Integrale Definito. Appunti di analisi matematica: Il concetto d integrale nasce per risolvere due classi di problemi: Integrale Definito
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- Vincenzo Bassi
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1 Appunti di nlisi mtemtic: Integrle Deinito Il concetto d integrle nsce per risolvere due clssi di prolemi: Integrle Deinito Clcolo delle ree di ig. delimitte d curve clcolo di volumi clcolo del lvoro di un orz clcolo dello spzio percorso.. Integrle Indeinito Prolem inverso del clcolo dell derivt: not l derivt di un unzione clcolre l unzione stess. 1
2 Clcolo delle Aree Are dei poligoni: È l situzione più semplice in qunto qulunque poligono può essere scomposto in tringoli e l su re ricondott ll re di un rettngolo equivlente. Are del Rettngolo A = Bst ricoprire l supericie del rettngolo con qudrtini di re unitri 2
3 3 Clcolo delle Aree Poligoni regolri Scomponendoli in tringoli congruenti è cile clcolre l re Are di un Esgono l 2 l A tringolo p n l n l n l A poligono
4 Clcolo delle Aree Poligoni Irregolri Bst scomporli opportunmente in tringoli Are di un Poligono qulsisi n A poligono A tringoli 1 4
5 Clcolo delle Aree Are del Cercio Il clcolo dell re è molto più complesso in qunto non è possiile scomporre il cercio in tringoli. E possiile però clcolre l re per pprossimzioni successive: Indicimo con A l clsse dei poligoni regolri inscritti nel cercio, di 3, 4, 5, 6, n lti rispettivmente e con 3, 4, 5, n le reltive ree; e con B l clsse dei poligoni regolri circoscritti l cercio di 3, 4, 5, 6, n lti e con 3, 4, 5, n le rispettive ree. Se S è l re del cercio incognit srà sempre: n S n 5
6 Clcolo delle Aree e pssndo l limite di ininiti lti : lim n n lim n n S Are Cercio Allor: L re del cercio è ugule l limite comune, qundo il numero lti, l qule tendono le successioni ormte dlle ree dei poligoni inscritti e circoscritti l cercio 6
7 Integrle Deinito - Clcolo delle Aree Are del Trpezoide Voglimo clcolre l re dell igur mistiline determint dl digrmm di un unzione y = deinit e continu nell intervllo [, ] y D C A B 7
8 Possimo determinre l re pprossimndol con dei rettngoli inscritti e dei rettngoli circoscritti Utilizzndo lo stesso metodo usto per il cercio. y Dividendo in n prti l intervllo [, ], vremo n rettngoli di se = /n D C Indicimo con s n = rerett.inscritti A B L re del plurirettngolo inscritto 8
9 Anlogmente possimo determinre l re S n del plurirettngolo circoscritto y Indicimo con S n = rerett.circoscritti D C A B L re S del trpezoide srà sempre compres tr s n e S n rerett.inscritti S rerett.circoscritti 9
10 Aumentndo il numero dei rettngoli l pprossimzione di S srà sempre più precis. Considerndo un numero di rettngolini vi vi crescente vremo due successioni di ree di plurirettngoli inscritti s 1, s 2, s n, e di plurirettngoli circoscritti S 1, S 2, S n, ce convergono ll re del trpezoide ABCD Teorem 1. Se y = è continu e positiv in [, ], llor le successioni delle ree s 1, s 2, s n, e S 1, S 2, S n, convergono llo stesso limite S ugule ll re del trpezoide ABCD lim n s n lim n S n S 10
11 Integrle Deinito - Clcolo delle Aree y Possimo inlmente giungere l concetto d integrle deinito Integrle Deinito Dt l unzione y= deinit e continu in [, ], dopo ver diviso l intervllo in n prti, indicimo con m i = min e con M i = m nell intervllino i-esimo di mpiezz ARett circo. = M i ARett inscr. = m i D M i m i C s n =ArePluriRett inscr. = m i S n =ArePluriRett circo. = M i A i B 11
12 Integrle Deinito - Clcolo delle Aree y Allor,indicndo con i il vlore dell unzione in un punto qulsisi dell intervllo i-esimo, tenendo conto del teorem del conronto e del teorem 1 m M i i i m M i i i D M i i C m M i i i m i lim n m lim M S i n i A i B vremo ce: lim n m i lim n M i lim n i S 12
13 Integrle Deinito - Clcolo delle Aree Allor, possimo dre l seguente deinizione: De. Dt l unzione y= deinit e continu in [, ], si dice Integrle deinito di reltivo ll intervllo [, ] il limite lim n m i lim n M i lim n i S e si indic con d 13
14 14 Integrle Deinito - Proprietà Proprietà dell Integrle deinito Proprietà di linerità 0 d d d Proprietà di dditività c c d d d e d g d d g d d k d k c
15 Integrle Deinito - Proprietà y Teorem dell Medi Se y = è un unzione continu nell intervllo ciuso e limitto [, ] llor esiste lmeno un punto c, tle ce: d c D c c C Cioè esiste sempre un rettngolo di se AB e ltezz ugule c vente l stess re del rettngoloide. A c c B 15
16 Integrle Deinito - Clcolo dell integrle unzione Primitiv Il clcolo dell integrle come lim è estremmente complesso e per null conveniente, occorre llor trovre un ltro sistem per clcolrlo. imo isogno di vedere il concetto di primitiv e il teorem di Torricelli-Brrow Il prolem del clcolo dell Primitiv è il prolem inverso del clcolo dell derivt: clcolre l primitiv signiic: l derivt di un cert unzione non not clcolre l unzione y=, quindi = 16
17 Integrle Deinito - Clcolo dell integrle Derivt? Primitiv De. Diremo ce è un primitiv dell unzione y= in [, ] sse è derivile in [, ] e risult: = [, ] 17
18 Primitive, lcuni esempi: Integrle Deinito - Clcolo dell integrle Primitiv 2 = intti D 2 = 2 Primitiv cos = sen --- intti Dsen = cos Primitiv 1/ = ln --- intti Dln = 1/ Primitiv 1/cos 2 = tg --- intti Dtg = 1/cos 2 Osservimo nce ce: D 2-1 = quindi Primitiv 2 = 2 1 D 2 +5 = quindi Primitiv 2 = 2 +5 D 2 + = quindi Primitiv 2 =
19 Integrle Deinito - Clcolo dell integrle Oss Se è un primitiv di llor nce G = + c c R è un primitiv di e vicevers se e G sono primitive di llor G = + c Allor un unzione mmette ininite primitive ce dieriscono per un costnte rele e costituiscono un migli di ininite curve otteniili per trslzione secondo l sse y. 19
20 Integrle Deinito - Clcolo dell integrle De L insieme di tutte le primitive di un unzione y = si cim INTEGRALE INDEINITO di, si indic col simolo: d e si legge Integrle indeinito di in d 20
21 Integrle Deinito - Clcolo dell integrle Allor, riprendendo gli esempi precedenti d 2d cos d Pr imitive D d 2 2 Pr imitive 2 c D c Pr imitive cos sin c Dsin c 1 1 d Pr imitive ln c 1 cos 2 1 d Pr imitive tg c 2 cos 2 cos 1 Dln c 1 Dtg c 2 cos 21
22 Integrle Deinito - Proprietà Teor. di Torricelli- Brrow unzione Integrle y D Si y = unz. continu nell intervllo [, ], considerimo un punto vriile, Al vrire di l integrle ssume vlori vriili, cioè è un unzione di ce indiceremo con e cimeremo unzione integrle C t t A B 22
23 Integrle Deinito - Proprietà In prticolre Se = t 0 se = t Avremo llor il seguente Teor. di Torricelli- Brrow Se y = è continu in [, ] llor l unzione integrle t è derivile e risult: = ; cioè è un primitiv di. 23
24 24 Integrle Deinito - Proprietà Dim L incremento di re del rettngoloide di se, + è: y C B A D + t t Considerimo l intervllino [, +]: vremo t t
25 25 Integrle Deinito - Clcolo dell integrle sempliicndo t t t t t t c t c ' lim lim lim c ' e, per il teorem dell medi: d cui, vremo il rpporto incrementle e, pssndo l limite per 0, Cioè l derivt di =
26 Clcolo dell Integrle Deinito ormul di Newton-Leiniz inlmente possimo clcolre l integrle deinito Integrle Deinito - Proprietà t G c t re trpezoide Considerndo l unzione integrle vremo: D cui c = G e per = t G c 0 t G c G G e per = t G G G 26
27 Integrle Deinito - Proprietà Teorem ondmentle del clcolo integrle L integrle deinito di un unzione continu y=, clcolto nell intervllo [, ], è ugule ll dierenz tr i vlori ce un qulunque primitiv di ssume gli estremi superiore e ineriore dell intervllo d integrzione. t G G G 27
28 ine Lezione 28
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