Esperimentazioni di Fisica 1 L accelerazione di gravità

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1 Esperimentazioni di Fisica 1 L accelerazione di gravità Università Roma Tre - Dipartimento di Matematica e Fisica 21 maggio 2016

2 Misurazione dell accelerazione di gravità L accelerazione di gravità Un corpo di massa m che si trovi in prossimità della superficie della Terra (intesa come pianeta di massa M) subisce una forza dovuta all attrazione gravitazionale data da: F = G Mm r 2 o = G M r 2 o m dove G = (31) m 3 kg 1 s 2 è la costante di gravitazione universale, r o = m è il raggio medio terrestre e M = kg e la massa della Terra. La grandezza GM/r 2 o, indicata con g, ha le dimensioni di un accelerazione e vale. g = G M r 2 o = ( ) 2 = 9.81ms 2

3 Accelerazione di gravità terrestre in funzione della distanza dal c.m. in approssimazione di terra sferica PREM (Preliminary Reference Earth Model) è il modello di riferimento della struttura interna della Terra.

4 Variazioni di g nello spazio La Terra non è un sistema di riferimento inerziale. La forza centrifuga si oppone alla forza di gravità. Al polo risulta un valore nominale di g pari a ms 2 all equatore ms 2 con una variazione percentuale del 0.35%! (tra le due locazioni un orologio a pendolo perde o guadagna 2.5 min. al giorno) La forma della terra non è sferica ma schiacciata ai poli, per cui i corpi all equatore vengono allontanati dal centro della terra rispetto a quelli che si trovano ai poli. Il modello per il calcolo di g che tiene conto di questi effetti è: dove g = ( 1 + A sin 2 φ B sin 2 2φ ) h A = B = φ è la latitudine e h è la quota s.l.m. in metri.

5 Dati dell osservatorio GRACE (NASA-Germania) sull anomalia del campo di gravità terrestre. 1 gal 1 =1cm s 2 ; g = 981gal. 1 Il gal è l unità di misura dell accelerazione nel sistema cgs

6 Variazioni di g nel tempo Alle variazioni di g nello spazio, che possono essere superate definendo g localmente, si aggiungono quelle nel tempo che sono dovute al moto dei corpi celesti. In particolare della Luna e del Sole.

7 Effetto della Luna D+R Terra Pendolo D R Luna D D Luna Accelerazioni: 1) del pendolo verso la terra g o = GM T /R 2, 2) del pendolo verso la luna nei due casi GM M /(D R) 2 e GM M /(D + R) 2, 3) della terra verso la luna GM M /D 2. L accelerazione differenziale (marea) sul pendolo è: GM M /(D R) 2 GM M /D 2 = GM M (2DR R 2 )/D 2 (D R) 2 poiché R D (R = km e D = km, l accelerazione differenziale dovuta alla luna si semplifica in G M M 2R D ms 2 che rapportata a g o è g o

8 Sistematiche nella misurazione di g Fino ad ora effetti che influenzano il valore vero di g. Esaminiamo ora le eventuali sistematiche dovute al procedimento di misurazione con il pendolo reversibile. 1. ampiezza delle oscillazioni ampia in modo da rendere evidente, con la risoluzione temporale a disposizione, la non isocronia delle oscillazioni. 2. effetto della pressione atmosferica (spinta di archimede) 3. effetto della variazione di temperatura durante la misurazione 4. affetto dovuto all asse di oscillazione non è orizzontale 5. l oscillazione avviene non attorno a un punto ma è un rotolamento di una superficie cilindrica 6....

9 Effetto dovuto alla spinta di Archimede Tenendo conto che la densità dell aria al livello del mare è ρ A = 1.225kg m 3 il volume del pendolo è V = m 3 La spinta di Archimede applicata al centro di massa del pendolo è: F a = ρ A V g = N Supponendo che il pendolo sia di acciaio (ρ F e = 7800kg 3 ), la correzione per la spinta di Archimede alla accelerazione misurata per ottenere g è: ρ A ρ p =

10 Effetto sistematico dovuto alla forma del coltello Schematizzazione della sospensione a coltello del pendolo R l q m R: raggio del cilindro di appoggio, l e m: lunghezza e massa del pendolo. Origine degli assi nel centro del cilindro, θ angolo tra g e la direzione di l. Relazione tra x e θ: x = Rθ. Coordinate di m: (x = l sin θ Rθ, y = l cos θ) Componenti della velocità: ẋ = l θ cos θ R θ, ẏ = l θ sin θ. Energia cinetica: K = 1/2m(ẋ 2 + ẏ 2 ) = 1/2m(l 2 + R 2 2Rl cos θ) θ 2 1/2m(l R) 2 θ 2 l ultima relazione vale per angoli piccoli. Applicando la conservazione dell energia meccanica si trova il periodo di oscillazione: (l R) T = 2π 2 = 2π lg l g ( 1 R ) = T o( ), (con R 10µm) l Il raggio di curvatura del coltello di sospensione provoca una diminuzione di R/L del periodo.