4. MODELLI DI SCELTA DEL PERCORSO

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1 4. MODELLI DI SCELTA DEL PERCORSO Il modello di scelta del percorso fornisce l aliquota p[/oshdm] degli spostamenti effettuati da utenti di categoria i, che utilizzano ciascun percorso relativo al modo m per recarsi da o a d per lo scopo s nella fascia oraria h. I modelli di scelta del percorso utilizzati nella prassi sono tutti di tipo comportamentale in quanto i meccanismi di scelta sono sufficientemente elementari e le variabili (attributi) in gioco sono prevalentemente riferite al livello di servizio offerto dalle diverse reti modali. Gli utenti che si spostano su una rete di trasporto effettuano le loro scelte di percorso confrontando i costi sui percorsi alternativi, pertanto il flusso F sul generico percorso che collega la relazione origine-destinazione od, sarà dato da: F = p[] d od dove p[]è la probabilità di scelta del percorso e d od è la domanda (ovvero il numero di utenti o di veicoli) che si sposta sulla relazione od. In termini matriciali la relazione precedente si può scrivere come: F = P d essendo: P la matrice delle probabilità di scelta dei percorsi, con una colonna per ciascuna coppia od e una riga per ciascun percorso, l elemento generico è dato da p[] se il percorso collega la coppia od, altrimenti è nullo (la matrice P risulta diagonale a blocchi). d il vettore di domanda ottenuto ordinando in un vettore colonna gli elementi della matrice OD La probabilità di scelta di un generico percorso dipende in generale dai costi dei percorsi che collegano la relazione OD considerata; pertanto risulta: P = P (C) Inoltre, la probabilità di scelta di percorso dipende anche dalle ipotesi sul comportamento dell utente. In prima approssimazione, è possibile ipotizzare che tutti gli utenti scelgano il 35

2 percorso che ha costo minimo (modelli di scelta del percorso deterministici) e quindi, per una data OD, la p[] relativa al percorso di costo minimo risulterà pari ad 1 mentre quelle relative agli altri percorsi risulteranno pari a. Di contro, nei modelli in cui il costo del percorso è considerato una variabile aleatoria, dipendente da diversi fattori (gli attributi) in funzione dei quali si calcola probabilità di scelta per ogni percorso che collega una data coppia originedestinazione, il modello di utilità aleatoria più noto in letteratura è il modello Logit che fornisce la probabilità di scelta del percorso attraverso la formula: p [ ] = K = 1 exp exp ( C ) ( C ) in cui la sommatoria al denominare è estesa a tutti i K percorsi che collegano la relazione OD considerata. È bene notare che la formula del modello Logit deriva da precise ipotesi sul comportamento dell utente che vengono trattate nell ambito della teoria dell utilità aleatoria. ' 4.1 Esercizio 1 Data la rete riportata in Figura 12 i cui tempi e costi di percorrenza di ciascun arco sono riportati in Tabella 9, s calcoli la probabilità di scelta del percorso per ciascuna coppia OD, considerando i costi di percorso costanti ed utilizzando un modello di scelta di tipo logit multinomiale, di paramentro α = 1, la cui disutilità sistematica di percorso Ĉ =,9T +,15CM dove T è il tempo di percorrenza sul generico percorso, espresso in ore; CM è il costo monetario sul generico percorso, espresso in euro. Ĉ è pari a Figura 12 Rete di trasporto (esercizio par. 4.1) 36

3 Tabella 9 Caratteristiche rete di trasporto (esercizio par. 4.1) Arco Costo Tempo Costo Tempo Arco [ ] [min] [ ] [min] Svolgimento Dapprima si determinano tutti i percorsi ammissibili che collegano le due coppie OD: coppia(1, 2) i percorsi sono: o =1, o =2; coppia(2, 1) i percorsi sono: o =3; o =4; Utilizzando il modello logit, la cui forma funzionale è la seguente si ottengono i risultati riportati in Tabella 1: [ ] p/od = K = 1 exp exp ( C ) ( C ) ' Percorso T [ore] Tabella 1 Caratteristiche di percorso CM C exp(-c ) P [ ] 1,83 4 1,347,26,61 2 1, 6 1,8,165,39 3,98 1 2,382,92,33 4,87 6 1,683,186,67 37

4 4.2 Esercizio 2 Data la rete di trasporto di cui al par. 3.1 e riportata in Figura 13. Sapendo che la domanda di trasporto tra l origine 1 e la destinazione 6 è pari a 1.2 [spostamenti/ora], si determini il vettore F dei flussi di percorso. Per la scelta del percorso si utilizzi un modello di tipo logit il cui costo sistematico ( Ĉ ) è pari a: Ĉ =,3 C dove C è il costo di percorso determinato al par C 1 12 C = C 2 = 14 C 3 15 C Figura 13 Rete di trasporto (esercizio par. 3.1) Svolgimento Utilizzando il modello logit multinomiale con costo sistematico si ottiene: Percorso 1 [ ] exp( Cˆ 1) ( ˆ 1) + ( ˆ 2) + ( ˆ 3) + ( ˆ 4) p= 1= = exp C exp C exp C exp C,27 = =,46,27 +,15 +,11+,6 38

5 Percorso 2 Percorso 3 Percorso 4 p [ = 2] =,25 p [ = 3] =,19 p [ = 4] =,1 Ricordando la relazione esistente tra vettori dei flussi di percorso (F), matrice delle probabilità (P)e vettore di domanda (d) F = P d si ottiene il seguente vettore F: F1, F 2, F = = = F 3, F4, Esercizio 3 Data la rete di trasporto di cui al par. 3.2 (Figura 14) le cui caratteristiche degli archi sono riportati nella Tabella 11 e sapendo che la domanda di trasporto tra l origine 1 e la destinazione 6 è pari a 15 [spostamenti/ora] e tra l origine 1 e la destinazione 9 è pari a 25 [spostamenti/ora], si determini il vettore F dei flussi di percorso. Per la scelta del percorso su utilizzi un modello di tipo logit il cui costo sistematico ( Ĉ ) è pari a: con Ĉ =,8 T +,3 CM T tempo di percorrenza espresso in ore sul percorso determinato al par. 3.2 (Figura 14); CM è il costo monetario di percorso, espresso in Euro, pari a: CM =,25 L 39

6 dove L è la lunghezza, espressa in m, del percorso T 1 8 T 2 = 125 T = T 3 15 [h] T 4 12 T 5 1 T Figura 14 Rete di trasporto (esercizio par. 3.2) Tabella 11 Lunghezza di archi rete di trasporto Arco Lunghezza Lunghezza Arco [m] [m] 1-2 1, , , , 2-3 6, , , , , , ,9 Svolgimento Il vettore del costo monetario (CM) si può determinare come: L1 1,5 2,625 L 2 14,8 3,7 L 3 T 16,4 4,1 CM =,25 L = =,25 A l =,25 = [ ] L4 16, 4, L 12,7 3,175 5 L 17,6 4,4 6 4

7 Da ciò risulta che il vettore dei costi sistematici si può determinare come:,22 2,625,81,35 3,7 1,14 ˆ,42 4,1 1,26 C=,8 T +,3 CM =, 8 +,3 =,33 4, 1,23,28 3,175,97,4 4,4 1,35 Pertanto la matrice P sarà: coppia 1-6 coppia 1-9 exp( -,81) ( ) ( ) ( ) exp( -1,14) ( ) ( ) ( ) exp( -1,26) ( ) ( ) ( ) exp -,81 +exp -1,14 +exp -1,26 exp -,81 +exp -1,14 +exp -1,26,43,31 exp -,81 +exp -1,14 +exp -1,26,26 P = = exp( -1,23),32 exp( -1,23) +exp( -,97) +exp( -1,35),41 exp( -,97),27 exp( -1,23) +exp( -,97) +exp( -1,35) exp( -1,35) exp( -1,23) +exp( -,97) +exp( -1,35) Infine il vettore dei flussi di percorso F è pari a:, ,31 465, F= P d = = [spostamenti/ora], , ,

8 4.4 Esercizio 4 Data la rete di trasporto di cui al par. 3.3 (in secondi Figura 15) le cui caratteristiche degli archi sono riportati nella Tabella 12 e la cui matrice di domanda è riportata nella Tabella 13, si determini il vettore F dei flussi di percorso. Per la scelta del percorso su utilizzi un modello di tipo logit il cui costo sistematico ( Ĉ ) è pari a: con Ĉ = 5 T +,45 CM T tempo di percorrenza, espresso in ore, sul percorso determinato al par. 3.4 (Figura 15); CM è il costo monetario di percorso, espresso in Euro, pari a: CM =,2 L dove L è la lunghezza, espressa in m, del percorso. T T = in secondi Figura 15 Rete di trasporto (esercizio par. 3.3) Tabella 12 Caratteristiche rete di trasporto (esercizio par. 4.4) Arco Lung. [m] arco Lung. [m] arco Lung. [m]

9 Tabella 13 Matrice di domanda [spostamenti/ora] O/D TOTALE TOTALE Svolgimento Dati i risultati di cui al par. 3.3 si ha che il vettore dei tempi di percorrenza T, dei costi monetari CM e dei costi sistematici Ĉ, tutti di dimensioni (n percorsi x 1) sono quelli riportati in Figura 16. Riprendendo i risultati riportati in Tabella 8 ed utilizzando un modello logit multinomiale di parametro α = 1 si ottiene la matrice P (n percorsi x n od ) riportata in Figura 17. Pertanto utilizzando la relazione esistente tra matrice delle probabilità, P,e vettore di domanda, d, F = P d Si ottiene il vettore dei flussi di percorso riportato in Figura

10 T 15 T T = = T [ ],3,5,6,4,7,8,6,4,7,8,9,3,5,5,6,5,8,6,9,3,3, sec = [ ] CM CM , ,4,7,3,9,6,5...,8 CM h = CM 1,45 2,45 2,97 1,64 3,15 3,67 2,34 1,72 3,25 3,77 4,47 1,6 2,12 2,3,2 2,82 2,25 3,47 2,9 4,12 1,3 1,55 2,77 2,2 3,42 1,27 4,42 3,2 2,39 3,72 = [ ] -,28 -,45 -,58 -,34 -,61 -,74 -,5 -,34 -,62 -,74 -,87 -,29 -,42 -,45 ˆ 5, 45 -,58 -,44 -,69 -,56 -,82 -,27 -,29 -,54 -,4 = = C T+ CM 1 -,66 -,28 -,84 -,59 -,47 -,71 Figura 16 Vettori costi e disutilità di percorso

11 d d d... d ,,33,29,37,33,29,37,33,25,22,19,53,47,53 P =,47,56,44,56,44 1,,56,44,56,44,27,15,19,22,17 Figura 17 Matrice delle probabilità P 45

12 F = Pd = Figura 18 Vettore dei flussi di percorso 46

13 5. MODELLI DI ASSEGNAZIONE I modelli di assegnazione a una rete di trasporto simulano l interazione domanda-offerta e consentono di calcolare i flussi di utenti e le prestazioni per ciascun elemento del sistema di offerta (archi della rete di trasporto) come risultato dei flussi di domanda Origine- Destinazione, dei comportamenti di scelta del percorso e delle reciproche interazioni fra domanda e offerta. Differenti modelli di assegnazione possono essere classificati in relazione alle ipotesi: sulle funzioni di costo-flusso sugli archi che esprimono la dipendenza delle prestazioni (costo generalizzato) del sistema di trasporto dal flusso di utenti che impegna i diversi elementi; sui comportamenti di scelta del percorso. In particolare, se si assume che i costi non dipendono dai flussi sugli archi, si ottengono i modelli di assegnazione a costi costanti (reti non congestionate), o di carico della rete (NL o Networ Loading). Se, invece, i costi dipendono dai flussi sugli archi si hanno i modelli di assegnazione a reti congestionate (Equilibrium). Relativamente al comportamento di scelta del percorso, si utilizzano di solito modelli basati sulla teoria della utilità aleatoria; in particolare, nel modello di scelta deterministico (D) l utilità percepita è considerata deterministica (non aleatoria), e tutti gli utenti scelgono un itinerario di massima utilità, ossia di minimo costo, mentre nei modelli di scelta probabilistici o stocastici (S) l utilità percepita è considerata una variabile aleatoria e gli utenti possono scegliere anche itinerari non di massima utilità, ossia non di minimo costo. I modelli di assegnazione definiti combinando il tipo di modello di scelta con le ipotesi sulle funzioni di costo sono riportati nella Figura 19. RETE NON CONGESTIONATA MODELLO DI SCELTA DEL PERCORSO DETERMINISTICO DNL (AoN) STOCASTICO SNL RETE EQUILIBRIO DUE SUE Figura 19 Modelli di assegnazione 47

14 5.1 Esercizio 1 Facendo riferimento all esercizio di cui al par. 4.1 (Figura 2), utilizzando un modello di assegnazione DNL si determinino i flussi su ciascun arco della rete in esame, assumendo che la domanda nell ora di punta mattutina è pari a 1.5 e 2 [veicoli/ora], rispettivamente per la coppia OD (1, 2) e (2, 1). Figura 2 Rete di trasporto Percorso Sequenza percorso C , , , ,683 Svolgimento Con riferimento ai risultati ottenuti nel par. 4.1 e riportati in Figura 2, si evince che il minimo percorso in termini di costo generalizzato di trasporto per la coppia O/D (1, 2) è il percorso 1, mentre per la coppia O/D (2, 1) è il percorso 4. Pertanto la relativa matrice delle probabilità P è quella riportata in Tabella 14. Tabella 14 Matrice P d (1, 2) d (2, 1) Dall esplicitazione del modello di assegnazione AoN si ottine che il vettore dei flussi di arco f AoN è quello riportato in Figura

15 f AoN = 15 [veicoli/ora] 2 2 Figura 21 Vettore dei flussi di arco 5.2 Esercizio 2 Con riferimento ai risultati ottenuti al par. 4.2 (Figura 22), si stimi il vettore dei flussi di arco, utilizzando un modello di assegnazione SNL ed assumendo un coefficiente di occupazione pari ad archi percorsi F Figura 22 Rete, matrice di incidenza e vettore dei flussi di percorso. F F 2 3 F = = F 12 4 Svolgimento Facendo riferimento al vettore dei flussi di percorso ottenuti al par. 4.2, applicando un modello di assegnazione a reti non congestionate con modello di scelta del percorso stocastico (modello SNL) si ottengono i risultati riportati in Figura

16 f = AF = AP( c= cos t) d = 1 1 = Figura 23 Vettore dei flussi f SNL 5.3 Esercizio 3 Con riferimento ai risultati ottenuti al par. 4.3 (Figura 14), si stimi il vettore dei flussi di arco utilizzando un modello di assegnazione AoN ed SNL. Si assumi un coefficiente di occupazione pari a 1, ,81 1,14 ˆ 1, C= d = spostamenti ora 1,23 2.5,97 1, Figura 24 Rete e domanda di trasporto Svolgimento 5

17 Dai risultati dell esercizio di cui al par. 4.3, si ha che il vettore dei flussi di percorso espresso in [veh/ora] è: F SNL = 43, 31, 26, [veic/ora] 533,3 683,3 45, Pertanto utilizzando prima un modello di assegnazione AoN e successivamente un modello SNL, si ottengono i risultati riportati in Figura 25. f AoN f SNL , = 1 1 = , , , , = 1 1 = , , , Figura 25 Vettori flussi di arco (f AoN, f SNL ) 51

18 5.4 Esercizio 4 Con riferimento all esercizio di cui al par. 4.4 (Figura 26), si stimi il vettore dei flussi di arco utilizzando un modello SNL ed assumendo un coefficiente di occupazione pari ad 1. F = T Figura 26 Rete di trasporto e vettore dei flussi di percorso Svolgimento Dai risultati ottenuti al par. 4.4 si ottiene il vettore dei flussi di arco f SNL riportato in Figura

19 fsnl = AP( c= cost ) d = Figura 27 Vettore dei flussi di arco f SNL 53