Le Coniche dalle origini ai giorni nostri. Prof. Ivano Coccorullo

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1 Le Coniche dalle origini ai giorni nostri Prof. Ivano Coccorullo

2 Generalità Menecmo, Archita da Taranto, Aristeo il vecchio,euclide sono i primi grandi precursori degli studi sulle coniche. Le coniche furono scoperte nel tenta=vo di risolvere i tre famosi problemi: Trisezione dell angolo Duplicazione del cubo Quadratura del cerchio

3 Menecmo Quando un triangolo rettangolo ruota intorno ad un cateto fissato fino a ritornare alla sua posizione iniziale, la figura così racchiusa è un CONO Triangolo rettangolo isoscele Rotazione intorno al cateto minore Rotazione intorno al cateto maggiore Cono retto Cono ottusangolo Cono acutangolo Oxitome Ortotome Amblitome

4 Costruiamo il cono Se da un certo punto V si traccia alla circonferenza di un cerchio non situato nello stesso piano del punto Apollonio una retta prolungata fu il primo da una parte a studiare e dall altra e se, in modo restando fisso il punto, la retta riprende la posizione organico da cui ha le iniziato coniche. a muoversi, io chiamo superficie conica quella che, descritta dalla retta, è composta di Un cono due a superfici due falde opposte si costruisce nel vertice, dove facendo ciascuna ruotare una retta intorno a un cresce asse verso così l infinito come si vede in figura

5 Intersechiamo il cono con un piano Iperbole Ellisse parabola

6 Sezioni Coniche Ellisse

7 Sezioni Coniche Parabola

8 Sezioni Coniche Iperbole

9 Sezioni Coniche Coniche degeneri

10 Coniche come Luoghi di Punti Ellisse È il luogo dei punti P del piano tali che la distanza di P da un punto fissato F (fuoco) è in rapporto costante e < 1 con la distanza di P da una retta fissata r (direttrice). Tale rapporto e è l eccentricità. r F P

11 Coniche come Luoghi di Punti Parabola È il luogo dei punti P del piano tali che la distanza di P da un punto fissato F (fuoco) è in rapporto costante e = 1 con la distanza di P da una retta fissata r (direttrice). r F P

12 Coniche come Luoghi di Punti Iperbole È il luogo dei punti P del piano tali che la distanza di P da un punto fissato F (fuoco) è in rapporto costante e > 1 con la distanza di P da una retta fissata r (direttrice). Tale rapporto e è l eccentricità. r P F

13 Coordinate Cartesiane Un punto nel piano può essere individuato mediante una c o p p i a d i n u m e r i : l e distanze da due rette ortogonali (in una fissata unità di misura). (x,y) 1 Punti del Piano Figure nel Piano Geometria Coppie di Numeri (x,y) Relazioni tra Numeri Algebra

14 Coniche e Algebra Teorema. Una conica nel piano cartesiano consiste dei punti le cui coordinate (x,y) risolvono un opportuna equazione di secondo grado: Ax 2 + 2Bxy + Cy 2 + 2Dx + 2Ey + F = 0. Viceversa, quasi sempre, le soluzioni (x,y) di un equazione di secondo grado in due incognite sono le coordinate dei punti di una conica.

15 Coniche e Algebra Esempi notevoli: caso non degenere x 2 + y 2-1 = 0 x 2-2y = 0 x 2 - y 2-1 = 0

16 Coniche e Algebra Esempi notevoli: caso degenere x 2 + y 2 = 0 x 2 = 0 x 2 - y 2 = 0

17 Riconoscere una Conica Che tipo di conica è quella descritta da x 2-6xy + 2y 2 + 5x - y - 7 = 0??

18 Coniche e Matrici Alla conica Ax 2 + 2Bxy + Cy 2 + 2Dx + 2Ey + F = 0 si associano le matrici A B D B C E D E F A B B C

19 Richiami sulle Matrici Determinante e Traccia 2 2 a 11 a 12 det aaaaaa = a 11 a 22 - a 12 a a a 22 a.tr aaaaaa 11 a 12 = a 11 + a a a 22

20 Richiami sulle Matrici Determinante 3 3 a 11 a 12 a 13 detaaaaaaaaaaaaaaa a 21 a 22 a 23 a 31 a 32 a 33 = a 11 a 22 a 33 + a 21 a 32 a 13 + a 12 a 23 a 31 - a 13 a 22 a 31 - a 23 a 32 a 31 - a 12 a 21 a 13

21 Richiami sulle Matrici Determinante 3 3: Esempio detaaaaaaaaaaaaaaa = (-4) = 6

22 Invarianti di un Equazione di secondo grado in 2 incognite: Ax 2 + 2Bxy + Cy 2 + 2Dx + 2Ey + F = 0 I 1 = tr A B B C I 2 = det A B B C A B D I 3 = det B C E D E F

23 Invarianti e Coniche Teorema: Le proprietà geometriche della conica Ax 2 + 2Bxy + Cy 2 + 2Dx + 2Ey + F = 0 Sono completamente descritte dai tre invarianti I 1 I 2 I 3

24 Identificare la Conica Ax 2 + 2Bxy + Cy 2 + 2Dx + 2Ey + F = 0 mediante gli invarianti. Caso non degenere: I 3 0 I 2 > 0 e I 1 I 3 < 0 I 2 = 0 Ellisse Parabola I 2 < 0 Iperbole

25 Identificare la Conica Ax 2 + 2Bxy + Cy 2 + 2Dx + 2Ey + F = 0 mediante gli invarianti. I 2 > 0 Caso degenere: I 3 = 0 1 Punto I 2 = 0 2 Rette Parallele I 2 < 0 2 Rette Incidenti

26 Identificare la Conica Ax 2 + 2Bxy + Cy 2 + 2Dx + 2Ey + F = 0 mediante gli invarianti. Caso eccezionale I 3 0, I 2 > 0 e I 1 I 3 > 0 Ellisse Immaginaria

27 Identifichiamo la Conica 2x 2 + xy + y 2-3y = 0. calcoliamo La matrice dell equazione è I 3 = det 2 1/2 0 1/2 1-3/2 0-3/2 0 = -9/2 0 I 1 = tr 2 1/2 1/2 1 = 3 > 0 I 2 = det 2 1/2 1/2 1 = 7/4 > 0

28 Identifichiamo la Conica x 2-2xy + y 2 + 4x -5 = 0. calcoliamo La matrice dell equazione è I 3 = det = -4 0 I 2 = det = 0

29 Identifichiamo la Conica 3x 2 + 5xy + 2y 2 - x - y = 0. calcoliamo La matrice dell equazione è I 3 = det 3 5/2-1/2 5/2 2-1/2-1/2-1/2 0 = 0 I 2 = det 3 5/2 5/2 2 = -1/4 < 0

30 Approfondimenti: Forma delle Coniche Osservazione: data una conica non degenere Ax 2 + 2Bxy + Cy 2 + 2Dx + 2Ey + F = 0 la distanza L del fuoco dalla direttrice e l eccentricità e determinano completamente la forma della conica. I parametri geometrici L ed e devono allora potersi esprimere in termini degli invarianti I 1 I 2 I 3

31 Approfondimenti: Forma delle Coniche data una conica non degenere Ax 2 + 2Bxy + Cy 2 + 2Dx + 2Ey + F = 0 L equazione caratteristica è t 2 I 1 t + I 2 = 0 e le relative soluzioni t ± = I 2 1 ± I1 4I 2 2

32 Approfondimenti: Forma delle Coniche Teorema: Ellisse, Iperbole L e = = I I t 3 2 t + t + + t t ( t t ) + Parabola L = I I 3 3 1

33 Coniche e realtà

34 Esercizio Cosa Che succede forma se ha puntiamo il fascio la di luce di se una punto torcia una contro torcia il con muro il? braccio inclinato perpendicolare rispetto al al muro? Risposta: o si un forma iperbole una un ellisse cono circonferenza di luce Circonferenza Ellisse Iperbole Cono

35 Applicazioni Le coniche nella realtà concreta

36 Sfere di Dandelin. Le coniche viste come ombra di una sfera: descrizione sinte=ca di fuochi e direfrici di una conica. Una sezione conica possiede una o due sfere di Dandelin caraferizzate dalla proprietà: Una sfera di Dandelin e tangente sia al piano che al cono.

37 Sfere di Dandelin Iperbole Ellisse o circonferenza Parabola una sfera di Dandelin due sfere di Dandelin Proprietà: Il punto nel quale una sfera tocca il piano è un fuoco della sezione conica

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