Test d ipotesi: confronto fra medie

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1 Test d ipotesi: confronto fra medie Prof. Giuseppe Verlato Sezione di Epidemiologia e Statistica Medica, Università di Verona CONFRONTO FRA MEDIE 1) confronto fra una media campionaria e una media di popolazione z = x-µ σ/ n t = x-µ s/ n ) confronto fra due medie campionarie quando n 1 >60 ed n >60 x t = 1 - x s 1 s + n 1 n ES 1 ES 1- ES Serve per capire il ragionamento teorico, ma non si utilizza nella pratica, si utilizza la formula 3 1

2 3) confronto fra due medie campionarie con piccoli campioni (n 1 <60 ed n <60) s p = s pooled = dev 1 + dev n 1 + n - x t = 1 - x x 1 - x = s p s p dev 1 + dev n 1 n n 1 + n - n 1 n ( ) + 4) confronto per dati appaiati x 11 - x 1 = d 1 x 1 - x = d x 13 - x 3 = d 3 x 14 - x 4 = d 4 x 15 - x 5 = d 5} d s d t = d- 0 s d / n Test d ipotesi: confronto fra la media di un campione (x) e la media della popolazione (µ)

3 Assumiamo che nel Nord-Europa la glicemia dei diabetici di tipo sia pari a 170±4 mg/dl (µ±σ). In 36 diabetici italiani troviamo una glicemia media di 161 mg/dl. La glicemia dei diabetici italiani è uguale alla glicemia dei diabetici del Nord-Europa? Densità di probabilità µ = 170 mg/dl σ = 4 mg/dl Distribuzione della glicemia nei diabetici del Nord-Europa glicemia (mg/dl) Densità di probabilità µ = 170 mg/dl σ = 4 mg/dl Corrispondente distribuzione della media campionaria per n=36 (σ = 4/ 36 = 4/6 = 4 mg/dl) glicemia (mg/dl) N.B. Dal momento che n>30, la distribuzione della media campionaria è normale indipendentemente dalla distribuzione della variabile originaria. Ipotesi{ H 0: µ it = µ 0 H 1 : µ it µ 0 Livello di significatività [P(errore del I tipo)] = 5% Densità di probabilità regione di accettazione di H Z 3 Utilizzo il test z, basato sulla distribuzione z (deviata normale standardizzata) Livello di significatività Soglia critica (valore assoluto) 10% 5% 1% 1,645 1,96,576 regione di rifiuto di H 0 Il test è a code, perché la regione di rifiuto è nelle code della distribuzione. 3

4 z = x-µ = = -9 = -,5 σ/ n 4/ 36 4 z osservato > soglia critica,5 1,96 Densità di probabilità -,5 Rifiuto H 0 La glicemia dei diabetici italiani è diversa dalla glicemia dei diabetici del Nord-Europa (P=,4%). -1,96 0 Z Assumiamo che nel Nord-Europa la glicemia dei diabetici di tipo si distribuisca normalmente con media 170 mg/dl. La variabilità della glicemia è ignota. In 5 diabetici italiani troviamo una glicemia media di 155±0 mg/dl (media ± deviazione standard). La glicemia dei diabetici italiani è uguale alla glicemia dei diabetici del Nord-Europa? Stimiamo σ (deviazione standard della popolazione) a partire da s (deviazione standard del campione): Errore Standard = s/ n = 0/ 5 = 0/5 = 4 Tuttavia così facendo, introduciamo un ulteriore fonte di variabilità campionaria: oltre a stimare la media, stimiamo anche la deviazione standard. Per ovviare al problema, sostituiamo alla distribuzione z la distribuzione t di Student, che presenta una maggiore dispersione. densità di probabilità Distribuzione T di Student ν=infinito (distr. normale) ν = 10 ν = 5 ν = 1 ν = n-1 = gradi di libertà

5 Ipotesi{ H 0: µ it = µ 0 H 1 : µ it µ 0 Livello di significatività [P(errore del I tipo)] = 5% densità di probabilità Distribuzione t di Student regione di accettazione di H 0 ν = n-1 = gradi di libertà ν = 4 Con α = 5%, n-1 = 4 soglia critica =,064 -,064 0,064 regione di rifiuto di H 0 Il test è a code, perché la regione di rifiuto è nelle code della distribuzione. t = x-µ = = -15 = -3,75 s/ n 0/ 5 4 t tabulato t osservato > soglia critica 3,75,064 densità di probabilità Distribuzione t di Student ν = n-1 = gradi di libertà ν = 4 Rifiuto H 0 La glicemia dei diabetici italiani è diversa (minore) dalla glicemia dei diabetici del Nord-Europa (P=0,001). -3,75 -,064 0,064 5

6 Test d ipotesi: confronto fra due medie campionarie (x 1 e x ) Esempio: 0 pazienti ipertesi vengono assegnati casualmente a due gruppi di trattamento. Il primo gruppo viene trattato con un diuretico, mentre il secondo gruppo viene trattato con un farmaco beta-bloccante. Dopo due settimane di trattamento viene rilevata la frequenza cardiaca (in battiti al minuto): Diuretico Beta-bloccante La frequenza cardiaca differisce in modo significativo tra i gruppi? H 0 : µ diur = µ B- H 1 : µ diur µ B- test a due code Test t di Student (per dati non-appaiati) { { H 0 : µ diur µ B- H 1 : µ diur > µ B- test a una coda Livello di significatività = 5% Gradi di libertà = n 1 + n - = = 18 Soglia critica = t 18, 0,05 =,101 6

7 t = x 1 - x x 1 - x = ES x1- x (1/n 1 +1/n ) (dev 1 +dev )/ (n 1 +n -) Σx Σx n x Dev Var DS Diuretico ,7 8,1 31,34 5,599 Beta-bloc ,5 44,5 7,17 5,1 Assunzioni: 1) la frequenza cardiaca si distribuisce normalmente ) La varianza non differisce tra i due gruppi 8,7-70,5 t = = (1/10+1/10) (8,1+44,5)/ (10+10-) 1, 5,85 = 1,,4 = 5,043 t osservato (5,043) > t tabulato (,101) Rifiuto H 0 (P<0,001) Test d ipotesi: t di Student per dati appaiati 7

8 A un gruppo di pazienti diabetici viene somministrato un farmaco ipoglicemizzante. Nella tabella seguente sono riportati i valori di glicemia (in mg/dl) di ciascun paziente prima e dopo il trattamento: Paziente Prima Dopo Secondo voi la glicemia è variata in modo significativo con il trattamento? 300 glicemia (mg/dl) valore medio 0 Prima Dopo Paziente Prima Dopo differenza Σd = -8 Σd = 946 d = -,8 s d = 1,67 { H 0 : δ = 0 H 1 : δ 0 test a due code Test t di Student per dati appaiati) Livello di significatività = 5% Gradi di libertà = n 1-1 = 10-1 = 9 Soglia critica = t 9, 0,05 =,6 t = = = = -3,37 d-0 -,8 -,8 s d / n 1,67/ 10 6,853 8

9 t tabulato t osservato > soglia critica 3,37,6 Rifiuto H 0 La glicemia dei diabetici è diminuita in modo significativo dopo somministrazione del farmaco ipoglicemizzante (P=0,009). densità di probabilità Distribuzione t di Student ν = n-1 = gradi di libertà ν = 9-3,33 -,6 0,6 Confronto fra medie: calcolo della numerosità campionaria 9

10 Variabile di risposta quantitativa: Confronto fra medie (z α + z β ) σ n > [ ] dove n = numerosità di ciascuno dei due gruppi z α = 1.96 per alfa = 5% z β = 0.84, 1.8, per potenza = 80, 90, 95% σ = deviazione standard, desunta da studi pilota o dalla letteratura δ = x 1 -x = differenza minima clinicamente rilevante δ Esempio: Il farmaco di riferimento riduce la pressione sistolica di 5 mmhg, il nuovo farmaco per essere competitivo dovrebbe ridurre la pressione sistolica di almeno 30 mmhg (ovvero 5 mmhg in più). La deviazione standard della riduzione della pressione viene stimata in 10 mmhg da studi precedenti. Si adotta un alfa del 5% e una potenza del 90%, pertanto z α = 1.96 e z β = 1.8. (z α + z β ) σ n > [ ] n > [ ] n > n 85 Occorrono almeno 85 soggetti per gruppo. δ ( )