In questo capitolo vedremo solamente un caso di rendita, che useremo poi per generalizzare le rendite e dedurre tutti gli altri casi.

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1 7. Redte I questo captolo edremo solamete u caso d redta, che useremo po per geeralzzare le redte e dedurre tutt gl altr cas. S defsce redta ua successoe d captal (rate) tutte da pagare, o tutte da rscuotere, a scadeze determate. Il mutuo qud o è ua redta, perché comprede rate d sego derso. Soo ece redte gl stped, gl afftt, le cedole su ttol d estmeto, ecc. Le redte oltre possoo essere aleatore, oero costat el tempo (per durata, mporto, o altro), oppure certe. I questo captolo o c lmteremo allo studo delle redte certe, che soo caratterzzate da: Rata (o terme): l mporto da ersare. Può essere costate o arable. Perodo: l terallo temporale tra due scadeze de pagamet. S parla d redte aue, frazoate (m frazo d ao) oppure poleall (perod d a). Durata: può essere temporaea, oero composta d rate, oppure perpetua, coè llmtata. Scadeza: può essere atcpata o postcpata, a secoda che l pagameto aega all zo del perodo (a cu fa rfermeto) oppure alla fe. Cascua d queste due modaltà, a sua olta, può essere mmedata o dfferta. Immedata se la scadeza è scroa co l mometo fssato, dfferta se l pagameto aee perod dopo quello a cu fa rfermeto. Esempo: l acqusto d u bee a rate mesl, co decorreza 6 mes dopo l acqusto, è ua redta temporaea, frazoata 12 olte ell ao, co pagameto atcpato e dfferto (d 6 perod). S dce alore della redta all epoca t la somma de motat (calcolat co u opportua fuzoe d motate) delle prestazo scadute prma d t, e de alor attual (calcolat co u opportua fuzoe d attualzzazoe) delle prestazo che scadoo dopo t. W(t) t t C u( t 0, t ) + C ( t 0, t ) t t Il alore d ua redta s calcola qud co la stessa procedura gà sta per le operazo complesse. Aalogamete, s defsce: S defsce alore attuale della redta l suo alore all state t 0 (.e. è l mporto equo da scambare co la redta all state t 0). W(0) C ( t t 0 0, ) S defsce motate fale della redta l suo alore alla scadeza t. Se l regme è quello degl teresse compost, graze alla scdbltà s può screre: W(t) u t t C 0 u t W(0) W(t ) u t W(0) Che permette d calcolare l motate a partre dal alore attuale (ero solo e regm scdbl) Stefao Adra

2 Le redte tpo Cosderamo alcue delle redte pù semplc, aet rata costate, auale, co u regme d teresse composto (d tasso costate), e durata par ad a. Valutamo la redta e ders cas, cosderado og olta u mporto utaro della sgola rata (basterà po moltplcare l rsultato per l mporto effetto). Rata mmedata postcpata Calcolamo l alore della redta all state zale. Trattados d ua rata postcpata, l pagameto aee alla fe d og perodo T (put er pe): Il alore della redta all state zale è: W(0) do è (0, T) e - Ifatt l alore attuale della rata -esma è: (0, t ) exp(- t ) exp(- T)exp(- T). Rcordado che ale l(1 + ), co tasso auale, possamo screre T 1, coè exp(- ). S ottee qud (somma d ua progressoe geometrca d ragoe, edas 389/2 ): W(0) ( ) (1 - ) Dalla relazoe exp(- ) exp(-l(1+)) possamo esplctare la relazoe tra ed : 1 e qud 1 - Per cu: W(0) 1 (1 ) Quest ultma gradezza compare molte olte el calcolo delle redte, per cu è comodo trodurre l smbolo: 1 (1 ) S defsce a fgurato al tasso la quattà 1 : a Qud l alore della redta all state zale s scre: W(0) a Osseramo che per 0 ale a (la progressoe ha ragoe 1). Iece, per mot d coezeza, s poe a 0 el caso 0. 1 Dall glese auty, oero redta auale Stefao Adra

3 Rata mmedata atcpata Rpetedo passagg st sopra, el caso d ua redta co rata atcpata s ha: W(0) per cu (rcordamo u 1+ per defzoe): W(0) 1 (1 - ) (1+ ) a Ache quest ultma gradezza compare molte olte, per cu s defsce: S defsce a atcpato fgurato al tasso la quattà: ä (1+ ) a Qud l alore della redta all state zale s scre: W(0) ä Motate d ua redta Calcolamo adesso l motate d ua rata auale, mmedata e postcpata, della durata d a. Possamo rappresetare le rate della redta come gà sto el caso d ua geerca rata mmedata postcpata: Rmaado el regme dell teresse composto, l motate fale della redta sarà: M() m(t - t 1 ) + m(t - t 2 ) + m(t t 3 ) oero (el regme composto): M() (1+ ) -1 + (1+ ) -2 + (1+ ) u -1 + u -2 + u espresso fuzoe del bomo d captalzzazoe, defto come u 1 +. S ottee così la stessa espressoe del caso precedete, co u al posto d, scrtta orde erso. Percò: u (1 ) M() u ( ) 1 (1 ) (1+ ) S defsce s fgurato al tasso la quattà: s (1+ ) a (1+ ) a u Stefao Adra

4 Studo delle fuzo fgurate Rportamo le defzo delle gradezze defte sopra: a fgurato al tasso a Rata mmed. e postcpata a atcpato fgurato al tasso ä u a Rata mmed. e atcpata s fgurato al tasso s u a Motate (mmed. e post.) s atcpato fgurato al tasso s u s Motate (mmed. e atc.) S capsce percò che basta studare l prmo d quest cas per dedurre tutt gl altr. Aalzzamo percò gl adamet delle fuzo a e s. La fuzoe a s aca ad quado tede a zero (lmte oteole: (x + 1) a 1 a x). Ioltre lo studo della sua derata prma s rcoduce alla codzoe: u(+1) > u +1 la derata è posta che è sempre falsa: fatt, al prmo membro abbamo ua retta d pedeza +1, ed è facle erffcare che tale retta sta sempre sotto alla cura u +1. Aalogamete, la fuzoe s tede ad per che tede a zero (regola dell Hosptal), metre per la derata troamo: u(1 - ) + > u 1 - la derata è posta che è sempre falsa (basta ragoare come sopra, pesado al prmo membro come ua retta). S troa così: Altre fuzo fgurate Spesso, per comodtà, s defscoo ache le fuzo: ( a ) -1 e ( s ) -1 Ed è facle erfcare che ale: Stefao Adra

5 Redte dfferte Cosderamo ua redta dfferta d p a, co rata postcpata. Cò sgfca che dall state d apertura t 0, fo al terme del p-esmo ao, o egoo ersate rate. La prma rata ee ersata al terme del p-esmo ao, coè all state t p + 1 (perché postcpata). Scadeza t 0 t 1 t p +1 t p +2 t p + Importo R R R R da cu: W(0) p+1 + p p+ p ( ) p a Redte perpetue Nel caso d ua redta perpetua, l alore della redta all state zale, per rate (mmedate e postcpate), è dato dalla: W * (0) co e - (1+ ) -1 Il alore effetto della redta s ottee qud facedo tedere all fto, per cu: W(0) lm I questo caso, oamete, o s defsce l motate fale della redta Stefao Adra