Politecnico di Torino Facoltà di Architettura. Raccolta di esercizi proposti nelle prove scritte

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1 Politecnico di Torino Facoltà di Architettura Raccolta di esercizi proposti nelle prove scritte relativi a: algebra lineare, vettori e geometria analitica Esercizio. Determinare, al variare del parametro a R, il numero di soluzioni del sistema { ax + x + x 3 = 4 x + ax 3 = 0 3x + x + x 3 = 3 Esercizio. Dati i vettori u = ( 7,, 3), v = (, β, ), e w = (, 3, ), determinare β in modo che u v e w siano paralleli. Esercizio 3. Dati i punti P 0 = (,, ) e A = (,, 3), scrivere le equazioni cartesiana e parametrica del piano passante per P 0 e perpendicolare alla retta che passa per O = (0, 0, 0) e A. Esercizio 4. Dati i vettori u = (,, ), v = (, 3, ), e w = (,, ), stabilire se esistono numeri λ R tali che (λu v) w = i. Esercizio 5. Scrivere le equazioni parametrica e cartesiana della retta passante per il punto P 0 = (, 5, ) e perpendicolare al piano x 4y + 3z 7 = 0. Esercizio 6. Dato il sistema lineare { x + αx = x = 3 x + 3x = stabilire per quali valori di α il sistema ammette soluzioni. Per tali valori di α, risolvere il sistema. Esercizio 7. Scrivere l equazione cartesiana del piano che contiene le rette r : { x = t y = + t z = 3 + 4t e r : { x = + t y = t z = 3 t Esercizio 8. Dato il sistema lineare { x + 3x + βx 3 = 0 x + 4x 3 = 0 x + 3x + x 3 = 0 stabilire per quali valori di β esso ammette soluzioni non banali. Per tali valori di β, risolvere il sistema. Esercizio 9. Dati i vettori u = (,, 3), v = (,, 0) e w = (α,, ), determinare α in modo che u + v, u v e w siano complanari.

2 Esercizio 0. Dati i vettori u = (,, ), v = (,, 0) e w = (β,, ), determinare β in modo che u + v, u v e w siano complanari. Esercizio. Scrivere l equazione cartesiana del piano che contiene le rette r : { x = 3 t y = 3t z = + t e r : { x = 3 + t y = + t z = + t Esercizio. Dato il sistema lineare { x + x 3x 3 = 0 x + x 3 = 0 x + αx 3x 3 = 0 stabilire per quali valori di α esso ammette soluzioni non banali. Per tali valori di α, risolvere il sistema. Esercizio 3. Dati i punti P 0 = (, 3, ) e A = (,, ), scrivere le equazioni cartesiana e parametrica del piano passante per P 0 e perpendicolare alla retta che passa per O = (0, 0, 0) e A. Esercizio 4. Determinare, al variare del parametro b R, il numero di soluzioni del sistema { 4x x + 3x 3 = 3 bx + x = 0 4x x + bx 3 = Esercizio 5. Dati i vettori u = (, α, ), v = (, 3, ) e w = (β,, β), stabilire se esistono valori di α e β tali che u v + w = o. Esercizio 6. Dato il sistema lineare { x + x = bx + x = 0 x + x = 3 stabilire per quali valori di b R il sistema ammette soluzioni. Per tali valori di b, risolvere il sistema. Esercizio 7. Dati i vettori u = (,, ), v = (3,, ) e w = (,, ) trovare il valore di λ R per cui (u + λv) w è perpendicolare a k. Esercizio 8. Scrivere le equazioni parametrica e cartesiana della retta passante per il punto P 0 = (3,, 3) e perpendicolare al piano x 3y + z 3 = 0. gennaio96 Esercizio 9. Determinare, al variare del parametro k R, il numero di soluzioni del sistema { x + kx + x 3 = x + 8x + x 3 = kx x 3 = 3

3 Esercizio 0. Dati i vettori x = (, 0, ), y = (,, ), z = (λ, 0, ) e la matrice A = determinare per quale valore di λ R i vettori A x, y e z sono complanari. Esercizio. Scrivere l equazione parametrica della retta passante per P 0 = (,, ) e perpendicolare al piano passante per P 0, P = (,, ) e P = (,, ). Esercizio. Scrivere l equazione parametrica della retta passante per P 0 = (,, ) e perpendicolare al piano passante per P 0, P = (,, ) e P = (,, ). Esercizio 3. Determinare, al variare del parametro h R, il numero di soluzioni del sistema { x + hx + x 3 = 3 x + hx 3 = 4x + x + 4x 3 = 6 Esercizio 4. Dati i vettori x = (, 0, ), y = (,, ), z = (, 0, λ) e la matrice A = determinare per quale valore di λ R i vettori A x, y e z sono complanari. Esercizio 5. Risolvere il sistema { x x 3 = x x = x x 3 = Esercizio 6. Data la retta { x + y z = 0 x y + z + = 0 a) Scriverla in forma parametrica. b) Trovare un vettore perpendicolare alla retta. Esercizio 7. Dati i vettori u = (0,, λ) e v = ( 5, 0, ), a) Determinare (se esiste) λ in modo che u e v risultino paralleli. b) Determinare (se esiste) λ in modo che u + v e u v risultino ortogonali. c) Determinare (se esiste) λ in modo che u e v formino un angolo θ = π 3. Esercizio 8. Dati il piano λx + 4y z + = 0 e la retta { x + y = 0 x 3y + z = 0 a) discutere al variare di λ R la loro intersezione b) calcolare il valore di λ per cui il piano e la retta sono paralleli. 3

4 Esercizio 9. Data la retta { x + y z = 0 x + y + z + = 0 a) Scriverla in forma parametrica. b) Trovare un vettore perpendicolare alla retta. Esercizio 30. Dati i vettori u = (λ,, 0) e v = ( 5, 0, ), a) Determinare (se esiste) λ in modo che u e v risultino paralleli. b) Determinare (se esiste) λ in modo che u + v e u v risultino ortogonali. c) Determinare (se esiste) λ in modo che u e v formino un angolo θ = π 3. Esercizio 3. Risolvere il sistema { x x 3 = x x 3 = x x = Esercizio 3. Discutere al variare di λ R l intersezione dei piani x + 4y λz + = 0, x + y = 0 e x 3y + z = 0, Esercizio 33. Dati i punti A = (0,, ), B = (, 0, ) e C = (,, ), a) trovare un vettore perpendicolare al piano che contiene il triangolo ABC b) calcolare l area del triangolo ABC. Esercizio 34. Date le matrici A = ( 0 ), B = risolvere il sistema A X = A B, dove A = A A., X = x, y Esercizio 35. Scrivere l equazione del piano passante per il punto P 0 = (,, 0) e perpendicolare al vettore v = (,, ). Discutere al variare del parametro λ R l intersezione di questo piano con quello di equazione x + λy + z + 5 = 0. Esercizio 36. Date le matrici A = ( 0 ), B = risolvere il sistema A X = A B, dove A = A A., X = x, y Esercizio 37. Scrivere l equazione del piano passante per il punto P 0 = (,, 0) e perpendicolare al vettore v = (,, ). Discutere al variare del parametro λ R l intersezione di questo piano con quello di equazione x + λy + z + 5 = 0. Esercizio 38. Scrivere l equazione del piano passante per il punto P 0 = (,, 0) e perpendicolare al vettore v = (,, ). Discutere al variare del parametro λ R l intersezione di questo piano con quello di equazione λx + y z + 5 = 0. 4

5 Esercizio 39. Date le matrici A = ( 0 ), B = risolvere il sistema A X = A B, dove A = A A., X = x, y Esercizio 40. Determinare, al variare del parametro a R, il numero di soluzioni del sistema { x + x + ax 3 = 0 x + (a + )x = 0 x + x x 3 = Esercizio 4. Dati i piani π : hx y + z + 4 = 0 e π : x + hy + 3z = 0, a) determinare h in modo che π e π siano perpendicolari b) per tale valore di h, scrivere l equazione parametrica della retta passante per P 0 = (,, 3) e parallela ad entrambi i piani. Esercizio 4. Dati i vettori u = (0,, ) e v = (,, ), trovare un vettore x tale che x u = 0 e x v = 0. Quanti vettori con queste proprietà esistono? Esercizio 43. Dati i vettori u = (, 0, ), v = (0,, ) e x = (,, λ), a) trovare i valori di λ per cui u x = 6 b) dire quale dei vettori x così trovati è complanare con u e v. Esercizio 44. Determinare, al variare del parametro a R, il numero di soluzioni del sistema { 5ax + x = x ax = 0 ax + x = Esercizio 45. Dati il punto P 0 = (,, 3) e i vettori u = (0,, 3) e v = (,, ), scrivere l equazione parametrica della retta per P 0 perpendicolare a u e v. Scrivere la stessa retta come intersezione di due piani. Esercizio 46. Dati i punti P 0 = (0,, 3), P = (,, ) e P = (,, 3), scrivere l equazione parametrica della retta per P 0 perpendicolare al piano che passa per P 0, P e P. Esercizio 47. Dati i vettori x = (, 0, ), y = (,, ), u = (,, 5) e v = (h, h, ), a) determinare due numeri α e β tali che αx βy = u b) per tali valori di α e β, trovare per quali numeri h si ha che αx, βy e v sono complanari. Esercizio 48. Data la matrice A =, 4 3 a) trovare gli autovalori di A b) trovare il coseno dell angolo formato dagli autovettori di A. Esercizio 49. Determinare, al variare del parametro b R, il numero di soluzioni del sistema { 4x + bx = bx + x = 0 x + 5bx = 5

6 Esercizio 50. Dati il punto P 0 = (,, ) e i vettori u = (, 0, ) e v = (,, 3), scrivere l equazione parametrica della retta per P 0 e parallela a u. Scrivere l equazione cartesiana del piano per P 0 parallelo a u e v. Esercizio 5. Determinare, al variare del parametro b R, il numero di soluzioni del sistema { x + x x 3 = bx + x = 0 x + x + (b )x 3 = 0. Esercizio 5. a) Scrivere l equazione parametrica della retta passante per il punto P = (,, ) e ortogonale al piano contenente i vettori u = (,, ) e v = (,, ). b) Scrivere inoltre l equazione parametrica di una retta passante per il punto P e parallela al piano contenente i vettori u e v. Esercizio 53. Discutere, al variare del parametro k R, il numero di soluzioni del sistema { x x + kx 3 = kx + x + x 3 = 3 x 4x + 6x 3 = Esercizio 54. a) Scrivere l equazione parametrica della retta passante per il punto P = (,, ) e ortogonale al piano contenente i vettori u = (,, ) e v = (,, ). b) Scrivere inoltre l equazione parametrica di una retta passante per il punto P e parallela al piano contenente i vettori u e v. Esercizio 55. Discutere, al variare del parametro k R, il numero di soluzioni del sistema { 6x + x 4x 3 = x + kx + x 3 = 3 kx + x x 3 = Esercizio 56. Si considerino i vettori colonna x = k A = 0 k. k e y = Dire per quali valri di k R il vettore A x è perpendicolare a y. Esercizio 57. Discutere il numero di soluzioni del sistema { kx + x = 3 x + kx = kx x = 7 al variare del parametro k R. 6 0 e la matrice

7 Esercizio 58. Dati i punti A = (, 0, ), B = (3, k, ), C = (,, 0), D = (, 0, ), determinare k in modo tale che a) AB, AC, AD siano complanari b) BC e CD siano ortogonali c) AB sia parallelo al vettore v = ( 6,, 3). Esercizio 59. Discutere e risolvere al variare di k il seguente sistema lineare { x + kx = 0 x + kx 3 = 0 x x x 3 = 0. Esercizio 60. Scrivere sia in forma parametrica che cartesiana l equazione della retta passante per il punto P = (, 0, ) ed ortogonale al piano di equazione x y + z + 3 = 0. Esercizio 6. Dati i punti A = (,, 0), B = (, 3, k), C = (0,, ), D = (,, 0), determinare k in modo tale che a) AB, AC, AD siano complanari b) BC e CD siano ortogonali c) AB sia parallelo al vettore v = (, 4, ). Esercizio 6. Discutere e risolvere al variare di k il seguente sistema lineare { x + kx 3 = 0 x + kx = 0 x x + x 3 = 0. Esercizio 63. Scrivere sia in forma parametrica che cartesiana l equazione della retta passante per il punto P = (,, 0) ed ortogonale al piano di equazione x y 3z + 3 = 0. Esercizio 64. Dati i punti A = (,, λ), B = (5, 3, 0), C = (6,, ), a) determinare λ in modo che un vettore ortogonale sia ad AB che a BC coincida con v = (, 4, 7) b) esistono valori di λ R tali che AB sia ortogonale ad AC? c) calcolare il versore parallelo ed opposto a BC. Esercizio 65. Discutere e risolvere al variare di k il seguente sistema lineare { x + x = k x + x = x + x =. Esercizio 66. Scrivere in forma parametrica l equazione della retta passante per il punto P = (, 0, ) e con direzione parallela a quella del vettore v = (,, ). Determinare per quali valori di k il piano di equazione kx y + z = 0 risulti parallelo ed ortogonale alla suddetta retta. Esercizio 67. Dati i punti A = ( 3,, 0), B = (,, ), C = (, 4, λ), a) determinare λ in modo che un vettore ortogonale sia ad AB che ad (, 3, 5) 7 AC coincida con v =

8 b) esistono valori di λ R tali che BC sia ortogonale ad c) calcolare il versore parallelo ed opposto ad AB. AC? Esercizio 68. Scrivere in forma parametrica l equazione della retta passante per il punto P = (,, 0) e con direzione parallela a quella del vettore v = (, 6, ). Determinare per quali valori di k il piano di equazione kx + 3y z = 0 risulti parallelo ed ortogonale alla suddetta retta. Esercizio 69. Si considerino i vettori colonna x = A = e y = 0 k k. Dire per quali valori di k R il vettore A x è perpendicolare a y. Esercizio 70. Discutere il numero di soluzioni del sistema al variare del parametro k R. { x + kx = 4 kx + x = 3x + kx = 7 k Esercizio 7. Dati i vettori u = (, 0, ), v = (0,, ) e w = (,, ), a) calcolare il prodotto scalare (u + v) (u v) b) calcolare i versori associati a u, v e w c) verificare se u, v e w sono complanari. Risultati e la matrice ) a R \ { 4, 3}una soluzione ) β = 4 3) Eq. cartesiana: x + y 3z = 0 4) nessun valore di λ { x = + t { y = 4x 5) y = 5 4t, z = 3x z = + 3t 6) α = 3, x = 3, x = 7 6 7) x + 7y 3z 6 = 0 8) β =, soluzioni del tipo (x 3, x 3, x 3 ) 9) α = 6 0) β = 3 ) 7x 3y + z + 6 = 0 ) α =, soluzioni del tipo (x, 8x, x ) 8

9 3) x + y z 4 = 0 4) nessuna soluzione per b = o b = 3 5) α = 3,β = 9 6) b =, x = (, ) 7) λ = { x = 3 + t { x = z 3 8) y = 3t, y = 3z + z = 3 + t 9) soluzioni per k = 4, nessuna soluzione per k = 0) λ = { x = + 7t ) y = + 6t z = + 4t { x = + t ) y = + t z = + t 3) h = nessuna soluzione, h una soluzione 4) λ = 0 5) soluzioni x = + x 3, x = x 3 + { x = t 6) y = t z = 5t 7) a) nessun valore di λ, b) λ = ± 8, c)nessun valore di λ { x = 0 8) a) y = λ,b)λ = 0 z = 3 { x = t 9) y = t, (,, 0) z = 3t 30) a) nessun valore, b)± 8, c) nessun valore 3) (x 3 +, x 3 +, x 3 ) 3) una intersezione per λ 33) a) (,, ), b) 3 34) X = (0, ) 35) x y + z + = 0, λ 36) X = (0, ) 37) x y + z + = 0, λ 38) x + y z 4 = 0, 5x + ( + λ)y 3 = 0 39) X = (, 0) 40) a = no soluzioni, a = 0 soluzioni { x = 9t 4) a) h = 3, b) y = + t z = 3 + t 4) soluzioni (c, c, c) 9

10 43) a) λ =, 3, λ = 3 44) a = ± 5, 0 no soluzioni { x = 5t 45) y = + 6t z = 3 t { x = 3t 46) y = + t z = 3 + t 47) a) α = 3, β =, b) h = 49) b = 0 no soluzioni { x = + t 50) y = z = t, x 7y + 4z + = 0 5) b = no soluzioni, b = soluzioni { x = + 3t 5) y = 3t z = 53) k = 3 soluzioni, k = no soluzioni { { x = + t x = + t 54) y = t z =, y = + t z = 55) k = 3 soluzioni, k = no soluzioni 56) k = 4, 57) k = 4, no soluzioni 58) a) k =, b) k = 4, c) nessun valore di k 4 59) k = 4, soluzioni { x = + t { y = x + 60) y = t, z = x + z = + t 6) a) k = 5 4, b) k = 0, c) k = 6) k = 0 soluzioni, k = soluzioni { x = + t { x = 4 y 63) y = t, z = 3 + 3y z = 3t 64) a) λ =, b) λ = 7, c) v = (,, ) 6 65) k = x = (, 0) { x = + t 66) y = t z = t, : k = 5, : k = 67) a) λ =, b) nessun valore, c) v = (,,) 6 { x = t 68) y = + 6t z = t, : k = 0, : k = 69) k =, 70) k =, 0, no soluzioni 0

11 7) a) 6, b) û = (,0,) ˆv = (0,, ) ŵ = (,,) 6.