I equazione cardinale della dinamica

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1 I equzione cdinle dell dinic I Sistei di pticelle Un siste di pticelle è un insiee di punti teili, definito dll ss e dll posizione di ciscun pticell. Il più seplice siste di pticelle è foto d due soli punti teili. Un too di elio è inece un insiee di te pticelle (il nucleo e due elettoni); un copo esteso è un insiee di nueose pticelle, le cellette che lo copongono. Si può estendee tutti i sistei di pticelle l nozione di cento di ss. Pe un siste di due pticelle, il ettoe c è dto d: c + x y z c c c x + x y + y z + z Velocità e ccelezione del cento di ss sono llo dti d: c + c x c y c z x y z x y z c + c x c y c z x y z x y z In tutte queste equzioni, è posto + Pticelle integenti Si considei un siste costituito di punti teili di ss e. In bse l III Pincipio dell Dinic, se le pticelle integiscono sono possibili solo le due situzioni in figu. Le foze di intezione si dicono foze intene. oze ttttie oze epulsie Siccoe e sono ettoi opposti, l loo so ettoile è sepe null: + 0 Quest popietà si estende nche i sistei coposti d olti punti teili, peché le intezioni igudno le pticelle due due e, pe ciscun coppi, le foze snno uguli e opposte. In qulunque siste di punti teili l so ettoile delle foze intene è sepe pi zeo.

2 I equzione cdinle dell dinic Ciscun pticell può isentie nche di foze estene, cioè doute d lti copi, che non fnno pte del siste. Lo sche in figu ppesent due pticelle soggette conteponeente foze intene e foze estene. Pe ciscun punto teile le l II legge dell dinic. Si hnno così due equzioni: + + ext ext Si ttt di un siste di equzioni diffeenzili, peché l ccelezione di ciscun pticell è l deit second dell coispondente legge oi. Inolte, le equzioni sono ccoppite, peché l foz inten sull pticell dipende d doe si to l pticell e icees. Anche se non è seplice, il poble dei due copi, ppesentto d questo siste, in lcuni csi può essee isolto nliticente; già il poble dei te copi pesent difficoltà insoontbili e (slo csi olto pticoli) può essee ffontto solo con tecniche di clcolo nueico. E possibile seplifice noteolente l tttzione, se si inunci conoscee l legge oi di ciscun pticell e ci si ccontent di deteine coe si uoe il cento di ss. Sondo ebo ebo le equzioni del siste e icodndo che l so delle foze intene è null, si ottiene: ext + ext + Moltiplicndo e diidendo pe il secondo ebo, si h: + ext + ext A pio ebo cope l so delle foze estene pplicte l siste: ext + ext ext tot A secondo ebo, si iconosce il podotto dell ss totle del siste pe l ccelezione del cento di ss. Si può quindi isciee in fo più coptt: ext tot c Quest ipotnte equzione può essee intepett coe legge dell dinic del cento di ss. Ess pende il noe di I equzione cdinle dell dinic. Coenti sull I equzione cdinle dell dinic L I equzione cdinle dell dinic h loe del tutto genele. Anche se, pe seplicità, è stto consideto nei pecedenti clcoli il cso di un siste costituito d due sole pticelle, il isultto le pe i sistei costituiti d un nueo bitio di punti teili e, dunque, nche pe i copi estesi.

3 L I equzione cdinle è ugule ll second legge di Newton pe un punto teile. Peciò il cento di ss si uoe coe un punto teile soggetto ll zione di ext tot, cioè ll so ettoile delle foze estene. Il oto del cento di ss non è inece influenzto dlle foze intene, che non copiono nell equzione. ext tot è l so di foze genti su punti teili diesi. Qundo si ffont un poble icoendo lle equzioni di Newton pe ciscun punto teile, non si esegue i quest so: si sono t loo solo le foze genti sullo stesso punto teile. Un esepio iut copendee l elzione t l soluzione dell I equzione cdinle e l soluzione coplet del siste di equzioni. In figu è ppesentto il dig di copo libeo di due oggetti legti d un fune e ttti dll foz. Soluzione coplet Le equzioni dell dinic pe i due copi si sciono: T + T Poiettndo sull sse x: T T + A queste equzioni si ggiungono il incolo cinetico e il pincipio di zione e ezione: ; T T T T I equzione cdinle dell dinic Delle foze che giscono su,, solo è esten. L I equzione cdinle si scie, llo: c Poiettndo sull sse x e icodndo che + : ( ) c + d cui: c + Il siste dient llo: T + T Sondo ebo ebo si ottiene l equzione ( ) + e dopo seplici pssggi si icno i loi delle incognite, T: + T +

4 Poiché i copi sono incolti, c. Le due soluzioni sono identiche. E stto più seplice isolee l I equzione cdinle, che non il siste copleto. D ltonde, con quest tecnic non si può deteine il loe dell tensione dell fune, peché le foze intene non copiono nell equzione. In lcuni csi, non è così seplice confonte le due diese tecniche. Pe esepio, nel cso in figu, l ss è fe cus dell ttito dente sttico, ente si uoe con ccelezione. Attenzione: l ccelezione del cento di ss non è ugule d, in bse ll definizione (e tenendo conto che 0), le: c + ' L I equzione cdinle non è olto utile qundo ci sono foze estene incognite. Pe esepio, nel cso dell cchin di Atwood, le tensioni T, T nno considete foze estene, peché doute ll intezione con il piolo, non se ne conosce il loe. Essendo foze estene, non c è otio pe cui l so T + T debb nnullsi; inftti, ess è chiente dies d zeo. Copi estesi soggetti ll foz peso Nel dig è ostto un siste di due pticelle integenti e soggette ll foz peso. Le foze, sono foze intene; i pesi P, P sono foze estene. L I equzione cdinle si scie peciò: P + P c L so P + P pio ebo è il peso totle P del siste: P P + P g + g ( + ) g g Il peso totle del siste è pi l podotto dell ss totle pe l ccelezione di gità. L I equzione cdinle dient llo: g c Il cento di ss di un siste di punti teili si uoe con ccelezione c g.

5 Il oto del cento di ss è, dunque, identico quello di un punto teile sotto l zione dell foz peso (oto del poiettile). In pticole, l tiettoi del cento di ss è un pbol, coe ostto in figu. Le pticelle del siste intnto uotno e oscillno intono l cento di ss, con un dinic che dipende dlle foze intene. Tutti i coenti ipotti lgono pe sistei con un nueo bitio di pticelle e, dunque, nche pe i copi estesi.