Notazione. S : som m a finanziata i : tasso d 'in teresse D : debito residuo E : d eb ito estin to I : q u o ta in teressi C : q u o t a capita l e R

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1 Ammortamento t finanziarioi i Piani di rimborso prestiti MQ 186PP

2 Notazione S : som m a finanziata i : tasso d 'in teresse D : debito residuo E : d eb ito estin to I : q u o ta in teressi C : q u o t a capita l e R : ra ta di rim borso o

3 Rimborso di un prestito Il flusso di cassa relativo al rimborso si definisce rata: Rt e si compone di due parti: quota capitale e quota interessi R t = C t + I t t = 1,2, n La somma delle quote capitale ancora da pagare si definisce debito residuo: D t La somma delle quote capitale già pagate si definisce debito estinto: E t

4 Piani i di rimborso usuali Le forme più usuali di rimborso di un prestito sono: 1 Rimborso globale unico alla scadenza 2 Rimborso del capitale a scadenza con interessi periodici 3 Rimborso graduale di capitale e interessi

5 Piani i di rimborso usuali 1 Rimborso globale unico alla scadenza Durata breve: interesse semplice Durata media:interesse composto E la modalità di rimborso per titoli obbligazionari privi di cedola (Zero Coupon Bond, fra cui i BOT).

6 Piani di rimborso usuali 1 Rimborso globale unico alla scadenza Tutti gli interessi maturati sul debito iniziale sono capitalizzati in base al regime impiegato, la quota capitale e la quota interessi vengono versate entrambe in soluzione unica alla scadenza. 0 t 0 t 0 1 t 2 t n 1 t n T Scadenze S -(S+I) Flussi

7 Piani di rimborso usuali 1 Rimborso globale l unico alla scadenza (interessi semplici) Per t = 1 a n -1 Per t = n C t = 0 I = ti t S i non pagati ma capitalizzati Rt = 0 D t = S (1 + i t) Et = 0 R = n S (1 + i n) D = 0 n

8 Piani di rimborso usuali 1 Rimborso globale l unico alla scadenza (interessi composti) Per t = 1 a n -1 Ct = 0 I = S (1+i) t-1 i non pagati pg ma capitalizzati t Rt = 0 D = t t S (1+i) Et =0 Per t = n R n = S (1+i) n D n =0

9 Piani di rimborso usuali 2 Rimborso del capitale a scadenza con interessi periodici (posticipati) Gli interessi vengono pagati alla fine di ogni periodo (per es. alla fine di ogni semestre) e il capitale viene rimborsato a scadenza.

10 Piani di rimborso usuali 2 Rimborso del capitale a scadenza con interessi periodici (posticipati) 0 t t 0 1 t2 tn 1 t n T Scadenze S - I 1 -I 2 -I n-1 -(S+I n ) Flussi E la modalità di rimborso per titoli obbligazionari con cedole interessi periodiche.

11 Rimborso con interessi periodici La rata di rimborso si compone della sola quota interessi R t = I t t = 1,2, n La somma delle quote capitale ancora da pagare si definisce debito residuo: D t La somma delle quote capitale già pagate si definisce debito estinto: E t

12 Rimborso con interessi periodici Gli interessi sono proporzionali all importo del finanziamento secondo la relazione: I t =is t=1,2, n2 D0 Vincoli S D 0 n Monte interessi i E 0 E S I I... I 1 2 n 0 0 En

13 Piani di rimborso usuali 2 Rimborso del capitale a scadenza con interessi periodici posticipati (interessi composti) Da t = 1 a n -1 C t = 0 I t = R t = S i D t = S E t = 0 Per t = n C = S I = S i R = S (1+i) n n n D n = 0 E n = S

14 Piani di rimborso usuali 3 Rimborso graduale (interessi composti) Il rimborso del prestito avviene in modalità graduale tramite il pagamento periodico di rate costituite sia da interessi, che da rimborsi parziali del capitale.

15 Piani di rimborso usuali 3 Rimborso graduale (interessi i composti) 0 t t t tn 1 t n T Scadenze S R1 R 2 Rn 1 Rn Flussi Rt Rate di rimborso

16 Rimborso graduale di un prestito La rata di rimborso si compone di due parti: quota capitale e quota interessi R t = C t + I t t = 1,2, n La somma delle quote capitale ancora da pagare si definisce debito residuo: D t La somma delle quote capitale già pagate si definisce debito estinto: E t

17 Rimborso graduale di un prestito Gli interessi sono proporzionali al debito residuo (del periodo precedente) secondo la relazione: I t =id t-1 t=1,2, n2 D0 Vincoli S D 0 n Monte interessi i E 0 E S I I... I 1 2 n 0 0 En

18 Piano di ammortamento Si tratta di uno schema che raccoglie tutte le informazioni concernenti la dinamica del rimborso e il suo scadenziario Scadenza Capitale Interessi Rata Deb.Residuo Deb. Estinto t C I R D E 0 S 0 1 n 0 S

19 Piano di ammortamento generalizzato con S=11 Scadenza Quota Debito Debito Quota Rata capitale estinto residuo Interessi t Ct E t D t I t R t 0 / 0 1 / / 1 C1 C1 1 - C1 i C1+i t-1. E t-1 D t-1.. T CT *i n - 1 Cn-1 En-1 Dn-1 In-1 Cn-1+In-1 n Cn 1 0 Cn +In

20 Rimborso graduale di un prestito Condizione di chiusura elementare: l ammontare del prestito deve essere uguale alla somma delle quote di capitale S C C... C C 1 2 n 1 n Questa condizione permette di costruire un piano d ammortamento fissando le quote capitale.

21 Esempio 1. S = Euro 2. i = 1% 3. T = 5 anni 4. Versamenti periodici annuali (n=5) 5. Piano di rimborso graduale 6. Quote capitale note pari a: C 1 = 5000 C 2 = 2000 C 3 = C 4 = 1000 C 5 =

22 Esempio Costruzione del piano per riga Scadenze Capitale Interessi Rata Debito Res. Scadenze Capitale Interessi Rata Debito Res Scadenze Capitale Interesse Rata Debito Res. Scadenze Capitale Interessi Rata Debito Res

23 Rimborso graduale di un prestito Condizione di chiusura finanziaria: l ammontare del prestito deve essere uguale alla somma delle rate attualizzate al tasso contrattuale (i): ( (1 n 1 ) n ) S R i R i S= Σ R t (1+i) -t n t ( ) t=1

24 Esempio 1. S = Euro 2. i = 1% 3. T = 5 anni 4. Versamenti periodici annuali (n=5) 5. Piano di rimborso graduale 6. Rate note pari a: R 1 = 5100 R 2 = 2050 R 3 = R 4 = 1020 R 5 =

25 Esempio Costruzione del piano per riga Scadenze Capitale Interesse Rata Debito Res Scadenze Capitale Interesse Rata Debito Res Scadenze Capitale Interesse Rata Debito Res Scadenze Capitale Interesse Rata Debito Res

26 Rimborso graduale di un prestito Per piani di rimborso con tasso d interesse costante valgono anche le seguenti relazioni: D t =VA (pagamenti residuali) = Σ R k (1+i) (t-k) e n k=t+1 Relazione di ricorrenza D t = D t-1 (1+i) - R t

27 Rimborso graduale di un prestito Tipologie di ammortamento: Rimborso italiano (o a quota capitale costante) Rimborso francese (o a rata costante) Rimborso a tasso variabile Indicizzato (Euribor, inflazione, )

28 Rimborso graduale di un prestito to Rimborso italiano (o a quota capitale costante) Questo schema è facilmente riconoscibile dal comportamento nel tempo delle rate (R t ) e delle quote interessi (I t ), poiché entrambe descrescono linearmente in funzione del tempo con un passo pari a: (step periodico = - S/n* i)

29 Rimborso graduale di un prestito Rimborso italiano (o a quota capitale costante) In ogni periodo viene rimborsata una quota capitale pari a una quota costante del debito iniziale. Numero di versamenti Quota capitale n C t = C =S/n Quota interessi I t =S i (n t + 1)/n = D t-1 i Rata R t = S ((n t + 1)i + 1)/n Debito residuo D t =S (n-t)/n

30 Rimborso graduale di un prestito Rimborso italiano (o a quota capitale costante) 1. S = Euro 2. TAN = 10% 3. T = 5 semestri 4. Versamenti periodici semestrali (n=5) 5. Piano di rimborso a quota capitale costante Scadenze Capitale Interessi Rata Debito Res

31 Rimborso graduale di un prestito Rimborso francese (o a rata costante) Ad ogni epoca t viene pagata una rata costante. Numero di versamenti =n Rata R t =R=S/a /n/i /i =S /n/ /i Quota capitale C t =R (1+i) t-n-1 =S /n /i (1+i) t-1 Quota interessi I t = R (1 -(1+i) t-n-1 ) = R i a /n+1-t /i Debito residuo D t = R a /n-t /i

32 Rimborso graduale di un prestito Rimborso francese (o a rata costante) Questo schema è facilmente riconoscibile dal comportamento nel tempo delle quote capitale (C t ). La sequenza temporale delle quote capitale presenta un rapporto costante pari a: C t+1/ C t = (1 + i) ) Tale relazione è utile per ricavare il tasso contrattuale i.

33 Esempio Rimborso francese (o a rata costante) 1. S = Euro 2. TAN = 10% 3. T = 5 semestri 4. Versamenti periodici semestrali (n=5) 5. Piano di rimborso a rata costante Scadenze Capitale Interessi Rata Debito Res , ,75 500, , , ,24 409, , , ,25 314, , , ,01 214, , , ,76 109, ,75 0

34 Rimborso a tasso variabile Valgono le medesime relazioni applicando in luogo del tasso i, il tasso i t corrispondente al periodo di riferimento. I t = i t D t-1 t=1,2, n D t = D t-1 (1+i t ) - R t

35 Altri piani di ammortamento I piani di ammortamento effettivi possono essere una combinazione degli schemi usuali presentati in precedenza con la possibile aggiunta di condizioni particolari (ad es.): a) Rate frazionabili: (il capitale o gli interessi vengono pagati ad intervalli differenti dall'anno: semestre, trimestre, etc...) b) Tassi variabili: il tasso del prestito non è costante, ma varia in relazione a regole o parametri prefissati. Ad esempio: inflazione, deflattore del PIL, prime rate, EURIBOR. c) Prestiti indicizzati: il debito residuo viene periodicamente rivalutato in base a parametri definiti. Ad esempio: inflazione, indice dei prezzi,...

36 Altri piani di ammortamento d) Preammortamento: il rimborso della somma presa a prestito avviene dopo un periodo definito (periodo di preammortamento) durante il quale vengono computati solamente gli interessi (talvolta ad un tasso differente). e) Prezzo di emissione sotto o (sopra) la pari (spread oscontodiemissione). Il debitore (l'emittente) riceve un ammontare piu' basso (o più elevato) rispetto al valore nominale del debito (è unpremio per il creditore / o per il debitore). f) L importo totale del prestito può essere suddiviso in "obbligazioni" che possono essere trattate inmodo separato sui mercati finanziari. i i g) Rimborso sopra la pari: le quote capitali sono rimborsate al di sopra del loro valore nominale (premio per il creditore).

37 Estinzione anticipata in presenza di un tasso di estinzione Si procede all estinzione del debito ad una data intermedia prima della scadenza k e viene applicato un tasso di estinzione i i* Valore all estinzione i (k) = V.A. di tutti i pagamenti residui (I t + C t ) scontati all epoca k, con un tasso di attualizzazione i pari ad di* : = * i*) (s-k) s > k R s (1 + (di solito: i* < i Valore all estinzione > Debito residuo

38 T.A.E.G. Solitamente le banche o altre istituzionii i i finanziariei i agiscono come intermediari fra il debitore e gli effettivi i creditori i (persone fisichei o aziende che sottoscrivono il prestito) per questo servizio richiedono ihid commissioni i i così come per la gestione operativa del piano di rimborso (pagamento degli interessiie dl del capitale, rimborso anticipato, ii etc..). Il costo totale per il debitore è quindi più elevato del Il costo totale per il debitore è quindi più elevato del tasso effettivo del prestito per il creditore.

39 CREDITO AL CONSUMO Rif: Legge del 19 Febbraio 1992, formulata in base alle direttive CEE del 22 Feb CREDITO AL CONSUMO Tutte le offerte pubbliche, le promozioni, gli annunci pubblicitari etc. che fanno riferimento al "tasso d'interesse" o al "costo del credito", etc. devono specificare il "Tasso Annuo Effettivo Globale" (T.A.E.G) sia direttamente sia, per ragioni tecniche speciali, attraverso esempi tipici. Il T.A.E.G. è il tasso interno di rendimento (IRR), composto su base annua che include nel calcolo dei flussi rilevanti tutti gli esborsi effettivi relativi al rimborso del prestito: capitale, interessi, spese associate o commissioni, premi di assicurazione relativi. ltii

40 T.A.E.G. Es 1: Valore d acquisto ; 18 rate mensili costanti pari a (approx.), costi amministrativi at fissi: 200 ; 5 commissione o per ogni rata. Calcolo TAN = * a 18 x12 risolvendo: x 12 = 1% (approx.) TAN = 12 * x 12 = 12 % TAE = (1+1%) 12-1 = 1268% 12,68 Calcolo l TAEG : = * a 18 y12 risolvendo: y 12 = % (approx.) TAEG = (1 + y 12 ) 12-1 = = %

41 T.A.E.G. Es. 2:Valore d acquisto 5000 ; 12 rate costanti trimestrali pari a (approx.) costi ifissi iamministrativi i i i50 50 ; 3 commissione i per ogni rata. TAN = * a 12 x4 risolvendo x 4 = 2% (approx.) TAN = 4 * x 4 = 8 % TAE = (1+2%) 4-1 = 8.24% TAEG 5000 = * a 12 y4 risolvendo y 4 = % (approx.) TAEG = (1+ y 4 ) 4-1 = = 9.38% (approx.)