Il problema delle aree. Metodo di esaustione.

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1 INTEGRALE DEFINITO. DEFINIZIONE E SIGNIFICATO GEOMETRICO. PROPRIETA DELL INTEGRALE DEFINITO. FUNZIONE INTEGRALE. TEOREMA DELLA MEDIA. TEOREMA FONDAMENTALE DEL CALCOLO INTEGRALE. FORMULA DI LEIBNITZ NEWTON. APPLICAZIONI. CALCOLO DI AREE. Angel Dontiello

2 Il prolem delle ree. Metodo di esustione. Il metodo di esustione è un procedimento (dovuto d Archimede) utile clcolre ree di vrie figure geometriche pine. Consiste nell costruzione di un successione di poligoni che convergono ll figur dt. L're dell figur risult essere quindi il limite delle ree dei poligoni. L're del cerchio è determint costruendo un successione di poligoni che ssomiglino sempre di più l cerchio. Ad esempio, un successione di poligoni regolri con numero crescente di lti: in figur, un pentgono, un esgono e un ottgono. A second che si scelgno poligoni iscritti o circoscritti nell circonferenz, l're di quest risulterà essere pprossimt inferiormente o superiormente. Entrme le scelte portno comunque l limite ll're del cerchio. Medinte un procedimento simile è possiile clcolre l re di un superficie contorno curvilineo, not con il nome di trpezoide. Angel Dontiello

3 Si consideri un funzione definit e continu in un intervllo chiuso e limitto [;] e in tle intervllo l funzione si positiv. Si definisce trpezoide l figur pin delimitt dll curv y f(), dll sse delle scisse e dlle rette prllele ll sse y e pssnti per gli estremi dell intervllo [;]. Tle trpezoide è un qudriltero mistilineo. L re colort in figur non può essere clcolt medinte procedimenti elementri. E però possiile pprossimrl secondo il procedimento seguente: ) si divid l intervllo [;] in n prti uguli di mpiezz n ) si considerino i rettngoli venti per se uno dei segmentini di mpiezz e come ltezz il minimo vlore che l funzione ssume in tle intervllo Angel Dontiello 3

4 n 3) si indichi con s n m + m mn mi l somm delle i ree di questi rettngoli (plurirettngolo inscritto) 4) l re del trpezoide è pprossimt per difetto d s n n mi i 5) si considerino i rettngoli venti per se uno dei segmentini di mpiezz e come ltezz il mssimo vlore che l funzione ssume in tle intervllo n 6) si indichi con S n M + M Mn Mi l somm delle i ree di questi rettngoli (plurirettngolo circoscritto) 7) l re del trpezoide è pprossimt per eccesso d S n n Mi i 8) si ottengono due successioni di ree tli che, per ogni n nturle, l re S del trpezoide si compres fr l re per difetto e l re per eccesso s S n S n Angel Dontiello 4

5 Tle pprossimzione è tnto migliore, qunto mggiore divent il numero di suddivisioni dell intervllo ossi con il numero n di suddivisioni che tende d infinito. DEFINIZIONE DI INTEGRALE DEFINITO DI UNA FUNZIONE POSITIVA Teorem. Se l funzione y f() è continu e positiv nell intervllo [;] i limiti delle successioni s n e S n per n + sono finiti e coincidono, ossi le due successioni s n e S n sono convergenti n lim + s n lim S n finiti n + Definizione. Si y f() un funzione continu e positiv ( o null) in un intervllo chiuso e limitto [;] si definisce integrle definito esteso ll intervllo [;] il vlore comune del limite delle successioni s n e S n. Tle vlore si indic con l scrittur: lim n + s n lim n + S n Angel Dontiello 5

6 estremo inferiore di integrzione estremo superiore di integrzione f() funzione integrnd ATTENZIONE!!!!! L integrle definito è un numero puro, mentre l integrle indefinito è un insieme di funzioni dell (l insieme delle primitive dell funzione). Si può dre un definizione più generle di integrle definito nche per funzioni non necessrimente positive. In tl cso l integrle definito può nche essere negtivo. DEFINIZIONE GENERALE DI INTEGRALE DEFINITO Si yf() un funzione continu in [;] non necessrimente positiv. Si suddivid l intervllo [;] in un numero finito di prti non necessrimente dell stess mpiezz,,..., n. Si consideri in ogni intervllo [ i ; i+ ] un punto c i pprtenente ll intervllo suddetto. Per ognuno dei punti c i si consideri il vlore dell funzione in tl punto e si rppresentino i rettngoli venti per se l intervllino ie per ltezz f (ci ). Angel Dontiello 6

7 Si consideri poi l somm S n f (c) + f (c) nf (cn ) if (ci ) i Fr le mpiezze degli intervllini si consideri quell mssim m. Qundo m 0 llor nche tutte le ltre mpiezze tendono zero. Si definisce quindi integrle definito dell funzione continu f() esteso ll intervllo [;] il vlore del limite cui tende l somm S, l tendere di m 0. lim m 0 S lim m n 0 i PROPRIETA DELL INTEGRALE DEFINITO ) 0 ) f () d con > 3) ()d + c f con < c < proprietà di dditività c i f (c Angel Dontiello 7 i )

8 4) f () + g()]d + [ g()d integrle definito dell somm di funzioni continue in [;] 5) k k integrle definito del prodotto di un costnte per un 6) ()d funzione continu in [;] f g()d con () g() 7) f () d con f() continu in [;] f funzioni continue in [;] 8) kd k( ) integrle di un funzione costnte Angel Dontiello 8

9 INTERPRETAZIONE GEOMETRICA DELL INTEGRALE DEFINITO Nel cso di funzione costnte positiv f() k kd k( ) coincide cioè con l re del rettngolo di se ( ) e ltezz k. In genere, se y f() è un funzione continu positiv o null in [;], llor l integrle definito esteso ll intervllo [;] è positivo, il trpezoide si trov l di sopr dell sse delle scisse e coincide con l re del trpezoide se y f() è un funzione negtiv, llor l integrle definito esteso ll intervllo [;] è negtivo, il trpezoide si trov l di sotto dell sse delle scisse e coincide con l opposto dell re del trpezoide. Angel Dontiello 9

10 Se l funzione è positiv nell intervllo [;c] e negtiv nell intervllo [c;] con < c < llor il trpezoide srà in prte l di sopr dell sse delle scisse e in prte l di sotto e l funzione continu f() ttrverserà l sse nel punto c. In tl cso l integrle definito esteso ll intervllo [;] potrà nche essere negtivo e si otterrà dll somm lgeric dei due integrli definiti. L re del trpezoide srà l differenz tr l integrle esteso ll intervllo [;c] e quello esteso ll intervllo [c;] c S c L re del trpezoide si ottiene sommndo tutte le ree coinvolte; queste hnno tutte vlore positivo; indipendentemente dll loro posizione rispetto ll sse. L re è null se e solo se f() 0 e coincide con l integrle definito se e solo se f() è positiv o null. Angel Dontiello 0

11 Come si clcol l integrle definito? Esiste un relzione tr l integrle definito e l integrle indefinito? Teorem dell medi Se y f() è un funzione continu in un intervllo [;], llor c [;]: con c [;] ( )f (c) Geometricmente vuol dire che per funzioni positive, l re del trpezoide può essere ritenut equivlente quell di un rettngolo di ugule se (- ) e ltezz pri l vlore f(c) dell funzione in un punto c interno ll intervllo [;]. Angel Dontiello

12 Dimostrzione. Poiché per ipotesi l funzione è continu in un intervllo chiuso e limitto [;], llor per il teorem di Weierstrss l funzione ssume in [;] vlore mssimo M e vlore minimo m. Ciò vuol dire che [;] m f () M Per l proprietà (6) si h che md Md Per l proprietà (8) si h che m( ) M( ) Divido tutto per ( ) si h che m ( ) Per il teorem dei vlori intermedi l funzione ssume tutti i vlori compresi tr il mssimo e il minimo, quindi c [;] : f (c) ( ) Il vlore f(c) è detto vlor medio dell funzione in [;] M, pertnto c [;]: ( )f (c) Angel Dontiello

13 L funzione integrle Si f un funzione continu nell intervllo [;]. Si consideri un punto qulsisi dell intervllo [;] Si definisce funzione integrle di f in [;] l funzione F () f (t)dt Osservzioni: f (t)dt F () 0 F () f (t)dt Angel Dontiello 3

14 Il teorem fondmentle del clcolo integrle (di Torricelli Brrow) Si yf() un funzione continu in [;] Allor: ) Esiste l derivt dell funzione integrle F () f (t)dt per ogni in [;] ) Tle derivt coincide con l funzione f(), ossi F '() f () Ciò implic che F() è un primitiv dell funzione f() Dimostrzione. F ( + h) F() + h + h f (t)dt f (t)dt f (t)dt + f (t)dt f (t)dt + h Angel Dontiello 4 f (t)dt (imo pplicto l definizione di funzione integrle e l proprietà di dditività (3)) Per il teorem dell medi si h che c [; + h]: f (t)dt ( + h )f (c) hf (c) Pertnto: F( + h) F() + h F( + h) F() F( + h) F() hf (c) f (c) F'() lim f () h h 0 h lim f (c) lim f (c) f (. Per l continuità dell funzione f(), inftti ) h 0 c

15 Teorem. Formul di Leinitz Newton Dimostrzione. F() F() [F()] Per il teorem fondmentle del clcolo integrle si s che F() è un primitiv dell funzione integrle, pertnto tutte le primitive sono del tipo G() Clcolimo G() F() + c f (t)dt + c 0 + c c c G() Clcolimo G () F() + c f (t)dt + c f (t)dt + F() + c f (t)dt + c G() Quindi G() G() F() F() in qunto due primitive differiscono per un costnte. Angel Dontiello 5

16 Clcolo integrle definito per prti f ()g'()d [ f () g() ] f '() g()d ln d ln d 7 ln 3 ln ln 3 3 9ln 3 9 6, Angel Dontiello 6

17 Clcolo integrle con metodo di sostituzione Qundo si effettu il cmio di vriile è necessrio vlutre nche i nuovi estremi di integrzione. 5 ( ) d + 3 pongo + 3 t > t d tdt t t t Procedimo quindi con l sostituzione e con il clcolo. 5 ( ) d + 3 t 8 3 tdt t (t 3 t 5)dt 3 5t ( 4 ), Angel Dontiello 7

18 Esercizi svolti in ul 4π π 0 sen d d ln d π + ( + ) 3 3 π e π sen (ln )d e + Angel Dontiello 8

19 Clcolo di ree CASO L funzione f() è positiv o null nell intervllo [;] y cos Are del trpezoide CASO L funzione è negtiv in [;], llor l integrle definito è negtivo y sin Are del trpezoide 3 CASO L funzione nell intervllo [;]ssume si vlori positivi che vlori negtivi. In tl cso occorre clcolre l integrle come somm degli integrli clcolti sugli intervlli venti per estremi, oltre d e, nche i punti in cui l funzione intersec l sse delle scisse, pssndo Angel Dontiello 9

20 d positiv negtiv o vicevers. Bisogn nturlmente ricordre che gli integrli definiti clcolti su intervlli in cui l funzione è negtiv devono essere preceduti dl segno meno. c S c c è il punto di intersezione dell curv con l sse y log 4 CASO L superficie di cui si desider clcolre l re è delimitt d due funzioni f() e g() con f () > g() In tl cso l re è dt dll integrle definito dell differenz tr i vlori ssunti dlle due funzioni nell intervllo [;] dove e rppresentno le scisse dei punti di intersezione delle curve. f () ln g() 3 Are trpezoide [ f () g()]d Angel Dontiello 0