Diagrammi asintotici di Bode: esercizi. Tracciare i diagrammi asintotici di Bode della seguente funzione G(s): s 2. s(s 30)(1+ s

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1 Nyquist: Diagrammi asintotici di Bode: esercizi Tracciare i diagrammi asintotici di Bode della seguente funzione G(s): 6(s2 +.8s+4) s(s 3)(1+ s 2 )2. Pendenza iniziale: -2 db/dec. Pulsazioni critiche: ω = 2 (due zeri complessi coniugati stabili), ω = 3 (un polo instabile) e ω = 2 (due poli stabili). Diagramma asintotico dei moduli Funzione G (s): G (s) = 6(4) s( 3)(1) 2 = 8 s 2... G (s) 1 1 i Fase iniziale ϕ = 3 2 π Diagramma a gradoni delle fasi i Funzione : = 6(s2 ) s(s)( s 2 )2 = 24 s 2 Fase finale = π ϕ Guadagno : = G (s) s=2 = 4 = 12 db. Guadagno : = s=2 = 6 = db ϕ G (s) R. Zanasi - Controlli Automatici - 211/12 3. ANALISI ARMONICA

2 3.2. DIAGRAMMI DI BODE Tracciare i diagrammi asintotici di Bode della seguente funzione G(s): 147(s+3) s(s 7)(s 2 +15s+9). Pendenza iniziale: -2 db/dec. Pulsazioni critiche: ω = 7 (polo instabile), ω = 3 (due poli complessi coniugati stabili) e ω = 3 (uno zero stabile). Funzione G (s): G (s) = 147(3) s( 7)(9) = 7 s Fase iniziale ϕ = 3 2 π G (s) 1 Diagramma asintotico dei moduli i Diagramma a gradoni delle fasi Funzione : 18. i = 147(s) s(s)(s 2 ) = 147 s 3 7. ϕ Fase finale = 3 2 π Guadagno : = G (s) s=7 = 1 = 2 db G (s) Guadagno : = s=3 = 147 = db ϕ R. Zanasi - Controlli Automatici - 211/12 3. ANALISI ARMONICA

3 3.2. DIAGRAMMI DI BODE Tracciare i diagrammi asintotici di Bode della seguente funzione G(s): 5(5 s) 2 s(s 2 18s+9)(1s+5). Pendenza iniziale: -2 db/dec. Pulsazioni critiche: ω =.5 (un polo stabile), ω = 5(duezerirealiinstabili)eω = 3(duepolicomplessiconiugatiinstabili). Funzione G (s): G (s) = 5(5)2 s(9)(5) = 5 18s Fase iniziale ϕ = π G (s) 1 Diagramma asintotico dei moduli i i Diagramma a gradoni delle fasi Funzione : 9. ϕ i i = 5( s)2 s(s 2 )(1s) = 5 s Fase finale = π Guadagno : = G (s) s=.5 = 5 9 Guadagno : = 5.1 db. = s=3 = 5 = 45.1 db ϕ G (s) R. Zanasi - Controlli Automatici - 211/12 3. ANALISI ARMONICA

4 3.2. DIAGRAMMI DI BODE Tracciare i diagrammi asintotici di Bode della seguente funzione G(s): Nyquist: s(s+4) (1+3s)(s 2 1.5s+9). Pendenza iniziale: +2 db/dec. Pulsazioni critiche: ω =.333 (un polo stabile), ω = 3 (due poli complessi coniugati instabili) e ω = 4 (uno zero reale stabile). Diagramma asintotico dei moduli Funzione G (s): G (s) = s(4) (1)(9) = 4s 9 Fase iniziale ϕ = π G (s).333 i Diagramma a gradoni delle fasi Funzione : 9. i = s(s) (3s)(s 2 ) = 1 3s Fase finale = π ϕ Guadagno : = G (s) s=.333 = 4 = 23.4 db. 27 Guadagno : = s=4 = 1 = db ϕ G (s) R. Zanasi - Controlli Automatici - 211/12 3. ANALISI ARMONICA

5 3.2. DIAGRAMMI DI BODE Si faccia riferimento ai diagrammi di Bode mostrati in figura. Nei limiti della precisione consentita dal grafico calcolare l espressione della funzione G(s). Guadagno per ω = 1: = 2 db = 1. Pulsazioni critiche ω: un polo 1 uno zero stabile 5 uno zero stabile 2 due poli c.c instabili Coefficiente δ: M ωn = 1 δ = G (s) La pendenza iniziale indica la presenza di un polo nell origine. Il valore di δ della coppia di poli complessi coniugati è δ =.5 perchè dal grafico risulta chiaro che per ω n = 2 il diagramma reale coincide con quello asintotico. La funzione di trasferimento del sistema è la seguente: G(s) K {}}{ 8 (s+1)(s+5) s(s 2 s+4) = 1(1+s)(1+.2s) s(1.5s+.25s 2 ). Il valore del guadagno K della funzione G(s) si determina imponendo che il guadagno dell approssimante G (s) per ω = 1 sia uguale a : G (s) s=j = 5K 4s = K = 1 K = 8. s=j 8 Il valore del guadagno K puó essere determinato anche imponendo che il guadagno dell approssimante per ω = 2 sia uguale a = 32 db: s=j2 = K s = K = 32 db = 4 K = 8. s=j2 2 R. Zanasi - Controlli Automatici - 211/12 3. ANALISI ARMONICA

6 3.2. DIAGRAMMI DI BODE Si faccia riferimento ai diagrammi di Bode mostrati in figura. Nei limiti della precisione consentita dal grafico calcolare l espressione della funzione G(s). Guadagno per ω =.2: = 4 db = 1. Pulsazioni critiche ω: un polo.2 uno polo instabile 1 due zeri c.c stabili 8 uno zero instabile 2 uno polo stabili Coefficiente δ: M ωn = 2.5 δ = G (s) La pendenza iniziale -1 indica la presenza di un polo nell origine. Il valore di δ =.2 della coppia di zeri complessi coniugati si determina dal valore M ωn = 8 db in corrispondenza della pulsazione ω n = 1. La funzione di trasferimento del sistema è la seguente: G(s) K {}}{ 1 (s 2 +.4s+1)(s 8) s(s.2)(s+2) = 2(1+.4s+s2 )(1.125s). s(1 5s)(1+.5s) Il valore del guadagno K della funzione G(s) si determina imponendo che il guadagno dell approssimante G (s) per ω =.2 sia uguale a : G (s) s=j.2 = 8K 4s = 8K = 1 K = 1. s=j.2 8 Il valore del guadagno K puó essere determinato anche imponendo che il guadagno dell approssimante per ω = 2 sia uguale a = 4 db: s=j2 = K = 4 db = 1 K = 1. R. Zanasi - Controlli Automatici - 211/12 3. ANALISI ARMONICA

7 3.2. DIAGRAMMI DI BODE Si faccia riferimento ai diagrammi di Bode mostrati in figura. Calcolare: 1) l espressione analitica della funzione G(s); 2) la risposta a regime y (t) del sistema G(s) quando in ingresso è presente il segnale: x(t) = 5sin(.2t)+3cos(4t). Guadagno per ω =.2: = 4 db = 1. Pulsazioni critiche ω: uno zero.2 due poli c.c. stabili 1 uno zero stabile 2 un polo stabile Coefficiente δ: M R = 1.66 δ = ) La funzione di trasferimento del sistema è la seguente: K {}}{ 4 s(s+1) (s s+.4)(s+2) = 5s(1+s) (1+3s+25s 2 )(1+.5s). Il valore del guadagno K della funzione G(s) si determina imponendo che il guadagno dell approssimante G (s) per ω =.2 sia uguale a : G (s) s=j.2 = Ks.8 = K.2 = 1 K = 4. s=j.2.8 2) La risposta a regime del sistema G(s) al segnale dato è la seguente: y (t) = 5 G(.2j) sin(.2t+argg(.2j)) +3 G(4j) cos(4 t + arg G(4j)) = 5.4 sin(.2t ) cos(4t ). I valori di G(.2j), arg G(.2j)), G(4j) e arg G(4j)) si leggono direttamente sui diagrammi di Bode dei moduli e delle fasi. R. Zanasi - Controlli Automatici - 211/12 3. ANALISI ARMONICA

8 3.2. DIAGRAMMI DI BODE Si faccia riferimento ai diagrammi di Bode mostrati in figura. Nei limiti della precisione Diagramma consentita dal grafico: 1) ricavare l espressione analitica della funzione G(s); 2) disegnare l andamento qualitativo della risposta al gradino unitario. Guadagno statico: G() = 1. Pulsazioni critiche ω:.2 due poli c.c. stabili 5 due zeri stabili 2 uno zero stabile Coefficiente δ: M R = 5 δ = G ) L espressione analitica della funzione G(s) è la seguente: 32(s+5) 2 (s 2 +.4s+.4)(s+2) = 1(1+.2s) 2 (1+s+25s 2 )(1+.5s). 2) L andamento della risposta al gradino del sistema G(s) è mostrato in figura. Poli dominanti: p 1,2 =.2± j.199. Valore a regime: y = G() = 1. Tempo di assestamento: T a = 3.2 Periodo T ω : T ω = 2π.199 = 15 s. y m y(t) T ω T m Risposta al gradino s Time [s] T a y R. Zanasi - Controlli Automatici - 211/12 3. ANALISI ARMONICA