Esercitazioni di Matematica

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1 Università degli Studi di Udine Anno Accademico 009/00 Facoltà di Agraria Corsi di Laurea in VIT e STAL Esercitazioni di Matematica novembre 009 Trovare le soluzioni della seguente disequazione: x + + < x Trovare le soluzioni della seguente disequazione: log / x + ) log/ x + ) Trovare le soluzioni della seguente disequazione: 8 4 x > 6x x Soluzioni degli esercizi del novembre 009 Affinché le funzioni che compaiono nella disequazione siano definite deve essere x + 0 e x 0 cioè x,. Con semplici calcoli si ottiene x + + < x x ) + x + )x ) x + ) x + )x ) x + + x < 0 < 0 x x 6 x + )x ) < 0. Studiamo separatamente il segno del numeratore e del denominatore. Il numeratore è 0 se e solo se x x 6 0 cioè se e solo se x 7 oppure x + 7. In definitiva il numeratore è positivo se x < 7 oppure x > + 7, negativo se 7 < x < + 7 e si annulla se x = 7 oppure x = + 7. Analogamente si verifica che il denominatore è positivo se x < oppure x >, negativo se < x <. La disequazione ha soluzione quando numeratore e denominatore hanno segno discorde, dunque se 7 < x < oppure < x < + 7. L insieme delle soluzioni è quindi S =] 7, [ ], + 7[

2 Matematica, Facoltà di Agraria, Raccolta delle Esercitazioni di sostegno A.A Innanzitutto affinché le funzioni che compaiono nella disequazione siano definite deve essere { x + > 0 x + > 0 { > + x x > { > + x > x > quindi < x <. Osservato che = log /, utilizzando le proprietà dei logaritmi si ottiene che la disequazione è equivalente a log / x + ) log/ x + ) + log / log / x + ) log/ x + 6) Poiché la funzione logaritmica in base / è decrescente, quest ultima equivale a x + x + 6 Distinguiamo due casi, a seconda che l argomento del valore assoluto sia positivo oppure negativo. Perciò la disequazione è equivalente a { { x + 0 x + ) x + 6, x + < 0 + x + ) x + 6. Il primo sistema ha come soluzioni gli x, il secondo / x <. Ricordandoci delle condizioni di esistenza, l insieme delle soluzioni è S = [ /, [ Innanzitutto affinché le funzioni che compaiono nella disequazione siano definite l argomento della radice quadrata deve essere non negativo, ovvero 6x x 0 cioè 0 x 6. Poiché 8 = e 4 x = x, per le proprietà della funzione esponenziale la disequazione può essere scritta nella forma x > 6x x e utilizzando la proprietà di crescenza della funzione esponenziale di base si ottiene equivalentemente x > 6x x. Affinché questa disequazione possa avere soluzioni, deve essere x > 0. A questo punto si può elevare al quadrato ambo i membri, perciò la disequazione equivale al sistema x > 0 x) > 6x x 0 x 6. La disequazione di secondo grado ha come soluzioni x < /5 oppure x >, quindi l insieme delle soluzioni della disequazione data è S = [0, /5[

3 Matematica, Facoltà di Agraria, Raccolta delle Esercitazioni di sostegno A.A Esercitazioni del 4 novembre 009 Calcolare, qualora possibile, il valore dei seguenti iti: a) x + 5x 7x 7 + x 7, b) + x5 y + 5y 5 + y t 5 5t 0, c) + y + y9 t t + t +. Sapendo inoltre che x + x α = + per ogni α > 0 si calcolino, qualora possibile, i seguenti iti d) x + x 5/ x π + x 9/5 + 5x, e) x Calcolare, qualora possibile, il valore dei seguenti iti: f) z z z z, g) z x 0 x 5/ x π + x 9/5 + 5x. cosπ 5x) x ln x + x). Sapendo che calcolare il seguente ite: x + ax = { + se a > 0 se 0 < a <, x 5 x + 4 x + e x + x. 4 Risolvere la seguente disequazione log x) 5 log 4 x). Soluzioni degli esercizi del 4 novembre 009 a) È un ite di una funzione razionale all infinito: 5x 7x 7 + x + x 7 + x 4 = 5/x /x 7 x + + /x 7 /x = b) È un ite di una funzione razionale all infinito: 5y 5 + y y + + y + y 9 = y + = y /y /y 5 ) y 9 /y 9 + /y 8 + ) = ] = 0. [ c) È un ite di una funzione razionale all infinito: t 5 5t 0 t t + t + = = t 5 5/t 4 0/t 5 ) t t /t + + /t ) ] [ = +. [ ] = y + y /y /y 5 ) /y 9 + /y 8 + = t t 5/t4 0/t 5 ) /t + + /t

4 Matematica, Facoltà di Agraria, Raccolta delle Esercitazioni di sostegno A.A d) Si procede analogamente al caso delle funzioni razionali. Poiché π 5/ > 0 si ha x + x 5/ x π + x 9/5 + 5x = x π /x π 5/ + /x π ) x + x /x /5 + 5 /x ) = x + x π /xπ 5/ + /x π /x /5 + 5 /x ) = [ ] = e) Poiché le potenze reali ad esponente reale sono definite solamente quando la base è maggiore di zero, il dominio della funzione in considerazione non è inferiormente ilitato perciò non ha senso calcolare il ite richiesto. f) Il ite si presenta nella forma indeterminata [ 0 ]. Studiamo quindi il segno della funzione in un intorno di z 0 =. Il numeratore tende a e quindi è positivo per gli z vicini a. Poiché z z è positivo per gli z < e per gli z > si ottiene che la funzione è positiva per gli z < e negativa per gli z > e vicini a, quindi z z z z z = [ 0 + quindi il ite cercato non esiste. ] = +, z + z z z z = [ ] 0 =, g) Il ite si presenta nella forma indeterminata [ 0 ]. Studiamo il segno della funzione in un intorno di x 0 = 0. Il numeratore tende a, quindi è negativo per gli x vicini a 0. Studiamo il segno del denominatore: si ha ln x +x) > 0 se e solo se x +x > cioè x x < 0 ovvero 0 < x <. Si ha dunque che x ln x + x) è sempre positivo nelle vicinanze di x 0 = 0, perciò [ ] cosπ 5x) x 0 x ln x + x) = 0 + =. Portando 5 x e x a fattore comune, rispettivamente, a numeratore e denominatore, si ottiene x 5 x + 4 x + e x + x = 5 x /5) x + 4/5 x ) x + x e/) x + / x ) = x + 5/) x /5)x + 4/5 x ) e/) x + / x = [ ] = Affinché le funzioni che compaiono nella disequazione siano definite deve essere x > 0 e log 4 x) 0 cioè x < e x. In definitiva si deve avere x < e x 0. Utilizzando la formula del cambiamento di base dei logaritmi e osservando che log 4 =, si ottiene che la disuguaglianza data è equivalente a log x) 5 log x) log 4 log x) 5 6 log x) log x) ) 5 log x) log x) Operando la sostituzione z = log x) si ottiene la disequazione fratta z 5z + 6 z 0. )

5 Matematica, Facoltà di Agraria, Raccolta delle Esercitazioni di sostegno A.A Il numeratore è positivo per z oppure z, mentre il denominatore è positivo se z > 0, quindi ) è verificata se z < 0 oppure z. Tornando alla variabile x otteniamo log x) < 0 oppure log x) ovvero cioè x < oppure 4 x 8 x > 0 oppure 7 x. Ricordandoci anche delle condizioni di esistenza si ottiene che l insieme delle soluzioni è S = [ 7, ] ]0, [ Esercitazioni del 5 dicembre 009 Calcolare la derivata delle seguenti funzioni f x) = x + x x e x 5x +, f x) = +x sen x) x + log x, f x) = arctgx cos x). Risolvere i seguenti iti, dopo aver verificato che valgono le ipotesi del Teorema di de l Hôpital tg x 5 sen x + x ln + x) + x senx + x ) a) x 0 x cos x + x + x) b) x 0 e x sen x x cos x 5x. Data la funzione a) determinare il dominio; b) studiare il segno di g; gx) = x x c) calcolare i iti agli estremi del dominio; d) determinare gli intervalli dove la funzione è crescente e quelli dove la funzione è decrescente, gli eventuali punti di massimo/minimo relativo e/o assoluto; e) calcolare l equazione della retta tangente al grafico nel punto di ascissa x 0 =, f) determinare gli intervalli dove la funzione è concava e quelli dove la funzione è convessa; g) tracciare l andamento qualitativo del grafico di g.

6 Matematica, Facoltà di Agraria, Raccolta delle Esercitazioni di sostegno A.A Soluzioni degli esercizi del 5 dicembre 009 Utilizzando la regola di derivazione del quoziente: f x) = 4x + )x 5x + ) x + x )6x 5) x 5x + ) = x + 6x 9 x 5x + ). Utilizzando la regola di derivazione del prodotto del quoziente e della funzione composta si ottiene: f x) = + x sen x) sen x + x cos x) + x ex ) log x x e x ) log e x log x). Utilizzando la regola di derivazione del prodotto e della funzione composta si ottiene infine: f x) = + x cos x ) x cos x x sen x). a) Il ite si presenta nella forma d indeterminazione [0/0]. Applicando de l Hôpital si ottiene x 0 tg x 5 sen x + x x cos x + x + x) H = x 0 Per de l Hôpital il ite cercato vale allora ln. 5 cos x + 6x cos x cos x x sen x + x ln 4 + x) = ln. b) Il ite si presenta nella forma d indeterminazione [0/0]. Applicando de l Hôpital due volte consecutivamente si ottiene ln + x) + x senx + x ) H = +x + 6x cosx + [ ] x ) + x) 0 x 0 e x sen x x cos x 5x x 0 e x sen x + e x cos x cos x + x sen x 0x = senx + x ) + x) cosx + x ) H +x) = x 0 e x = cos x + sen x + x cos x = 5 8. Per de l Hôpital il ite cercato è 5 8. a) Il dominio è dato dagli x R per cui x 0, ovvero D = R\{}. La funzione razionale) è ivi continua e derivabile. b) Il numeratore è 0 se e solo se x 0 cioè se e solo se x / oppure x /. Il denominatore è positivo se x >. Allora < 0, se x ], / [ ]/, [, gx) = = 0, se x = / oppure x = /, > 0, se x ] /, / [ ], + [. c) Ha senso andare a studiare i iti in e a ±. Utilizzando anche il punto b) si ottiene x gx) = /x ) [ ] 7 = [± ] = ±, x ± x ± /x gx) = x ± 0 ± = ±, quindi la funzione non ammette massimo né minimo. d) La derivata prima è g x) = 4xx ) x ) x ) = x 8x + x ).

7 Matematica, Facoltà di Agraria, Raccolta delle Esercitazioni di sostegno A.A Poiché il denominatore è sempre positivo nel dominio, la derivata prima è positiva se e solo se x 8x + 0 cioè se e solo se x 4 oppure x + 4. Più precisamente g x) = 4 > 0, se x ], [ ] + 4, + [, = 0, se x = 4 oppure x = + 4, < 0, se x ] 4, [ ], + 4 [. La funzione è dunque crescente in ], 4 [ e in ]+ 4, + [, decrescente in ] 4, [ e in ], + 4 [. I punti x = + 4 e x = 4 sono rispettivamente punti di minimo e massimo relativo. e) L equazione della retta tangente al grafico nel generico punto x 0, gx 0 )) è y = x x 0 )g x 0 ) + gx 0 ). Poiché g ) = / e g ) = /9, l equazione della retta cercata è y = x + ) 9 cioè y = 9 x f) La derivata seconda è g x) = 4x 8)x ) x 8x + )x ) x ) 4 = 4x 8)x ) x 8x + ) x ) 4 = x ). Si ha che g x) > 0 se e solo se x ) > 0 ovvero se x >, quindi { g > 0, se x ], + [, x) = < 0, se x ], [. La funzione è dunque convessa in ], + [, mentre è concava in ], [ ,5-5 -,5 0,5 5 7,

8 Matematica, Facoltà di Agraria, Raccolta delle Esercitazioni di sostegno A.A Esercitazioni del dicembre 009 Data la funzione gx) = x + )e x a) determinare il dominio; b) studiare il segno di g; c) calcolare i iti agli estremi del dominio; d) determinare gli intervalli dove la funzione è crescente e quelli dove la funzione è decrescente, gli eventuali punti di massimo/minimo relativo e/o assoluto; e) studiare gli eventuali asintoti di g; f) determinare gli intervalli dove la funzione è concava e quelli dove la funzione è convessa; g) tracciare l andamento qualitativo del grafico di g. Rappresentare il grafico di una funzione g che verifichi contemporaneamente le seguenti proprietà: fx) = x fx) = + x fx) = x + fx) = x + Per l equazione differenziale y = t + y verificare se le seguenti funzioni sono soluzioni in R + : a) y t) = t +, b) y t) = t + t +, 4 Verificare che la funzione yt) = t )e t è soluzione dell equazione differenziale Di quale tipo di equazione si tratta? y 4y 5y + 8t 6)e t = 0. Soluzioni degli esercizi del dicembre 009 a) Il dominio è dato banalmente da D = R. La funzione è ivi continua e derivabile in quanto composizione e prodotto di funzioni continue e derivabili. b) Poiché e x è strettamente positivo per ogni x R, la funzione è positiva se x > /, negativa se x < / e si annulla in x = /. c) Ha senso andare a studiare i iti a ±. Si ha facilmente gx) = x + x x )e x = [ + ] =, mentre, ricordando ad esempio il ite fondamentale z + z n = 0, per ogni a >, n, az

9 Matematica, Facoltà di Agraria, Raccolta delle Esercitazioni di sostegno A.A si ha gx) = x + x + x + e x = 0. Il medesimo risultato si poteva ottenere anche mediante il teorema di de L Hôpital: gx) = x + x + x + e x = [ + ] H= + x + [ ] e x = = 0. + Dallo studio dei iti si ricava in particolare che la funzione non ammette minimo. d) La derivata prima è g x) = e x + x + )e x ) = 6x + )e x. La derivata prima è dunque 0 se e solo se 6x + 0 cioè se e solo se x /6. Quindi > 0, se x ], /6[, g x) = = 0, se x = /6, < 0, se x ] /6, + [. La funzione è dunque crescente in ], /6[, decrescente in ] /6, + [. Il punto x = /6 è di massimo relativo. e) Essendo x + gx) = 0 allora la retta y = 0 è asintoto orizzontale) a +. Poiché invece gx) x x = ) + e x = [ + ] = +, x x la funzione non ammette asintoti a. f) La derivata seconda è g x) = 6e x 6x + )e x ) = 8x )e x. Si ha che g x) 0 se e solo se 8x 0 ovvero se x /6, quindi > 0, se x ]/6, + [, g x) = = 0, se x = /6, < 0, se x ], /6[. La funzione è dunque convessa in ]/6, + [ mentre è concava in ], /6[.,6 0,8 - -0,5 0 0,5,5,5-0,8 -,6

10 Matematica, Facoltà di Agraria, Raccolta delle Esercitazioni di sostegno A.A in neretto si evidenziano le informazioni date dai iti. Il grafico della funzione è quindi completato a piacere linea sottile), ad esempio: fx) x a) La funzione y t) è definita e derivabile in R + ed è soluzione dell equazione se verifica y t+ t) = per ogni t > 0. Essendo y t) si osserva che, ad esempio per t = 0, quindi y non è soluzione dell equazione. y t) = t, t + t + y = t) t + ). 0 = y 0) 0 + y 0) = 9, b) La funzione y t) è definita e derivabile in R + ed è soluzione dell equazione se verifica y t+ t) = per ogni t > 0. Si ha y t) y t) = t + t + ) /) = t + t + ) / t + 6t + ) = t + t + ), t + y t) = t + t + t + ). In conclusione si ha che y t+ t) = y t) per ogni t R+, dunque y è soluzione. 4 a) Si tratta di un equazione differenziale lineare di ordine. Derivando si ottiene e sostituendo nell equazione si ha y t) = e t + t )e t = te t, y t) = e t + te t = t + )e t, y t) 4y t) 5yt) + 8t 6)e t = t + )e t 4te t 5t )e t + 8t 6)e t = 0 per ogni t R, dunque y è soluzione.

11 Matematica, Facoltà di Agraria, Raccolta delle Esercitazioni di sostegno A.A Esercitazioni del gennaio 00 Calcolare i seguenti integrali 5 x 5 4x 9 ) dx, x x dx, 4 x + 5 cos x 5 sen x ) dx, ln x x dx, x x + dx. + x ) dx, Dato l equazione differenziale y = t + cos t y 6 a) dire se la funzione yt) = t + è soluzione dell equazione in ]0, + [; b) determinare la generica soluzione del problema, ad esempio col metodo di separazione delle variabili; c) tra tutte le soluzioni determinare quella per cui y0) =. Dato il problema di Cauchy { y = t y t y0) = t R a) dire se la funzione yt) = è soluzione del problema; b) determinare la soluzione del problema, qualora non lo sia la funzione di cui al punto a). Soluzioni degli esercizi del gennaio 00 Per la proprietà di linearità e consultando la prima tabella si ottiene 5 x 5 4x 9 ) dx = 5 dx x 5 dx 4 x 9 dx = 5x x6 6 4x0 0 + c, 4 x + 5 ) cos x 5 sen x dx = 4 x dx + 5 cos x dx 5 = 4x + 5 tg x + 5 cos x + c, ln 4 sen x dx + ) dx = + + ) dx = x x x dx + = x + x/ / + ln x + c = x + 4 x + ln x + c. x / dx + x dx

12 Matematica, Facoltà di Agraria, Raccolta delle Esercitazioni di sostegno A.A Utilizzando anche la seconda tabella si ha x dx = x x dx = x x ) / x ) dx x x + dx = = x ) / / ln x x dx = ln x) ln x) dx = x x + dx a) Si ha y t) = e sostituendo si ottiene l equazione + c = x + c, ln x)4 4 + c, x + dx = lnx + ) arctg x + c. = t + cos t t + ) 6 che non è identicamente vera per t > 0 ad esempio, per t = si ottiene La funzione non è dunque soluzione. b) Scrivendo y = dy dt e integrando e utilizzando il metodo di separazione delle variabili si ha y 6 dy = t + cos t) dt y 6 dy = t + cos t) dt = y 7 7 = t + sen t + c + cos 4 6 < ). dove c è la generica costante d integrazione. Risolvendo quest ultima equazione nell incognita y si ottiene y = yt) = 7 7t + sen t + 7c che al variare di c R fornisce tutte le soluzioni dell equazione. c) Imponendo la condizione y0) = si ricava = 7 7c cioè c = /7. La soluzione è quindi a) Si ha y t) = 0 e sostituendo si ottiene yt) = 7 7t + sen t +. 0 = t t che è identicamente soddisfatta per t R. La funzione è dunque soluzione della prima equazione. Tuttavia y0) perciò non verifica le condizioni iniziali, quindi non è soluzione del problema di Cauchy. b) Si ricorda che la soluzione generale dell equazione lineare y = at)y + bt) con at), bt) funzioni continue, è yt) = e At) e At) bt) dt

13 Matematica, Facoltà di Agraria, Raccolta delle Esercitazioni di sostegno A.A dove At) è una primitiva di at). Nel nostro caso at) = t e una sua primitiva è ad esempio At) = t. La soluzione generale è dunque yt) = e t e t t ) dt = et e t t ) dt. Consultando la tabella degli integrali si vede che e ft) f t) dt = e ft) + c con c generica costante d integrazione, perciò yt) = et e t + c ) = + c et essendo c = c/ un generico numero reale al pari di c. c) Imponendo la condizione y0) = si ottiene l equazione = / + c quindi c = 5/ e la soluzione è yt) = + 5 et. Esercitazioni del 9 gennaio 00 Calcolare i seguenti integrali definiti x x ) dx, π/4 0 sen x cos x dx, / x ln x x dx. Calcolare i seguenti integrali mediante il metodo di integrazione per parti x 4x + )e x dx, x ln x dx, e x senx) dx. Determinare la soluzione del problema di Cauchy { y = y + t y0) = t R. 4 Determinare la soluzione del problema di Cauchy y = y senty) t y + y0) = 0 t R.

14 Matematica, Facoltà di Agraria, Raccolta delle Esercitazioni di sostegno A.A Soluzioni degli esercizi del 9 gennaio 00 Per il teorema fondamentale del calcolo si ha [ x x 4 x ) dx = 4 x x ] = ) ) + = 7 4. Ponendo fx) = cos x ed essendo f x) = sen x si ottiene sen x cos x dx = fx)) f x) dx = fx)) + c = cos x + c, dunque è una primitiva della funzione integranda e, sempre per il teorema fondamentale cos x del calcolo si ha π/4 sen x [ cos x dx = ] π/4 cos = x 0 cos π/4) cos 0 =. Alternativamente π/4 0 0 sen x cos x dx = π/4 0 sen x cos x cos x dx = π/4 0 [ tg x) tg x tg x) dx = ] π/4 0 = tg π/4) Poiché Hx) = e x / è una primitiva della funzione hx) = e x, mediante il metodo per parti si ottiene x 4x + )e x dx = x 4x + ) ex 6x 4) ex dx ) = x 4x + ) 6x ex 4) ex 9 6 ex 9 dx = x 4x + ) ex Il secondo integrale x ln x dx = x x ln x =. 6x 4)ex ex + c = x ) e x + c. x x dx = x ln x x x dx = ln x 9 + c. Poiché Hx) = e x è una primitiva della funzione hx) = e x, applicando due volte il metodo per parti al terzo integrale si ottiene e x senx) dx = e x senx) e x ) cosx) dx = e x senx) + e x cosx) dx ) = e x senx) + e x cosx) e x ) senx)) dx = e x senx) e x cosx) 4 e x senx) dx. L integrale cercato I := e x senx) dx è quindi soluzione dell equazione I = e x senx) e x cosx) 4I = I = 5 e x senx) + e x cosx) ) + c.

15 Matematica, Facoltà di Agraria, Raccolta delle Esercitazioni di sostegno A.A Si ricorda che la soluzione generale dell equazione lineare y = at)y + bt) con at), bt) funzioni continue, è yt) = e At) e At) bt) dt dove At) è una primitiva di at). Nel nostro caso at) = e una sua primitiva è ad esempio At) = t. La soluzione generale è dunque yt) = e t e t t dt. Applicando il metodo per parti si calcola e t t dt = et e t t et dt = t et 4 + c, con c generica costante d integrazione, perciò yt) = e t e t t et 4 + c ) = t 4 + c e t. Imponendo ora la condizione iniziale y0) =, si ottiene l equazione = 4 +c quindi c = 5/4 e la soluzione del problema di Cauchy assegnato è data da yt) = t e t. 4 Si osserva che la funzione nulla yt) 0 per ogni t, è soluzione dell equazione e verifica le condizioni iniziali, dunque è la soluzione cercata.