotiuità di tipo buco discotiuità elimibile ) qudo l tedere di l fuzioe tede d u limite fiito che però o coicide co f ( ) o per il ftto che f( ) oppure per il ftto che f ( ) o esiste cioè l fuzioe o è defiit i. Esempi: 3+ ( )( ) y = = = = m co ( rett col buco : discotiuità di 3 specie i = ) h ( ) = se lim h ( ) = m h() o esiste (discotiuità di 3 specie i = ) se co s ( ) = co = lim s ( ) = m s () = DEFINIZIONE DI CONTINUITÀ DI UNA FUNZIONE IN UN INSIEME U fuzioe y = f () si dice cotiu i u isieme E (o su di u isieme E ) se è cotiu i ogi puto di E.

3 48 CONTINUITÀ SUL LORO DOMINIO DELLE FUNZIONI ELEMENTARI Soo cotiue su tutto il loro domiio ( = i tutti i puti del loro domiio) le segueti fuzioi: (qulche dimostrzioe è riportt più vti le ltre dimostrzioi soo omesse) fuzioe domiio = k D = = D = = P( ) = D = P ( ) f( ) = co Pi ( ) poliomi P ( ) D = { tli che P( ) } f( ) = [ + ) se è pri D = se è dispri = se D = = cos D = se { = tg = } D = (k + ) co k cos cos f( ) = cotg = se D = { k co k } = rc se D = [ ] ; vlori i [ / /] = rc cos D = [ ] ; vlori i [ ] = rc tg D = ( + ); vlori i ( / /) = rc cotg D = ( + ); vlori i ( ) f( ) = co > i prticolre y = e D = f( ) = log co > i prticolre y = l D = ( + ) DIMOSTRAZIONE DELLA CONTINUITÀ DI ALCUNE FUNZIONI ELEMENTARI Osservzioe prelimire: poiché def. f cotiu i lim f ( ) = f ( ) per dimostrre che u dt fuzioe f () è cotiu i si imposterà l disequzioe f( ) f( ) < ε co l obiettivo di fr vedere che ess è verifict su tutto u itoro di (come bbimo già più volte sottolieto o è ecessrio che l itoro trovto si circolre perché comuque qulsisi itoro di u puto cotiee sempre u itoro circolre di quel puto) Dimostrimo che l fuzioe costte = k è cotiu per ogi L tesi è: lim k = k Osservzioe: il coteuto del teorem è molto ble: ce e scusimo col lettore. Dimostrzioe Cosiderimo u quluque. Impostimo l disequzioe: f( ) f( ) < ε per stbilire d quli vlori di è verifict. Ess divet ell fttispecie: k k < ε e ci redimo immeditmete coto che è verifict quluque fosse l cosiderto i prtez vle dire su tutto ; quidi l disequzioe post è verifict su tutto u itoro di. Dimostrimo che l fuzioe idetic = è cotiu per ogi Tesi: lim = Osservzioe: che questo teorem ivoc idulgez per l blità del suo coteuto. Dimostrzioe Cosiderimo u quluque. Impostimo l disequzioe: f( ) f( ) < ε. Ess divet ell fttispecie: < ε ed è verifict per ε < < + ε che è u itoro di. I prtic il δ = δε ( ) può essere preso ugule ε (o mggior rgioe < ε ).

4 U fuzioe poliomile P( ) = è cotiu per ogi cioè: ( ) 49 lim = Dim. Coseguez di teoremi precedeti: l fuzioe idetic = è cotiu per ogi : lim f ( ) = lim kf ( ) = k ( k ) c c lim f ( ) = lim [ f ( )] = ( * ) lim = c c il limite di u somm lgebric di più fuzioi è ugule ll somm dei limiti supposto che tutti questi limiti esisto e sio fiiti [ ] lim f ( ) = lim f ( ) + k = + k k c c Dimostrimo che u fuzioe lgebric rziole frtt f( ) P ( ) = P ( ) co i ( ) P poliomi è cotiu su tutto il suo domiio (che è poi l isieme degli che o ullo il deomitore P ( ) ) Dim. Coseguez di teoremi precedeti: u fuzioe poliomile P ( ) = è cotiu per ogi il limite del quoziete di due fuzioi è ugule l quoziete dei limiti (supposto che etrmbi esisto e sio fiiti e che il limite dell fuzioe deom. si ). Dimostrimo che l fuzioe seo = se è cotiu per ogi lim se = ; b) Per l dimostrzioe occorre prelimirmete provre che: ) lim cos = ) Dimostrimo che lim se =. Voglimo fr vedere che l disequzioe se < ε (ossi se < ε ) co ε umero positivo rbitrrimete prefissto è verifict i tutto u itoro dell sciss =. M osservimo l figur qui sotto: ess ci mostr che risult sempre se < quidi qulor si bbi < ε cioè: qulor pprteg ll itoro di cetro = e rggio δ = ε è certmete mggior rgioe se < ε. L tesi è dimostrt: isomm i corrispodez di qulsivogli ε > prefissto il δ = δε ( ) che v bee esiste: bst predere δ = ε (o δ < ε ). NOTA: prtire dll disugugliz se < vremmo potuto che utilizzre il teorem del cofroto è l lughezz dell rco AP misurto i rditi; se è l misur del segmeto HP. Il segmeto PP' è più corto dell rco che v d P P' (quest disugugliz ovvi ll ituizioe può essere comuque dedott dll def. di lughezz di u curv l qule port co sé come coseguez il ftto che fr tutti i cmmii che cogiugoo due puti quello rettilieo è il più breve ). Quidi se < d cui se <. Abbimo supposto per semplicità > ; se il sego di è rbitrrio vle ivece l relzioe se < b) I quto l limite lim cos = esso si può dedurre d lim se = teedo coto delle formule goiometriche e di teoremi sui limiti già cquisiti. BENE! Simo questo puto filmete proti per l dimostrzioe del ostro sserto: l fuzioe seo = se è cotiu per ogi. Poimo l tesi sotto l form lim se( + h) = se. Provre quest relzioe è or semplicissimo h bsterà iftti combire l formul di ddizioe se( + h) = se cos h + cos se h coi risultti precedeti lim se = e lim cos = pplicti co h l posto di.

5 5 OPERAZIONI CON FUNZIONI CONTINUE Di teoremi sui limiti e dll defiizioe di cotiuità segue che: L somm l differez il prodotto di due fuzioi cotiue i uo stesso puto soo pure fuzioi cotiue i f g cotiue i f + g f g f g cotiue i L potez co espoete itero positivo di u fuzioe cotiu i è pure u fuzioe cotiu i f cotiu i [ ] cotiu i ( * = {}) Il quoziete di due fuzioi cotiue i è pure u fuzioe cotiu i purché l fuzioe divisore o si ulli i f f g cotiue i e g( ) cotiu i g Il vlore ssoluto di u fuzioe cotiu i è pure u fuzioe cotiu i f cotiu i cotiu i L INVERSA DI UNA FUNZIONE CONTINUA Si può ioltre dimostrre (oi ci limitimo d eucirlo) il seguete Teorem sull cotiuità dell fuzioe ivers di u fuzioe cotiu: SE u fuzioe f ( ) è cotiu su di u isieme E ed è ivertibile su E ALLORA l su fuzioe ivers f è cotiu sull isieme f ( E ) (col simbolo f (E ) si idic l isieme delle immgii dei puti di E ttrverso l f ). L cotiuità su tutto il loro domiio delle iverse delle fuzioi circolri (si dice che: fuzioi goiometriche iverse ): rc se rccos rc tg rccotg può essere cosidert come coseguez del precedete Teorem sull cotiuità dell fuzioe ivers essedo stt prelimirmete provt l cotiuità delle rispettive fuzioi dirette se cos tg cotg. COMPOSIZIONE DI FUNZIONI E IN PARTICOLARE DI FUNZIONI CONTINUE Rest d cosiderre l cosiddett COMPOSIZIONE DI FUNZIONI. Ce e simo occupti i u prgrfo pposito del cpitolo Verso l lisi ; ricpitolimo qui il succo del discorso. Esempi di fuzioi composte soo: se ( ) + y = cos3 y = e y = l = l y = l y = 6 Prededo d esempio y = cos3 si vede che i ess ci soo due compoeti : l fuzioe triplo che d f pssre 3 ; e l fuzioe coseo che d questo 3 ci port cos3. 3(*) cos(*) 3 cos3 Il geerle pplicdo prim u fuzioe g e poi l risultto così otteuto u secod fuzioe f si h: g(*) f (*) g( ) f g( ) = ( f g)( ) ( ) IMPORTANTE: LA FUNZIONE CHE È STATA APPLICATA PER ULTIMA VIENE SCRITTA PER PRIMA! Chimdo z il umero itermedio si vrà: g(*) f (*) z = g( ) y = f( z) = f g( ) = ( f g)( ) ( ) Se le due fuzioi compoeti z = g() y = f (z) soo tli che: g è cotiu i u dto puto e f è su volt cotiu i quel puto z tle che z = g() cosicché i qulche modo le due cotiuità si sldio ci possimo domdre: srà certmete cotiu (el puto ) che l fuzioe compost y = f ( z) = f ( g( ) )? L rispost (ffermtiv) è discuss elle impegtive pgie segueti le quli giustifico che i procedimeti di sostituzioe ( implicit od esplicit ) i quli spesso occorre fre ricorso el clcolo di u limite.

6 5 SOSTITUZIONE DI VARIABILE NELL AMBITO DEL CALCOLO DI UN LIMITE Obiettivo di questo prgrfo è di dimostrre che eseguedo esercizi sui limiti è corretto effetture sostituzioi di vribile esplicite o implicite come egli esempi segueti: Sostituzioe implicit: Sostituzioe esplicit: Ciò si rissume dicedo che: + se 5 lim = ; lim l = se5 se z lim = lim = (5 = z; qudo che z ) 5 z z lim l = lim l z = z; qudo z + z + = se l fuzioe f di cui voglimo clcolre il limite dipede su volt d u fuzioe g ( ) che qudo tede c tede d u limite (fiito o ifiito) possimo comportrci come se vessimo l posto di g ( ) u vribile idipedete z tedete Vle iftti il seguete rilevte Teorem: TEOREMA SUL LIMITE DI UNA FUNZIONE COMPOSTA O TEOREMA DI SOSTITUZIONE (i simboli c L potro idicre u umero fiito oppure + o o ) Suppoimo di voler clcolre il lim ( ( )) f g. c Suppoimo ioltre che sio verificte le segueti due ipotesi: I. lim g ( ) = II. lim f ( z) = L c z Allor vremo (TESI): ( ) lim f g( ) = lim f ( z) = L c z Dimostrzioe L tesi è che lim f ( g ( )) = L cioè che I I I { } ( ( )) I c L c tle che c c f g L. Fissimo duque d rbitrio u IL. Per l'ipotesi II) i corrispodez di questo IL esisterà u I tle che (*) z I { } f( z) IL Per l'ipotesi I) i corrispodez di questo I esisterà poi u Ic tle che (**) I c c g( ) I { } Ci redimo or coto di u difficoltà. (**) ci dice che l fuzioe g (quell che viee pplict per prim) qudo oper sugli di I c { c} geer vlori che sto i I ; (*) fferm che qudo l fuzioe f oper su vlori che sto i I geer vlori che sto i IL CON UNA POSSIBILE ECCEZIONE: qudo z = il vlore f ( z ) potrebbe che ) o esistere oppure b) stre FUORI d IL. Se o iterveisse quest possibile eccezioe l tesi srebbe dimostrt e Ic srebbe l itoro di c di cui si volev provre l esistez. bbimo scoperto che per ssicurre l vlidità dell tesi OCCORRE UN IPOTESI SUPPLEMENTARE ossi che III. esist u itoro J c di c per ogi del qule (escluso tutt l più c ) si certmete g ( ) Se duque vle l ipotesi supplemetre III vremo che per ogi di Ic J c { c} risulterà cotemporemete g ( ) I e J c { c} g( ) ossi (***) Ic J c { c} g( ) I { }. Quidi vremo combido (***) co (*) Ic J c { c} g( ) I { } f ( g( ) ) IL. I corrispodez dell' IL rbitrrimete fissto si è quidi provto che esiste u itoro di c ( si trtt di Ic Jc ) per ogi del qule eccettuto l più = c se c è fiito risult f ( g( ) ) IL. L tesi è dimostrt. M C È STATO BISOGNO DELL IPOTESI SUPPLEMENTARE III. +

7 5 OSSERVAZIONE : l scrs icidez dell ipotesi supplemetre E pur vero che quest ipotesi supplemetre è qusi sempre verifict meo di dre scomodre situzioi prticolrissime. Cosiderimo d esempio l fuzioe g ( ) = se + 4. Ess è tle che lim g( ) 4 = =. Osservimo che se ssume i qulsisi itoro dell sciss c = ifiite volte il vlore e quidi g( ) ssume i qulsisi itoro dell sciss c = ifiite volte il vlore 4. Cosiderimo poi l fuzioe 5 co z 4 f( z) = co z = 4 Avremo lim f ( z) = 5 = L m 4 f (4) =. Se or oi costruimo l fuzioe compost f ( g( )) vedimo che ess ssume i ogi itoro di c = ifiite volte il vlore 5 e ifiite volte il vlore quidi o tederà essu limite se fccimo tedere. NON è quidi verifict l tesi del Teorem ossi lim f ( g ( )) = L per il ftto che il teorem stesso o è pplicbile o vledo l ipotesi supplemetre III. M che fuzioe str bbimo dovuto chimre i cus per poter costruire questo cotroesempio! Osservimo cor che el cso si ifiito il problem dell ipotesi supplemetre semplicemete o si poe. OSSERVAZIONE : l ipotesi supplemetre è superflu se f è cotiu i. Possimo fre che u ltr osservzioe. Abbimo vuto bisogo dell ipotesi supplemetre III qudo ci simo ccorti che mcvo del tutto ell ipotesi origiri del teorem codizioi sul comportmeto dell fuzioe f (z) IN z = ; il vlore f ( ) potev che ) o esistere b) esistere m o coicidere co L. Queste due circostze vrebbero portto il vlore f ( g( )) el cso fosse g= ( ) rispettivmete ) o esistere b) collocrsi purché IL veisse preso sufficietemete piccolo FUORI dll itoro IL che qulor il puto tle che g= ( ) pprteesse I c { c}. Se però e f ( z ) è CONTINUA i L = lim f( z) = f( ) z z = llor si h e il vlore f ( ) esiste ed è utomticmete coteuto i qulsisi itoro di L quidi o rischi più di o esistere é di stre l di fuori dell itoro IL. I defiitiv: l ipotesi supplemetre III è del tutto superflu el cso si u vlore fiito e l fuzioe f si cotiu i.

8 53 COROLLARIO SE l fuzioe g ( ) è cotiu i e l fuzioe f () z è cotiu i g ( ) ALLORA l fuzioe compost f ( g ( )) è cotiu i. Dimostrzioe Iftti sotto le predette ipotesi di cotiuità si h lim g ( ) = g ( ) lim f ( z ) = f g ( ) ( ) z g( ) e ciò implic per il Teorem sul Limite di u Fuzioe Compost ppe dimostrto (l cui ppliczioe dt l cotiuità di f o richiede l ipotesi supplemetre III) lim f g ( ) = f g ( ) ( ) ( ) ossi l cotiuità i f g(). Potremmo ricordre più fcilmete questo importte Corollrio eucidolo el modo seguete piuttosto vgo m utile pputo per teere mete il cocetto: l fuzioe otteut compoedo due fuzioi cotiue è cor u fuzioe cotiu. dell fuzioe compost ( ) OSSERVAZIONE 3 (uo slog importte!) Se e u fuzioe f è CONTINUA i cioè lim f ( z) = f ( ) z llor pres u qulsivogli fuzioe g() tle che lim g ( ) = il Teorem di Sostituzioe c (sez bisogo dell ipotesi supplemetre dt l cotiuità dell f i ) ci ssicur che lim ( ) ( ) f g = f = f ( lim g( ) c c ) e compttdo l scrittur (*) lim f g( ) = f lim g( ) c c il che utorizz formulre il seguete slog (vgo m efficce): le fuzioi cotiue soo tutte e sole quelle fuzioi per le quli il simbolo di limite si può portre d fuori detro il simbolo di fuzioe e vicevers. ( ) L frsett dev essere utilizzt come u rimdo ll ugugliz (*): isomm lo slog codes l ffermzioe che u fuzioe f è cotiu i u puto se e solo se per l f vle l ugugliz () comuque si pred u fuzioe g che tede (NOTA). L proposizioe si ricord bee se si pes che geerlizz l ovvi biimpliczioe seguete: f cotiu i lim f ( ) = f ( lim ) NOTA: bbimo ppe ftto vedere che se f è cotiu i llor quluque si l fuzioe g( ) tedete vle l (); se vicevers per u dt fuzioe f vle l () quluque si l fuzioe g( ) tedete llor preso il cso prticolre g( ) = e fcedo tedere c = (d cui g ( ) = ) vremo lim f ( ) = f ( lim ) = f ( ) quidi l f srà cotiu i. COROLLARIO U fuzioe dell form F( ) = [ f( ) ] g( ) se f ( ) e g( ) soo cotiue ciscu sul proprio domiio è cotiu sul suo domiio; i prticolre u potez d espoete irrziole r ( r ) è u fuzioe cotiu su tutto il suo domiio. Dimostrzioe Immeditmete deducibile dl Teorem sul Limite dell Fuzioe Compost utilizzdo l idetità [ ( )] g( ) g( ) l g( )l f = e = e e teedo preseti teoremi già cquisiti i prticolre l cotiuità dell fuzioe logritmic.