FENOMENI ONDULATORI G. ROBERTI

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1 FENOMENI ONDULATORI G. ROBERTI

2 ONDE MECCANICHE Una perturbazione viene trasmessa l acqua non si sposta

3 onde meccaniche: trasferiscono energia propagando una perturbazione in un mezzo. Le particelle del mezzo comunicano la perturbazione interagendo tra di loro. impulso Necessaria una forza di richiamo gravitazionale o elastica.

4 Onde trasversali: ogni punto sulla corda si muove perpendicolarmente alla corda

5 Onde longitudinali: le particelle del mezzo oscillano attorno alla loro posizione di equilibrio parallelamente al moto dell onda

6 onde longitudinali acustiche

7 Rappresentazione delle onde G. Roberti T Onde sinusoidali in una direzione: onde che si propagano su una corda y Direzione di propagazione t = 0 A λ y t = t 1 y t = t 2 x = 0 x

8 Rappresentazione delle onde: equazione d onda In un onda sinusoidale che si propaga la perturbazione (spostamento ver_ ticale dalla posizione d equilibrio) dipende dal tempo t e dalla posizione x. La dipendenza dello spostamento verticale y dalla posizione d equilibrio al variare della posizione x lungo la corda è data dalla funzione sinusoidale y(x) = A sin ( 2π x / λ) dove λ rappresenta la distanza tra due picchi ad un fissato tempo t ed A il massimo spostamento verticale dalla posizione d equilibrio (ampiezza). La dipendenza dal tempo t può essere rappresentata dalla funzione sinusoidale y(t) = A sin ( 2π t / T) dove T ( periodo) rappresenta la distanza tra due picchi successivi ad una fissata posizione x. La dipendenza da x e t può essere complessivamente espressa dalle funzioni y(x, t) = A sin [2π (x / λ ± t /T )] + - Onda regressiva (si propaga nella direzione negativa) dell asse x Onda progressiva (si propaga nella direzione positiva) dell asse x

9 Rappresentazione delle onde: velocità di propagazione y(x, t) = A sin [2π (x / λ ± t /T )] Si vede che, per un onda sinusoidale, quando i picchi si spostano di un tratto λ, quindi l onda si propaga di un tratto λ, ciascun punto compie un oscillazione temporale di durata T. Per cui la velocità v di propagazione dell onda sarà v = λ / T ν = frequenza = 1 / T = numero di oscillazioni temporali in 1 secondo Definendo n = numero d onda = 1 / λ = numero di oscillazioni spaziali in 1 metro ω = pulsazione temporale = 2 π/t = 2 π ν k = 2 π /λ = pulsazione spaziale La velocità di propagazione potrà scriversi v = λ / T = λ ν= 2π / kt = 2π ν/ k = ω /k

10 Rappresentazione delle onde: equazione d onda L equazione d onda in una dimensione potrà scriversi anche y(x, t) = A sin [(kx ± ω t)] y(x, t) = A sin [k (x ±ωt/k )] = A sin [2π/λ (x ±vt)] Nello spazio a tre dimensioni l equazione precedente rappresenta un onda piana che si propaga nella direzione dell asse x e in cui la perturbazione ha lo stesso valore su tutti i piani perpendicolare all asse x ( piani yz). Nello spazio a tre dimensioni un onda che si propaga in tutte e tre le direzioni dello spazio si scrive y(x,y,z,t) = A( x,y,z) sin [(k x x + k y y + k z z ± ω t)] in cui il vettore k (k x, k y, k z ) ha la direzione ed il verso della velocità di propagazione dell onda.

11 Rappresentazione delle onde: fase Se nell equazione delle onde si pone x = 0; t = 0 y(x, t) = A sin [2π ( 0 / λ ± 0 /T )] = A sin (0) = 0 Questo vuol dire che nell origine e all istante t = 0, l onda ha un nodo. In generale questo non avviene e l ampiezza dell onda per x = 0 e t = 0 non è nulla: in questo caso l equazione dell onda si scrive Y(x, t) = A sin [2π (x / λ ± t /T ) + φ] φ = fase iniziale dell onda y Y(x, t) = A sin [2π (x/λ+t /T)+φ] assumerà il valore 0 in x=0 al tempo t A tale che y 1 -A t 2 πt/t + φ = 0 t = -φ/ω φ > 0 Y è in anticipo di fase di φ rispetto a y φ < 0 Y è in ritardo di fase di φ rispetto a y φ/ω = T/4 y 2 φ/ω = T/4 t t Se φ = π/2 Y(x,t) = y 1 (x,t) t = -φ/ω = -π/2ω = - T/4 Se φ = - π/2 Y(x,t) = y 2 (x,t) t = -φ/ω = π/2ω = T/4

12 Velocità di un onda su una corda La velocità dipende solo dalle proprietà del mezzo, ma non dalla lunghezza d onda o dalla frequenza (mezzo non dispersivo). In una corda di massa µ per unità di lunghezza con tensione T la velocità di propagazione dell onda è

13 Principio di sovrapposizione Se in un certo istante due o più onde si incontrano contemporaneamente nello stesso punto, la perturbazione (nel caso delle onde trasversali meccaniche è lo spostamento verticale dalla posizione d equilibrio) nel punto in cui si incontrano è la somma delle perturbazioni che il punto subirebbe se ciascuna delle onde fosse presente da sola.

14 Sovrapposizione di due onde sinusoidali uguali ma con una differenza di fase interferenza costruttiva interferenza distruttiva interferenza normale

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17 Teorema di Fourier Una qualsiasi onda periodica di periodo T è la somma di un numero finito (o infinito) di onde sinusoidali di frequenza ν n = n/t (multiple della frequenza fondamentale ν 0 = 1/T) e di opportuna ampiezza A n, e fase φ n. ONDA PERIODICA 0 s 0.01 s 0.02 s

18 ONDE SINUSOIDALI (COMPONENTI DI FOURIER) CHE SOMMATE INSIEME DANNO L ONDA PERIODICA PRECEDENTE 0 s 0.01 s 0.02 s

19 AMPIEZZA E FASE DELLE COMPONENTI DI FOURIER DELL ONDA PERIODICA PRECEDENTE A(t) = a 0 + A n cos (ω n t + φ n ) ω n = n ω 0 =n 2 π /T

20 Somma dei primi due multipli dispari della frequenza fondamentale sintesi di un onda quadra come serie di Fourier Somma dei primi tre multipli dispari della frequenza fondamentale Somma dei primi cinque multipli dispari della frequenza fondamentale

21 Operazioni con la serie di Fourier Sintesi di Fourier: combinare onde sinusoidali per formare onde complesse Analisi di Fourier: individuare le componenti sinusoidali di una forma d onda complessa Spettro di Fourier: l insieme delle ampiezze delle onde sinusoidali (componenti di Fourier) che formano un onda complessa

22 Effetti delle superfici limiti sulla propagazione delle onde

23 Effetti delle superfici limiti sulla propagazione delle onde nella corda più spessa l onda viaggia più lentamente

24 Effetti delle superfici limiti sulla propagazione delle onde Se l estremità della corda è fissa, nella riflessione l impulso cambia segno.

25 Effetti delle superfici limiti sulla propagazione delle onde Se l estremità della corda è libera l impulso incidente viene riflesso senza essere invertito.

26 Le onde trasmettono energia

27 Energia e potenza trasportata da un onda y F v Δm x Calcoliamo l energia totale che possiede in un certo istante un tratto di corda di massa Δm in una posizione x che si muove ad una velocità v e che si trova spostato dalla posizione di equilibrio di un tratto y. y(x, t) = A sin [(kx - ω t)] Il modulo della velocità v della massa Δm è v(x, t) = - Aω cos [(kx - ω t)] Il modulo dell accelerazione della massa Δm è a(x, t) = - Aω 2 sin [(kx - ω t)] (1) (2) (3)

28 Energia e potenza trasportata da un onda Dalle eq. (1) e (3) si ha Poiché a(x, t) = - ω 2 y( x,t) F = Δm a(x,t) F = - Δm ω 2 y(x,t) La forza che si esercita su Δm è quindi una forza elastica con costante elastica k = Δm ω 2. L energia potenziale elastica E el della massa Δm è E el = k y(x,t) 2 /2 = Δm ω 2 y(x,t) 2 /2 = Δm ω 2 A 2 sin 2 [(kx - ω t)] /2 La sua energia cinetica E cin è, per la (2) E cin = Δm v(x,t) 2 /2 = Δm A 2 ω 2 cos 2 [(kx - ω t)] /2 L energia totale E tot = E el + E cin della massa oscillante Δm è E tot = E el + E cin = Δm ω 2 A 2 /2 (4) L energia totale non dipende né da x né da t. Ciò significa che tutti i Δm della corda in tutti gli istanti hanno la stessa energia totale (trascurando gli effetti dissipativi). Per esempio nei ventri dell onda l energia è tutta potenziale, mentre nei nodi è tutta cinetica.

29 Energia e potenza trasportata da un onda Dividendo e moltiplicando il secondo membro della formula precedente per la lunghezza Δx dell elemento di corda E tot = (Δm/Δx) Δx ω 2 A 2 /2 Per calcolare l energia che passa attraverso una superficie perpendicolare alla direzione di propagazione dell onda in un periodo scriviamo la (4) nella forma ΔE tot = (Δm/Δx) λ ω 2 A 2 /2 = μ λω 2 A 2 /2 in cui Δm/Δx = μ rappresenta la densità lineare di massa della corda supposta omogenea. Per ottenere la potenza media W, che, in un periodo, passa attraverso una superficie perpendicolare alla direzione di propagazione dell onda basta dividere per il periodo cioè W = ΔE tot / T = μ v ω 2 A 2 /2 A 2 In cui λ/t = v = velocità di propagazione dell onda e μ dipendono dalle caratteristiche del mezzo in cui si propaga l onda e ω e A dal tipo di sollecitazione che produce l onda.

30 Potenza trasferita di un onda (corda) è proporzionale al quadrato dell ampiezza e al quadrato della pulsazione (cioè della frequenza)

31 ONDE SONORE Le onde sonore sono onde meccaniche longitudinali che si propagano nei gas, nei liquidi e nei solidi con velocità diverse. Esse possono essere rivelate dall orecchio umano, e quindi riconosciute come suoni, se la loro frequenza ν suono è tale che 20 Hz < ν suono < Hz Nelle onde sonore gli elementi di volume del mezzo vengono spostati avanti ed indietro rispetto alla loro posizione di equilibrio, in modo che il loro spostamento medio in un periodo è nullo.

32 FREQUENZA DI ALCUNE ONDE SONORE SINUSOIDALI

33 ONDE SONORE SINUSOIDALI DIAPASON REBBIO DI UN DIAPASON CHE OSCILLA

34 Pistone oscillante Onde sonore sinusoidali p(x,t) p(x,t) = p 0 + Δp m sin (kx ωt + π/2) x s(x,t) s(x,t) = s m sin (kx ωt) x x

35 Onde sonore sinusoidali ampiezza dello spostamento s m spostamento massimo di ogni elemento di volume d aria dalla posizione a riposo durante la vibrazione valore molto piccolo per suoni ordinari (dell ordine di 1 μ) ampiezza della pressione Δp m max incremento della pressione dell aria (rispetto alla pressione atmosferica) nella compressione ( o nella depressione) valore molto piccolo: da 0,01 N/m 2 (10-7 atm) a 1 N/m 2 (10-5 atm). In quest ultimo caso nelle zone in cui c è compressione p = 1,00001 atm e dove c è rarefazione p = 0,99999 atm Δp m, detta pressione sonora, è legata a s m dalla relazione Δp m = ρ v ω s m

36 VELOCITA DELLE ONDE SONORE (LONGITUDINALI) NEI GAS (valori teorici) v s = Velocità di propagazione delle onde sonore nei fluidi = B/d d = densità del fluido B = modulo di compressibilità del fluido definito dalla relazione ΔV/V 0 = - Δp / B Gas : compressione isoterma pv = p 0 V 0 = cost pv V 0 p = p 0 V 0 V 0 p p(v V 0 ) = V 0 (p 0 p) p ΔV = - V 0 Δp B = p v s = p/d p 0 /d Nell aria a t = 0 C p 0 = N/m 2 ; d = 1.29 Kg/m 3 v s = p 0 /d = 279 m/s diverso dal valore sperimentale!!!!!

37 VELOCITA DELLE ONDE SONORE NEI GAS (valori teorici) Gas : compressione adiabatica p V γ = cost. Δp V γ = - γ pv γ -1 ΔV ΔV /V = - Δp /(γ p ) B = γ p γ p 0 γ = c p /c V c p e c V sono i calori specifici del gas a pressione e a volume costante. γ p d γ p0 V d V γ n N n N k T m k T m γ 0 v s = = = = k = costante di Boltzmann = J/ K T 0 = temperatura assoluta imperturbata del gas = t c + 273,16 Nell aria a t = 0 C p 0 = N/m 2 ; d = 1.29 Kg/m 3 ; γ = v s = γ p 0 /d = 1,18 x 279 m/s = 330 m/s Uguale al valore sperimentale!!!!!

38 VELOCITA DELLE ONDE SONORE NEI GAS (valori sperimentali) Valore teorico v s ( He) / v s ( O 2 ) = = [m (O 2 ) / m(he)] 1/2 = m (u.m.a.) = (32/4) 1/2 = 2.83 Valore sperimentale v s ( He) / v s ( O 2 ) = = (972/317) = 3.06 Δ% = ( )/ 3.06 = 7.5%

39 Influenza della temperatura dell aria sulla velocità del suono t ( C) v s (m/s) d ( kg/m 3 ) p 0 /d (N s/m³) , , , , , , , , , , , , , , , , , ,6 v s = t ( C)

40 VELOCITA DELLE ONDE SONORE (longitudinali) NEI LIQUIDI (valori teorici) Nei gas più comuni, (vedi tabella precedente) a 273,16 K = 0 C, il rapporto B/d = v s 2 ( ) 2 m 2 /s m 2 /s 2 < B/d < (10 3 ) 2 m 2 /s 2 = 10 6 m 2 /s 2 Poiché d 1 kg/m (kg/m 3 ) (m 2 /s 2 ) < B < 10 6 (kg/m 3 ) (m 2 /s 2 ) Nel caso dei liquidi più comuni ( per. es. per l acqua B = N/m 2 ) 10 9 N/m 2 < B < N/m 2 d 10 3 Kg/m (N/m 2 ) (Kg/m 3 ) < B/d < 10 7 (N/m 2 ) (Kg/m 3 ) Nonostante che la densità dei liquidi sia circa 10 3 volte più grande di quella dei gas, poiché il modulo di compressibilità dei liquidi è circa 10 4 volte maggiore di quello dei gas, la velocità delle onde sonore longitudinali nei liquidi sarà circa 3 volte maggiore che nei gas (v s = B/d).

41 VELOCITA DELLE ONDE SONORE NEI LIQUIDI (valori sperimentali)

42 VELOCITA DELLE ONDE SONORE NEI SOLIDI (valori teorici) v s = Velocità di propagazione delle onde sonore longitudinali nei solidi = = E/d d = densità del solido E = modulo di allungamento (modulo di Young) del solido v s = Velocità di propagazione delle onde sonore trasversali nei solidi = = G/d d = densità del solido G = modulo di scorrimento del solido Nel caso di corpi solidi estesi bisogna considerare entrambi i tipi di onde (per es. nei terremoti), mentre nel caso di sbarre o di corpi di piccole dimensioni le onde trasversali non possono essere eccitate.

43 Elasticità di allungamento e contrazione Un provino di materiale deformabile sottoposto ad una trazione o compressione uniassiale subisce un allungamento o una contrazione nella stessa direzione e verso della sollecitazione. ΔL = allungamento o contrazione di un provino di materiale di lunghezza L e di sezione S quando è sottoposto ad una forza F perpendicolare alla sezione S. Per piccole deformazioni ΔL /L = (1/E) (F/S) E = modulo di allungamento (modulo di Young) del solido ( N/m 2 ). 1/E = coefficiente di allungamento Per l acciaio E = Pa: questo significa che applicando lo sforzo normale di 1 atm = 10 5 Pa si ottiene una deformazione relativa di 5 parti su Per i materiali metallici più comuni N/m 2 < E < N/m 2

44 S s ΔX = scorrimento θ = angolo di scorrimento L = distanza tra le facce ΔX / L = tg(θ) θ rad ΔX = (1/ G) (L F / S) Elasticità di scorrimento La sollecitazione di scorrimento si ottiene applicando una forza F tangenzialmente su una delle facce S di un provino, mentre si mantiene ferma la faccia opposta S e costante la distanza L tra queste due facce. I vari strati di materiale scorrono gli uni sugli altri di modo che il provino da prisma retto si trasforma in prisma obliquo. Per piccole deformazioni (ΔX << L) ΔX / L = (1/ G) ( F / S) G = modulo di scorrimento θ = τ / G τ = sforzo tangenziale = F/ S G = τ / θ ( N/m 2 = Pa) A parità di materiale G >> E Le onde sonore trasversali si propagano più velocemente di quelle longitudinali.

45 VELOCITA DELLE ONDE SONORE LONGITUDINALI NEI SOLIDI (valori sperimentali)

46 Potenza media trasferita da un onda sonora W = ρ S v ω 2 s m2 /2 W = potenza trasportata dall onda sonora sinusoidale mediata su un periodo ρ = densità del mezzo in cui si propaga l onda sonora S = sezione trasversale del volume d aria in cui si propaga l onda sonora v = velocità di propagazione dell onda sonora ω = pulsazione dell onda sonora s m = ampiezza delle oscillazioni sinusoidali longitudinali

47 Intensità di un onda sonora I = intensità di un onda sonora sinusoidale = potenza media che trasporta l onda in direzione parallela alla direzione di propagazione per unità di superficie = W /S I = W / S = ρ v ω 2 s m 2 / 2 Poiché l ampiezza dell onda di spostamento longitudinale s m è legata all ampiezza dell onda di pressione Δp m dalla relazione Δp m = ρ v ω s m I = W / S = Δp m 2 / 2 ρ v L intensità di un onda sinusoidale è proporzionale al quadrato dell ampiezza dell onda di spostamento, s m o di pressione, Δp m

48 Ampiezza dell onda di spostamento e di pressione nelle onde sonore I = ρ v ω 2 s 2 m / 2 Δp m = ρ v ω s m I = Δp m 2 / 2 ρ v Unità di misura di I nel S.I. : Watt /m 2 I 0 = soglia di udibilità a 1000 Hz = W/m 2 I max = soglia del dolore = 1 W/m 2 In aria la massima ampiezza di pressione a 20 C, considerando ρ = 1.2 kg/m 3 v = 343 m/s Δp m = 2 ρ vi = kg/m 3 x343 m/s x 1 W/m 2 =28.7 N/m 2 = atm Per un suono puro di frequenza ν = 1000 Hz s m = Δp m / ρ v ω = 28.7 N/m 2 /(1.2 Kg/m 3 x 2 x 3.14 x 1000 Hz x 343 m/s) = = m = 11 μ

49 SCALA DEI LIVELLI DI INTENSITA SONORA La sensazione sonora non è proporzionale all intensità sonora, ma al logaritmo dell intensità sonora. Per questo si introduce, oltre alla scala di misura fisica della intensità (W/m 2 ), una scala di misura psicofisica: la scala del livello di intensità sonoro (SIL) con la seguente definizione SIL (db) = 10 log (I/I 0 ) in cui I 0 ( punto zero della scala) = W/m 2 L unità di misura del livello sonoro definito dalla formula precedente è il decibel (db). In questa scala un aumento di I di un fattore 10 corrisponde ad un aumento del SIL di 10 db: I = 10 I SIL (db) = 10 log (10 I/I 0 ) = 10 log (10) + 10 log(i/i 0 ) = 10 + SIL (db) Analogamente un aumento di I di un fattore 100 corrisponde ad un aumento di SIL di 20 db.

50 SCALA DEI LIVELLI DI INTENSITA SONORA Il livello sonoro corrispondente SIL 0 alla soglia di udibilità I 0 è SIL 0 (db) = 10 log (I 0 /I 0 ) = 10 log 1 = 0 Il livello sonoro corrispondente SIL max alla soglia del dolore I max è SIL max (db) = 10 log (I max /I 0 ) = 10 log (1 W/m 2 / W/m 2 ) = 10 log (10 12 ) = 120 db Per passare da un valore di livello di intensità sonoro SIL (espresso in db) ad una intensità sonora I (espressa in W/m 2 ) basta ricordare che I = I 0 10 SIL (db) /10

51 FUNZIONE LOGARITMICA

52 SCALA DEI LIVELLI DI PRESSIONE SONORA Poiché abbiamo visto che I = Δp m 2 / 2 ρ v Ponendo ΔP m = p = pressione sonora, possiamo definire un livello di pressione sonora (SPL) con la relazione SPL (db) = 10 log (I/I 0 ) = 10 log ( p 2 /p 02 ) = 20 log (p/p 0 ) dove p 0, la pressione sonora di riferimento, corrispondente alla soglia uditiva a 1000 Hz, vale P 0 = Pa Per trovare la pressione corrispondente alla soglia del dolore (120 db), basta ricordare che, poichè SPL (db) = 20 log (p/p 0 ) p = p 0 10 SPL (db) /20 p = Pa 10 6 = 20 Pa

53 db(spl) Sorgente 194 Limite fisico di pressione sonora (pari a 1 atmosfera) 180 Record Mondiale SPL, Motore di un missile a 30 m 160 Motore Renault F (R24) V10, 3000cc, g/min, 800cv 150 Motore di un jet a 30 m 140 Colpo di fucile a 1 m 130 Soglia del dolore N.B. I valori indicati possono variare 120 Concerto Rock leggermente a seconda delle misure 110 Motosega a 1 metro 100 Martello pneumatico a 2 m; Discoteca 90 Camion pesante a 1 m 80 Aspirapolvere a 1 m 70 Traffico intenso a 5 m; radio ad alto volume 60 Ufficio rumoroso, radio 50 Ambiente domestico; teatro a 10 m 40 Quartiere abitato di notte 30 Sussurri a 5 m 10 Respiro umano a 3 m 0 Soglia dell'udibile (uomo con udito sano)

54 CONFRONTO TRA SIL e SPL Il rapporto tra la soglia del dolore I max e la soglia di udibilità I 0 e per l intensità sonora vale I max /I 0 = 1 W/m 2 /10-12 W/m 2 = Il rapporto tra la pressione sonora corrispondente alla soglia del dolore p max e soglia di udibilità p 0 e per l intensità sonora vale p max /p 0 = 20 N/m 2 / N/m 2 = 10 6 Per un suono di 90 db (possibile in performance musicali) p = p 0 10 SPL (db) /20 = p N/m 2 = 0.63 N/m 2 I = I 0 10 SIL (db) /10 = I W/m 2 = 10-3 W/m 2 Intensità della luce solare = W/m 2 I segnali luminosi sono molto più intensi dei segnali acustici: il nostro sistema uditivo ha una sensibilità maggiore di quello visivo.

55 VARIAZIONE DELL INTENSITA DI UN ONDA AL VARIARE DELLA DISTANZA Onde sferiche: Rappresentazione su di un piano meridiano Sorgente sonora Una sorgente sonora puntiforme (di piccole dimensioni) produce onde sferiche, cioè onde in cui lo spostamento ha lo stesso valore su tutti i punti che si trovano alla stessa distanza dalla sorgente, cioè su sfere concentriche centrate sulla posizione della sorgente.

56 VARIAZIONE DELL INTENSITA DI UN ONDA AL VARIARE DELLA DISTANZA Σ 2 La potenza media sonora W 1 che passa attraverso la superficie sferica Σ 1 di raggio r 1 è Σ 1 r 1 λ W 1 = I 1 4 π r 2 1 La potenza media sonora W 2 che passa attraverso la superficie sferica Σ 2 di raggio r 2 è r 2 W2 = I 2 4 π r 2 2 Se nella propagazione dalla distanza r 1 alla distanza r 2 si può trascurare l assorbimento di energia sonora da parte dell aria (con trasformazione in energia termica) W 1 = W 2 I 1 4 π r 1 2 =I 2 4 π r 2 2 I 1 / I 2 =r 22 / r 1 2

57 Relazione psicofisica tra sensazione sonora, intensità e frequenza Questo suono produce la stes_ sa sensazione del suono della sorgente di riferimento 110 db 100 db 90 db 80 db 70 db 60 db 50 db 40 db 30 db 20 db 10 db sorgente di riferimento 0 db

58 Le curve della figura (udibilità binaurale in un campo frontale di toni puri per persone otologicamente normali di età compresa tra i 18 ed i 30 anni Fletcher-Munson (ISO 226:1987, appendice A)) nella diapositiva precedente si ottengono facendo ascoltare ad un soggetto il suono di una sorgente sinusoidale, per.es. una sorgente sonora di 60 db alla frequenza di 1000 Hz. Successivamente si varia la frequenza della sorgente ( per es. 63 Hz ) e si determina per quale valore dellla sua intensità sonora il soggetto avverte la stessa sensazione sonora prodotta dalla sorgente di riferimento (nel caso in questione 75 db). L operazione va ripetuta per tutte le frequenze del range di udibilità con la sorgente a 60 db; successivamente si ripete l operazione con tutte le intensità comprese tra la soglia di udibilità e la soglia del dolore. Le curve mostrano che il massimo di sensibilità della funzione uditiva si ha per frequenze comprese tra 3000 e 4000 Hz.

59 Effetto Doppler Si verifica quando c è moto relativo tra l osservatore e la sorgente delle onde: la frequenza registrata dall osservatore in moto relativo è differente da quella registrata da un osservatore in quiete rispetto alla sorgente. (a) osservatore in quiete rispetto alla sorgente: frequenza osservata = frequenza delle onde (b) osservatore che si avvicina alla sorgente: frequenza osservata maggiore di quella delle onde (c) osservatore che si allontana dalla sorgente: frequenza osservata minore di quella delle onde

60 Effetto Doppler: La sorgente è ferma rispetto all aria fronti d onda v s = velocità del suono nell aria s s + v 0 = velocità di avvicinamento dell osservatore verso la sorgente -v 0 = velocità di allontanamento dell osservatore dalla sorgente

61 λ Fronte d onda 0 Considerando il tempo t = 0 come quello in cui il fronte d onda 0 si trova nel punto x = 0, all istante t il fronte d onda 1 si sposta di un tratto X 1 (t) = V s t Nello stesso istante t, l osservatore O che all istante t = 0 si trovava ad una distanza λ dal fronte d onda 0 si muove verso la sorgente S di un tratto S Fronte d onda 1 V s V o x O X o t) = λ - V o t Il fronte d onda 1 raggiungerà l osservatore all istante t tale che X 1 (t ) = V s t = X o (t ) = λ - V o t ====> t = λ/(v s + V o ) Poichè λ/t= V s = velocità del suono ===> t = T V s /(V s + V o ) t, per l osservatore in moto, rappresenta l intervallo di tempo tra due fronti d onda successivi, cioè il periodo T, cioè, se l osservatore si avvicina alla sorgente T = T V s /(V s + V o ) da cui f = f (V s + V o )/ V s Analogamente, se l osservatore si allontana dalla sorgente f = f (V s V o )/ V s

62 Effetto Doppler : La sorgente è in movimento rispetto all aria La sorgente si allontana dall osservatore A e si avvicina all osservatore C: A percepisce una frequenza più bassa, B più alta. A C

63 fronte d onda 1 S v v S fronte d onda 2 x f = v T x s = v s T λ t = 0 fronte d onda 1 t = T C v s = velocità del suono nell aria v = velocità della sorgente La sorgente che si muove a velocità v verso l osservatore C emette il primo fronte d onda al tempo t = 0 Al tempo t = T 1) la sorgente si è spostata di un tratto x f = vt ed emette il secondo fronte d onda 2) il primo fronte d onda si è spostato di una distanza x S = v S T La distanza tra i due fronti d onda λ, quale appare all osservatore C a cui si avvicina la sorgente vale λ = (v S v) T = λ (v S v)/ v S f = f v S / (v S v) > f Analogamente per l osservatore A da cui si allontana la sorgente f = f v S / (v S + v) < f C x x

64 Onde stazionarie Sovrapposizione di due onde identiche che viaggiano in direzioni opposte: y 1 = A sin (kx ωt); y 2 = A sin (kx + ωt) y 1 + y 2 = 2A sin kx cos ωt la dipendenza dal tempo è fattorizzata L onda risultante NON si propaga: è stazionaria

65 Andamento matematico di un onda stazionaria y 1 + y 2 = 2A sin kx cos ωt Fissato il valore di k = 2 π / λ i nodi dell onda stazionaria sono in posizione fissa e sono quelli per cui sin 2 π x /λ = 0 x = n λ/2 n=0,1,2,.. Nei punti diversi dai nodi l ampiezza dell onda varia con legge cosinusoidale di periodo T = 2π/ω tra il valore -2A sinkx e +2A sinkx. Per esempio nei punti in cui sinkx = ±1, cioè x = n λ/4 n=1, 2, 3,. l onda stazionaria oscillerà tra i valori - 2A e + 2A.

66 Si hanno nodi (ampiezza nulla) per Si hanno antinodi o ventri per

67 y 1 + y 2 = 2A sin kx cos ωt y 1 + y 2 = = 2A sin kx cos 0 = = 2Asinkx y 1 + y 2 = = 2A sin kx cos (2π/Τ ) (Τ/4) = = 2Asinkx cos (π/2) =0 y 1 + y 2 = = 2A sin kx cos (2π/Τ ) (Τ/2) = = 2Asinkx cos (π)= - 2Asinkx

68 L n=1 n=2 n=3 Onde stazionarie sulle corde In una corda di lunghezza L in cui le estremità sono fisse si posso avere onde stazionarie che rispettino i vincoli, cioè che abbiamo alle estremità della corda dei nodi. L onda di lunghezza d onda maggiore che si può avere è quella per cui L = λ/2 L onda di lunghezza d onda immediatamente minore della precedente è quella per cui L = λ L onda successiva è quella per cui L = 3 λ/2 In generale L = n λ/2, n = 1, 2, 3 e quindi λ = 2 L / n (1) Le onde stazionarie permesse sono solo quelle la cui lunghezza d onda soddisfa la (1).

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70 Serie armonica Una corda di lunghezza L vibra secondo i modi normali con λ = 2L/n La frequenza dei modi normali è pertanto: n = 1 frequenza fondamentale n > 1 armoniche superiori

71 Onde stazionarie nelle colonne d aria Stesso meccanismo:le estremità chiuse sono nodi, quelle aperte antinodi

72 Onde stazionarie nelle colonne d aria Colonna d aria (o tubo) aperta da entrambi i lati Le onde stazionarie permesse sono solo quelle che presentano dei ventri sulle estremità aperte, cioè per cui L = n λ/2 λ = 2 L / n ν = v/λ = n v / 2 L n=1, 2, 3,.

73 Onde stazionarie nelle colonne d aria Colonna d aria (o tubo) aperta a sinistra e chiuso a destra Le onde stazionarie permesse sono solo quelle che presentano un ventre sull estremità destra aperta ed un nodo sull estremità sinistra chiusa, cioè per cui L = (2n+1)λ/4 λ = 4 L / (2n+1) ν = v/λ = (2n+1) v / 4 L n=0,1, 2, 3,.

74 Il fenomeno della risonanza Per eccitare un onda stazionaria bisogna mettere in vibrazione l aria contenuta nella cavità con una sorgente sonora (per esempio un diapason) di frequenza f tale che f f n n = 1, 2, 3,. cioè circa uguale ad una delle armoniche f n della cavità. All intensità sonora del diapason (molto bassa, perché solo una frazione molto piccola dell energia di vibrazione dei rebbi si trasforma in energia sonora) si somma l energia, in generale più grande dell onda stazionaria generata nella cavità. Il rapporto r tra l ampiezza A dell onda stazionaria e dell ampiezza A dell onda eccitante (funzione di risposta in frequenza o funzione di trasferimento o funzione filtro) dipende dal rapporto σ = f/f n e da un parametro adimensionale α che misura l importanza dello smorzamento nell onda stazionaria: r (σ,α) = 1 / ( (1- σ 2 ) 2 + 4α σ 2 ) L onda stazionaria eccitata ha la stessa frequenza dell onda eccitante e differenza di fase rispetto ad essa che dipende da σ e α. In ogni caso l onda stazionaria è in ritardo di fase rispetto all onda eccitante.

75 r Risposta in frequenza del risonatore basso smorzamento alto smorzamento Γ= larghezza della curva di risposta ad un altezza pari al70% del max Γ Γ Γ > Γ f/f n

76 Risposta in frequenza del risonatore Dalle curve di risposta si vede che r (σ,α) = 1 / ( (1- σ 2 ) 2 + 4α σ 2 ) a) Il massimo della curva di risposta capita intorno al valore f/f n = 1 b) Il valore del massimo è f n /Γ in cui Γ rappresenta il valore della larghezza della curva ad un altezza pari al 70% del valore massimo c) Una curva larga amplifica un numero maggior di frequenze ma le amplifica di un piccolo fattore. d) Una curva stretta amplifica un numero minore di frequenze ma le amplifica di un fattore grande. e) Uno strumento musicale a corde la cavità deve essere fatta in modo che le frequenze di risonanza f n e la larghezza della risposta in frequenza della cavità siano tali da amplificare tutte le note prodotte dalle corde. Le f n dipendono dalla forma della cavità, mente Γ dipende dal materiale.

77 L altezza percepita di un suono dipende dalla frequenza. L intensità di un suono dipende dall ampiezza dell onda associata al suono. Il timbro di un suono è legato alla presenze delle armoniche superiori: a parità di frequenza la forma funzionale delle onde è diversa. Teorema di Fourier Una funzione periodica di periodo T può essere espressa come la somma di onde di frequenze f n =n/t multiple della frequenza fondamentale 1/T.

78 Spettri (analisi armonica) Le varie armoniche di frequenza f n contribuiscono in maniera diversa formando il timbro caratteristico. Gli strumenti musicali sono oscillatori forzati, sollecitati da forze periodiche che contengono una varietà di frequenze. La massima risposta (risonanza) si ha in vicinanza delle frequenze armoniche proprie dello strumento.

79 I tasti del pianoforte: scala diatonica ottava centrale Le frequenze di due note successive (toni) sono tra di loro nel rapporto 2 1/6 Le frequenze di un tono e del semitono successivo sono tra di loro nel rapporto 2 1/12 diesis + 1 semitono frequenze delle note della quarta ottava o ottava centrale (include il do centrale) do4 261,60 re4 293,66 = do4 * 2 2/12 mi4 329,63 = do4 * 2 4/12 fa4 349,23 = do4 * 2 5/12 sol4 392,00 = do4 * 2 7/12 la4 440,00 = do4 * 2 9/12 si4 493,88 = do4 * 2 11/12 do5 523,20 = do4 * 2 12/12 bemolle 1 semitono

80 Impedenza acustica Quando un suono passa attraverso un mezzo materiale la pressione delle onde produce un movimento delle particelle della sostanza. L impedenza acustica Z è data da Z = p / S v p = ampiezza dell onda di pressione sonora; v = velocità delle particelle del mezzo S = superficie S attraverso cui passa l onda L impedenza acustica quantifica la risposta che un materiale da al passaggio al suo interno di onde acustiche, dipende dalla frequenza dell onda e si misura in Pa s /m 3 (S.I.)

81 Impedenza acustica L impedenza caratteristica Z 0 di un materiale è l impedenza che mostra quando è attraversato da un onda piana a singola frequenza ed è data da Z 0 = p / v in cui p = pressione sonora; v = velocità delle particelle del materiale Z 0 si misura in Rayleigh (Rayl) = Pa s /m. Poiché si può dimostrare che la velocità delle particelle del fluido varia secondo un onda armonica in fase con quella della pressione sonora e che le due grandezze v e p sono legate da un fattore dal proporzionalità secondo la relazione v = p / d c in cui d = densità del materiale; c = velocità delle onde sonore longitudinali si ha che Z 0 = p / v = d c

82 Riflessione e rifrazione di onde sonore su tessuti I tessuti biologici hanno impedenze caratteristiche non molto diverse tra loro. R = rapporto tra ampiezza dell onda riflessa e quella dell onda incidente = = (Z 2 Z 1 ) / (Z 1 + Z 2 ) T= rapporto tra ampiezza dell onda trasmessa e quella dell onda incidente = 2 Z 1 / (Z 1 + Z 2 ) R calcolato per diverse superfici di separazione tra tessuti biologici