n=400 X= Km; s cor =9000 Km Livello di confidenza (1-α)=0,95 z(0,05)=1,96

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1 STATISTICA A K (60 ore Marco Riai mriai@uipr.it : stima della percorreza media delle vetture diesel di u certo modello al primo guasto 400 X Km; s cor 9000 Km Livello di cofideza (-α0,95 z(0,05,96 {338 < µ< 3488}0,95 Livello di cofideza (-α0,99 z(0,0,58 {3839 < µ< 356}0,99 Il tempo impiegato da u meccaico i u egozio di biciclette per assemblare u certo tipo di bicicletta può essere cosiderato ua v.c. ormale co media 3 miuti e deviazioe stadard 3,5 miuti. Si calcoli la probabilità che il tempo medio per assemblare 0 biciclette No superi 33 miuti Sia compreso tra 8,5 e 3,5 miuti Soluzioe Xv.c. tempo impiegato X~N(3, 3,5 0 X ~ N( μ, 3,5 X ~ N ( 3, 0 X μ 33 3 r( X < 33 r( < / 3,5 / 0 r( X < 33 r( Z < 0,9035 0,869 Il valore è stato otteuto dalla fuzioe di Excel DISTRIB.NORM.ST(0,9035. Utilizzado le tavole F(0,900,8594 Calcolo di Soluzioe r( 8,5 < X < 3,5? r( X < 3,5 r( Z < -0,4575 0,357 r( X < 8,5 r( Z < -3,68 0,00078 r( 8,5 < X < 3,5 0,3494 I valori 0,357 e 0,00078 soo stati otteuti co le fuzioi di Excel DISTRIB.NORM.ST(-0,4575 e DISTRIB.NORM.ST(-3,68. Utilizzado le tavole si ottiee F(-0,45-F(-3, Sia X X, X 80 u campioe casuale proveiete da ua popolazioe distribuita secodo il modello f(x3x (0<x<. Si determii la probabilità che la media campioaria sia miore di 0,8.

2 Soluzioe asso. Calcolare la media e la variaza dell uiverso X che preseta desità f(x3x (0<x< Distribuzioe del feomeo ell uiverso Rappresetazioe grafica di f(x3x (0<x< X preseta distribuzioe o ormale co E(Xµ3/4 e VAR(X 3/80 X preseta distribuzioe o ormale co E(Xµ3/4 e VAR(X 3/80 La media campioaria di u campioe di 80 osservazioi estratte da X preseta la seguete distribuzioe approssimata (per il teorema cetrale del limite X ~ N( μ, Si cosideri ua geerica popolazioe X co media µ e variaza Siao T (X +X +X 3 +X 4 /4 e T (3X +4X +X 3 +X 4 /0 due stimatori di µ per campioi di ampiezza 4 Si effettuio le segueti operazioi: Si verifichi che lo stimatore T è o distorto Si determii la variaza dei due stimatori e si stabilisca quale dei due stimatori è più efficiete Hit: X X X 3 X 4 are radom variables IID (idepedet ad idetically distributed with the same distributio of X Soluzioe Verifica che T è o distorto E(T (/0E(3X +4X +X 3 +X 4 (/0 [3 E(X +4E(X +E(X 3 +E(X 4 ] (/0 [ 3µ +4µ + µ + µ]µ Calcolo della variaza dei due stimatori VAR(T /40,5 VAR(T (/00 [ ] (30/00 0,3 Dato che VAR(T <VAR(T T è più efficiete e quidi preferibile Si defiisce errore quadratico medio (MSEmea square error di uo stimatore T di u parametro θ la quatità E(T θ E(T- θ. Dimostrare che se lo stimatore T è corretto il suo MSE coicide co la sua variaza Dimostrare che se lo stimatore T è distorto il suo MSE può essere scritto come: MSE(TVAR(T + Bias

3 Soluzioe: Dimostrare che se lo stimatore T è corretto il suo MSE coicide co la sua variaza Se T è uo stimatore o distorto di θ allora E(T θ quidi MSEE(T- θ. MSEE(T-E(T θ E(T- E(T VAR(T Soluzioe: Dimostrare che se lo stimatore T è distorto il suo MSE può essere scritto come: MSE(TVAR(T + Bias MSE(TE(T - θ E(T- E(T +E(T - θ Svolgedo il quadrato si ottiee: MSE(TE(T E(T + (E(T - θ *(E(T - θ*e(t E(T Il doppio prodotto è zero quidi MSE(T E(T E(T + (E(T - θ VAR(T+Bias La deviazioe stadard della statura degli studeti iscritti ad ua uiversità è 5,8 cm. Quati studeti si devoo estrarre a sorte dalla popolazioe se si vuole co probabilità del 90% che l errore di stima della media o superi i cm. Soluzioe: iformazioi ote X~(µ 5,8 Se l itervallo di cofideza è al 90% si ottiee,65 μ X +,65 0,90 X μ,65 0,90 Se vogliamo che l errore di stima della media o superi i cm X μ,65 (,65*5,8 3 4 I dati che seguoo si riferiscoo alla durata (i migliaia di Km di ua cighia da automobile i u campioe di 5 osservazioi 5,4 85, 89, 8,3 88,4 09,3 04,3 69,3 05,5 06,8 03, 0,6 0,9 89,6 09,3 Facedo le opportue ipotesi, si costruisca u itervallo di cofideza per la media al 99% Soluzioe 5 X 99,87 mila Km; s cor70,4 Ip. Distribuzioe ormale ell uiverso t( α μ X + t( α 3,05 3,05 99,87,977 μ 99,87 +,977 0, { 89,84 μ 09,9} 0, 99 α 3

4 Di seguito soo riportati i Km percorsi i u gioro da u campioe di taxi operate i ua grade città Sulla base di questo campioe assumedo che la popolazioe geeratrice sia ormale è stato determiato il seguete itervallo di cofideza (6,55 44,7. Si calcoli il livello di cofideza su cui è stato calcolato Soluzioe Media campioaria30, S cor 3, t( α μ X + t( α { 6,55 μ 44,7} α Equazioe da risolvere x + t ( α 44, 7 t( α (44,7 x / s,74 cor Dalla tavola t(α,74 co g5 corrispode ad α di poco superiore a 0, ossia ad u - α di poco iferiore a 0,9 (Utilizzado la fuzioe di Excel distrib.t(,74;5; si ottiee α 0,039 Variate al precedete esercizio Se i dati di base fossero stati i segueti: Quale sarebbe stato t il livello ll di cofideza dell itervallo (6,55 44,7? Media campioaria30,65 S cor 3,45 t(α,75 α 0,0 - α 0,9 U azieda produce rotoli di stoffa della lughezza di 70m. Tali rotoli possoo presetare difetti di diversa atura. L azieda è iteressata a stimare il umero medio di difetti preseti ei rotoli prodotti. I u campioe casuale di 85 rotoli si è trovata la seguete distribuzioe. difetti Frequeza Si determii l itervallo di cofideza al 99% per la media dei difetti preseti ei rotoli di stoffa Stima di µ i distribuzioi di frequeze Stima corretta di i preseza di distribuzioi di frequeze s cor r ( x x i i i i r i 4

5 Soluzioe Media campioaria,7059 S, S cor,3347 s X,58 cor μ X +,58 0,99 {,33 μ,08} 0, 99 5