Esempio. Approssimazione con il criterio dei minimi quadrati. Esempio. Esempio. Risultati sperimentali. Interpolazione con spline cubica.

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1 Esempio Risultati sperimentali Approssimazione con il criterio dei minimi quadrati Esempio Interpolazione con spline cubica. Esempio 1

2 Come procedere? La natura del fenomeno suggerisce che una buona approssimazione dei dati è di tipo lineare Tutti i polinomi di grado 1 sono rappresentabili come I parametri a 1 e a 2 individuano una sola retta tra tutte quelle del piano Servono dei criteri per determinare i parametri, individuando una particolare retta Il criterio di interpolazione in questo caso non va bene Quale criterio utilizzare? Minimizzare l errore quadratico medio Per una generica retta, considero le quantità Rappresentano l errore che si commette sui dati (la distanza dei dati dal modello) Dipendono dai parametri a 1 e a 2 Sono m valori (tanti quanti i punti) Cercare la retta (cioè determinare i parametri a 1 e a 2 ) in modo da rendere l errore più piccolo possibile: in termini matematici si deve minimizzare la norma (euclidea) del vettore 2

3 Si determinano i parametri in modo che la distanza tra il modello e i dati osservati sia minima possibile. In termini matematici si tratta di calcolare Caso lineare: Minimo di una funzione di più variabili rispetto ai parametri Condizione necessaria: Occorre poi verificare la bontà del modello scelto Caso lineare: Esempio Incognite Dati Costruire la retta di migliore approssimazione secondo il criterio dei minimi quadrati relativamente ai punti (1,5), (3,10), (4,12), (5,16) Sistema di 2 equazioni nelle 2 incognite a1 a2 3

4 Scelta del modello Nell esempio iniziale il modello lineare rispetta la natura dei dati (legge di Ohm). Dati di tipo diverso sono meglio descritti da altri modelli. Esempi: Parabola Modelli non polinomiali (non lineari) In generale Si sceglie a priori un modello per descrivere il fenomeno Si sceglie un insieme di funzioni che dipendono da n parametri parametri variabile Si definiscono gli errori dove Criterio di approssimazione Minimizzare la distanza tra i dati osservati e il modello; Criterio dei minimi quadrati Si determinano in modo che il vettore sia minimo possibile in norma euclidea. Minimizzare la funzione Oppure dove osservazioni. sono i pesi delle 4

5 Minimo di funzioni Condizione necessaria Funzione reale a variabile reale Condizione necessaria Funzione reale di n variabili reali Condizione necessaria Approssimazione lineare Approssimazione lineare Supponiamo che In questo caso la funzione Q da minimizzare ha una forma particolare 5

6 Ricaviamo la funzione Q Equazioni normali Sistema delle equazioni normali nxn Ammette un unica soluzione se e solo se le colonne di A sono linearmente indipendenti. Approssimazione polinomiale La matrice A ha sempre rango massimo quando i punti sono distinti Il problema dell approssimazione polinomiale ha una sola soluzione Osservazioni Se n=m si trova il polinomio di interpolazione di grado n; Se m n si trova un polinomio di grado n-1i cui coefficienti si calcolano risolvendo le equazioni normali. 6

7 Retta di regressione Si trova per n=2 Esempio Costruire la parabola di migliore approssimazione relativamente ai punti (1,5), (3,10), (4,12), (5,16) FORMULE ESPLICITE Approssimazione di dati e funzioni INTERPOLAZIONE Interpolazione polinomiale Polinomio di interpolazione Lagrange Newton n+1 punti Polinomio di Taylor 1 punto Interpolazione polinomiale a tratti: funzioni spline APPROSSIMAZIONE CON IL CRITERIO DEI MINIMI QUADRATI Soluzione numerica del problema dei minimi quadrati Stima dell errore 7

8 Risoluzione delle equazioni normali Se A ha rango massimo, la matrice del sistema Esempio Supponiamo che la matrice A sia è simmetrica definita positiva; Si potrebbe fattorizzare con Cholesky; Se A è malcondizionata si ha una amplificazione degli errori. Se Matrice singolare Alternativa 1 Sistema aumentato Alternativa 2 L idea si basa sulle seguenti osservazioni: se Q è una matrice ortogonale, allora E simmetrico Non è definito positivo e ha dimensione doppia rispetto al sistema normale Se A è una matrice mxn (n<m) di rango n, si può fattorizzare mediante trasformazioni di Givens e Q ortogonale mxm R triangolare superiore nxn. 8

9 Caso degenere Quanto detto prima vale sotto l ipotesi che il rango di A sia n. Se il rango di A è inferiore ad n (succede, ad esempio, quando le funzioni di base non sono lin. Indip.), allora il problema dei minimi quadrati non ha un unica soluzione. Caso degenere Se il rango di A è k (<n), le soluzioni del sistema delle equazioni normali Variante della fattorizzazione QR Ogni matrice di rango k (<n) si può fattorizzare come costituiscono un sottospazio di dimensione n-k. Tra queste infinite soluzioni si vuole determinare quella di minima norma. Dove H è una matrice ortogonale mxm K è una matrice ortogonale nxn dove è triangolare inferiore kxk 9

10 Come di ottiene la fattorizzazione HRK T Se A è una matrice mxn di rango k, allora S è una matrice ortogonale di permutazione nxn che porta k colonne lin. indip. nelle prime posizioni Q è ortogonale mxm è triangolare superiore kxk Fattorizzazione QR della matrice Ortogonale nxn Triangolare superiore Triangolare inferiore Tutti i vettori del tipo sono soluzioni del problema di minimo La soluzione di minima norma si ottiene per 10

11 Decomposizione ai valori singolari Se A è una matrice mxn di rango k, allora dove U matrice ortogonale mxm; V matrice ortogonale nxn; matrice diagonale Si tratta di trovare il minimo di Soluzione di minima norma Si trova per V è ortogonale La soluzione non è unica La soluzione di norma euclidea minima si trova per 11

12 Applicazione della decomposizione ai valori singolari Compressione di dati Per ottenere A è sufficiente conoscere Diadi Compressione Numero elementi di A Numero elementi di Si ottiene una compressione maggiore se si scartano i valori singolari piccoli 12

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