IL PROCESSO DI MISURA

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1 52 Lezione 3: IL PROCESSO DI MISURA La misura in meccanica quantistica - il principio di indeterminazione - proprietà e osservabili quantistiche Conseguenze estreme - il concetto di entanglement - il paradosso EPR 52 Il principio di indeterminazione di Heisenberg 53! Ricordiamo che secondo il dualismo onda/particella proposto da de Broglie, ad ogni particella con momento p=mv è associata una lunghezza d onda!: λ = h p Da questa relazione appare evidente che più cerchiamo di localizzare la particelle in una regione dello spazio diminuendo la sua lunghezza d onda, più deve essere grande il momento, ovvero la velocità, della particella stessa (! e p sono inversamente proporzionali).! Immaginiamo ora di eseguire il seguente esperimento, con il quale vogliamo determinare la posizione di un fotone: E evidente che non abbiamo problemi a ridurre le ampiezze della fenditura, in modo da determinare con la precisione desiderata sia la posizione lungo x che lungo y dei fotoni che attraversano le due fenditure. 53

2 ! Misure simultanee di posizione e velocità 54 Ora vogliamo eseguire un esperimento per misurare sia la posizione x di un fotone che la sua velocità v x nella medesima direzione. Per misurare la posizione usiamo sempre una piccola fenditura: L intrinseca natura ondulatoria delle particelle quantistiche, fa sì che anche se la particella ha una velocità v x =0 (la particella si sta muovendo orizzontalmente) prima di raggiungere la fenditura, dopo la fenditura l onda si sparpaglia (fenomeno della diffrazione) a raggiera, raggiungendo lo schermo non necessariamente nel punto esattamente di fronte alla fenditura. Questo vuol dire che la particella ha acquisito una certa velocità nella direzione x, che varia da zero a un valore massimo che dipende da quanto si è sparpagliata l onda A seguito di questo esperimento, quindi, noi conosciamo la posizione x della particella con una incertezza "x=d (=dimensione della fenditura) e la velocità con una incertezza "v x. Semplici calcoli di ottica mostrano che: x (mv x ) >h Quindi: se vogliamo conoscere con estrema precisione la posizione (velocità) della particella, diventa molto incerta la misura della velocità (posizione). Le due variabili posizione x e velocità v x non sono simultaneamente misurabili con la precisione desiderata: coppia di variabili incompatibili La stessa cosa succede per altre coppie di variabili. Ad esempio la misura di polarizzazione verticale e a 45 o sono incompatibili: se facciamo passare un fotone attraverso un filtro con asse verticale, il fotone si polarizza verticalmente e ora non abbiamo più nessuna informazione riguardo il fatto che possa attraversare un filtro a 45 o (può passare o meno con probabilità 1/2). 55

3 ! Il principio di indeterminazione 56 E t La natura ondulatoria della materia ha come conseguenza anche il fatto che la coppia di variabili sono incompatibili. (energia) (tempo) Questo può essere visto considerando il seguente esperimento, in cui un treno di onde molto esteso monocromatico (di frequenza #) viene inviato verso una singola fenditura che rimane aperta solo per un Fig. 7.5 p. 142 certo intervallo di tempo "t: l onda che supera la fenditura è quindi spazialmente limitata, occupando uno spazio dato circa da "x= c "t. Un tale tipo di onda si ottiene solo sovrapponendo onde più lunghezze d onda e più esattamente onde con frequenze comprese in un intervallo ν 1/ t. Tenendo conto che: E = h # si ricava la relazione: E t h Non posso quindi misurare simultaneamente con la precisione desiderata l istante in cui avviene un evento e la sua energia. 56! Il principio di indeterminazione 57 La formulazione concettuale della teoria quantistica porta a concludere che esistono coppie di osservabili, A e B, per cui vale la relazione A B h Ogni tentativo di misurare la quantità A (B) con maggiore precisione introduce maggiore incertezza nella misura dell altra quantità B (A). Esse non posso quindi essere misurate simultaneamente con precisione arbitraria. Come per l aleatorietà, questo non è un limite derivante dalla nostra incapacità di fare misure più precise, ma imposto dalla struttura concettuale stessa della teoria. N.B. notiamo che questo implica anche l ordine con cui si eseguono due misure (prima A poi B oppure prima B poi A) influenza il riultato della misura. Questo fatto è legato al fatto che, contrariamente a quanto succede in fisica classica, due osservabili qualunque non commutano tra loro. 57

4 ! Breve nota storica 58 Gli aspetti sperimentali e concettuali che abbiamo discusso sino ad ora sono ben conosciuti e discussi già dagli anni immediatamente seguenti la formulazione della meccanica quantistica ondulatoria di Schroedinger (1926) e quella delle matrici di Heisenberg (1925). A quei tempi erano oramai completamente accettate le nozioni di: - dualismo onda/particella - discretizzazione dei processi naturali e molto si discuteva sul significato di: - aleatorità dei processi microscopici - principio di indeterminazione Un ampia maggioranza dei fisici che si occupavano di teoria quantistica, era oramai persuasa anche dell intrinseca natura non deterministica del mondo microscopico, con Einstein maggiore rappresentante invece di coloro che sostenevano che la teoria era ancora incompleta: <<La meccanica quantistica è degna di ogni rispetto, ma una voce interiore mi dice che non è ancora la soluzione giusta. È una teoria che ci dice molte cose, ma non ci fa penetrare più a fondo il segreto del Grande Vecchio. In ogni caso sono convinto che Egli non gioca a dadi con il mondo.>> 58 Il processo di misura 59 Ci occupiamo ora di descrivere con più attenzione cosa succede in meccanica quantistica durante il processo di misura di una qualunque osservabile fisica (posizione, velocità, energia,...). N.B. Non distingueremo il concetto di misurare da quello di osservare : intendendo che osservare implica un interazione con l oggetto che vogliamo studiare, così come si ha durante un processo di misura con uno strumento. In fisica classica, ci sono due assunzioni fondamentali che sono alla base di qualunque processo di misura: - uno strumento di misura influenza e altera lo stato del sistema che stiamo studiando, ma possiamo rendere questa perturbazione piccola a piacere; - almeno in linea teorica, siamo in grado di calcolare, e quindi prevedere a priori sia qualitativamente che quantitativamente, tale perturbazione e quindi di stabilire come possiamo aumentare la precisione delle nostre misure. Esempio: quando misuriamo la temperatura del nostro corpo con un termometro a mercurio, il corpo cede parte del suo calore al mercurio sino a quando i due oggetti sono alla stessa temperatura; in questo modo la temperatura misurata sarà leggermente più bassa di quella effettiva che aveva il corpo prima della misura, ma possiamo rendere questo errore piccolo a piacere. 59

5 In fisica quantistica, questo non accade: - sia perchè il principio di indeterminazione di Heisenberg pone dei limiti intrinseci alla precisione di coppie di misure; - sia perchè quando determino con precisione lo stato di un sistema (e per una singola variabile lo posso fare), lo perturbo così tanto da alterarne profondamente lo stato. 60 Riprendiamo in considerazione un sistema che ha, da un punto di vista classico, due possibili stati. Denoteremo tali stati con: 0 e 1 Tali stati sono distinti dal fatto che esiste una osservabile fisica Ô che posso misurare e tale che assume due valori diversi a seconda di quale stato si trova il sistema: ad esempio possiamo assumere che tale misura valga: -1 se il sistema è nello stato 0> +1 se il sistema è nello stato 1> Come esempio possiamo pensare a un fotone con i due stati di polarizzazione: O>= 0> e V>= 1>. L apparecchio di misura consiste di un filtro polarizzatore verticale e da una una scala di misura su cui la lancetta segna -1 se il fotone non passa e +1 se il fotone passa. 60 Lo stato fisico più generale è dato da una sovrapposizione S = a 0 + b 1 61 dove i coefficienti sono da interpretare in senso probabilistico: se il sistema si trova in tale stato c è una probabilità che l osservabile Ô misuri. p = a 2 p + = b 2 Supponiamo di fare una misura ottenendo il valore +1 (il fotone passa dal filtro verticale): dopo la misura abbiamo una probabilità 1 (certezza) che il sistema sarà nello stato corrispondente, ovvero 1> (nell esempio, il fotone ora è polarizzato verticale). L atto di misura modifica drasticamente lo stato del sistema: prima della misura esso è in S>, dopo in 1> o 0> a seconda che l esito della misura sia stato +1 o -1: si parla di collasso dello stato (della funzione d onda) È evidente quindi che in meccanica quantistica un processo di misura/osservazione non è neutrale ma influenza irrimediabilmente il sistema. 61

6 ! Si pongono piuttosto naturalmente alcune domande, seppur di carattere filosofico: 62 - il processo di misura può darci informazioni oggettive, indipendenti dall osservatore, sul sistema? - possiamo attribuire una valore di realtà alla descrizione quantistica o essa è solo un immagine che si può fare un osservatore? Le posizioni dei vari scienziati che nella prima metà del XX secolo hanno lavorato in meccanica quantistica sono molto articolate. L Ortodossia (Scuola di Copenhagen) Bohr: <<Non esiste un mondo quantistico. C è solo una descrizione fisica astratta. È sbagliato pensare che sia compito della fisica scoprire come è fatta la natura. La fisica riguarda ciò che si può dire della natura.>> Heisenberg: <<Negli esperimenti su processi atomici noi abbiamo a che fare con cose e fatti, con fenomeni che sono altrettanto reali di qualsiasi fenomeno della vita quotidiana. Ma gli atomi e le particelle elementari non sono altrettanto reali; essi formano un mondo di potenzialità o possibilità piuttosto che uno di cose e fatti.>> Pauli: <<Non si dovrebbe tormentare il proprio cervello con il problema se qualcosa di cui non si può sapere nulla esita, più di quanto si debba fare circa l antica questione di quanti angeli stiano sulla punta di uno spillo. Ma a me pare che le domande di Einstein di fatto siano tutte di questo tipo.>> 62 La Critica de Broglie: <<Le teorie statistiche nascondono una realtà completamente determinata e accertabile dietro alcune variabili che eludono le nostre tecniche sperimentali.>> 63 Schroedinger: <<Se veramente dovremo avere a che fare con questi maledetti salti quantici, devo rammaricarmi di essermi lasciato coinvolgere nell elaborazione della teoria quantistica.>> <<Una volta che riusciremo a superare la nostra radicata predilezione per la causalità assoluta, riusciremo a superare le difficoltà.>> Einstein: <<La faccenda della causalità tormenta molto anche me.... Devo confessare che mi manca qui il coraggio di una convinzione, tuttavia mi dispiacerbbe moltissimo dover rinunciare alla causalità assoluta.>> <<Riconosco che nell impostazione statistica vi è un notevole contenuto di verità. Ma non posso credere seriamente in essa, perchè la teoria che ne deriva è incompatibile con il principio che la fisica debba fornire la rappresentazione di una realtà nel tempo e nello spazio, senza fantomatici effetti a distanza.>> <<... io credo in una legge completa e nell ordine, in un mondo che esiste oggettivamente che io, in un modo selvaggiamente speculativo, sto tentando di catturare. Lo credo fermamente e spero che qualcuno scoprirà un modo più realistico o piuttosto una base più tangibile di ciò che è stato mia sorte fare.>> Cosa ne pensano gli scienziati oggi? 63

7 L entanglement 64 Questa proprietà del mondo quantistico è quella che forse in maniera più evidente e sorprendente cattura la diversità (e inconciliabilità) con una descrizione classica. La sua descrizione porta ad esaminare sino alle sue estreme conseguenze la nuova logica e la conseguenti strutture matematiche che ne derivano: ammette una descrizione matematica rigorosa e quindi non può essere messa in discussione, se non rifiutando le premesse logiche. Porta tuttavia a diversi problemi di tipo interpretativo.! Stati separabili Vogliamo descrivere lo stato di un sistema composto da due sottosistemi indipendenti, per esempio due fotoni, che indicheremo con A e B. Supponiamo inoltre che ciascuno di essi sia descritto in termini di due possibili stati classici che denotiamo con: 0 A, 1 A e 0 B, 1 B Il fatto che i due sottosistemi siano indipendenti l uno dall altro significa che possiamo immaginare che esistano due sperimentatori: Alice che può effettuare misure dell osservabile Ô solo sul sottosistema A e Bob che può effettuare misure dell osservabile Ô solo sul sottosistema B senza fare nulla sull altro sottosistema. 64 Sono esempi di stati del sistema totale: 00 = 0 A 0 B 01 = 0 A 1 B 10 = 1 A 0 B 11 = 1 A 1 B 65 dove il primo stato indica che entrambi i sottosistemi sono nello stato 0> (nell esempio, entrambi i fotoni sono polarizzati orizzontalmente). Tali stati vengono detti separabili, in quanto ciascuno dei due fotoni è in uno stato definito e si comporta in maniera indipendente dall altro. Altro esempi di stati separabili sono: A A 1 B A A 2 0 B B 2 2 che corrispondono, nell esempio, al caso in cui il fotone A è polarizzato a 45 o e il fotone B è polarizzato verticalmente al caso in cui entrambi sono polarizzati a 45 o.. 65

8 ! Stati entangled (annodati, intrecciati) 66 I due sistemi A e B possono anche stare in una sovrapposizione di due stati (del sistema completo), del tipo: 1 0 A 1 B A 0 B 2 2 che è uno stato in cui la coppia dei fotoni ha probabilità diversa da zero (1/2) di essere nello stato in cui A è polarizzato orizzontale e B verticale e viceversa. Uno stato di questo tipo è detto entangled, ed ha la proprietà che in esso i due fotoni non sono indipendenti. Per vedere questo possiamo pensare al seguente esperimento: supponiamo che Alice esegua una misura dell osservabile Ô, che ricordiamo, vale -1 se il fotone A è nello stato 0> +1 se il fotone A è nello stato 1> C è una probabilità pari a 1/2 che l esito della misura di Alice sia -1 (o +1) e, dopo la misura lo stato del fotone A è collassato in 0> A (o 1> A ). D altra parte, lo stato iniziale era una sovrapposizione di uno stato in cui, se il fotone A è in 0> A ( 1> A ), il fotone B è necessariamente in 1> B ( 0> B ). 66 Dopo la misura effettuata da Alice, il sistema totale si trova allora in uno degli stati: 0 A 1 B oppure 1 A 0 B se Alice ha misurato Supponiamo che Alice sapesse sin dall inizio solo che i due fotoni avevano polarizzazioni opposte. Dopo la sua misura, che non interagisce con B, Alice sa ora con certezza lo stato del sottosistema B. Se lo stato del sistema totale è entangled, uno sperimentatore può ottenere maggiori informazioni su uno dei due sottosistemi anche solo facendo osservazioni sull altro. Osservazioni. - Non ha importanza quanto vicini o lontani siano A e B: l effetto è non-locale. - La misura di A influenza istantaneamente anche lo stato di B, ovunque esso si trovi: sembra ci sia un azione a distanza tra i due sottosistemi. - Ciò nonostante, questo esperimento non viola la legge di causalità relativistica, secondo la quale nulla (neppure l informazione) può viaggiare più veloce della luce, perchè Bob non sa in che stato il fotone B in suo possesso si trova sino a quando Alice non glielo comunica (per es. con una lettera, una telefonata, un ,... = canale di comunizione classico). 1 oppure

9 ! Spettacolo di magia 68 Una coppia di maghi, Alice e Bob, esegue il seguente spettacolo di magia: - Alice e Bob vengono chiusi in due cabine separate, dalle quali non possono comunicare; - due persone del pubblico scelgono a caso una busta ciascuno tra due set di 3 buste su cui è scritto un numero (1,2,3) e le consegnano una ad Alice, una a Bob; - Alice e Bob guardano il numero e scrivono sulla busta SÌ o NO a scelta, circa con uguale probabilità (ovvero Sì o No nel 50% dei casi); - infine, tutte le volte che ad Alice e Bob sono state consegnate buste con lo stesso numero, un assistente esterno le ritira e mostra al pubblico le risposte. La magia consiste nel fatto che si ha che Alice e Bob danno la stessa risposta (S/N) tutte le volte che ricevono buste che portano lo stesso numero (per ogni numero c è circa un 50% di S/N). Possibili spiegazioni: " Alice e Bob sono telepatici. " Alice e Bob si sono accordati per dare una precisa risposta se la busta riporta un certo numero: ad esempio 1=S, 2=N, 3=N. Per evitare che questo trucco sia facilmente smascherato, questa regola cambia di volta in volta (ad esempio per la seconda busta si usa 1=N, 2=N, 3=S, per la terza 1=S, 2=S, 3=N,...) in modo che allo stesso numero non corrisponda sempre la stessa risposta.... c è una terza possibilità " Alice e Bob usano un esperimento di meccanica quantistica per decidere se scrivere S/N: essi eseguono una misura su una coppia di fotoni entangled A e B che si trovano nello stato: 1 0 A 1 B A 0 B 2 2 utilizzando uno strumento che misura l osservabile Ô = -1 se il fotone è nello stato 0> +1 se il fotone è nello stato 1>; Alice scrive SÌ (NO) se misura -1 (+1) e viceversa Bob scrive SÌ (NO) se misura +1 (-1). # Quando questo spettacolo viene fatto in una sala della Residenza del Collegio Superiore, uno studente nel pubblico si alza e chiede di poter vedere anche le risposte date da Alice e Bob nel caso in cui le due buste recavano numeri diversi. Dopo avere osservato le risposte dichiarano di sapere quale trucco è stato usato. Ma come ha fatto? " Se Alice e Bob si sono accordati sulla sequenza (variabile) di risposte da dare, la probabilità che le risposte coincidano anche quando i due numeri sono uguali è 4/9 (provare a verificarlo) e quella che non coincidano è 5/9. " Se Alice e Bob usano l esperimento di meccanica quantistica descritto sopra, in tutti i casi le due risposte saranno coincidenti, poichè con la misura lo stato dei fotoni entangled collassa sempre in uno stato in cui i due fotoni hanno polarizzazione diversa. 69