LOGICA e INSIEMISTICA

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1 LOGICA e INSIEMISTICA Prof. Enrico Terrone A. S: 2008/09 Definizioni La logica è una parte speciale della matematica che si occupa, anziché dei numeri, delle proposizioni. Una proposizione è una frase di cui si può stabilire oggettivamente se è vera o falsa. Bevi il caffè, Che ore sono?, Mi sembra strano, Ci vediamo fra poco non sono proposizioni. ercelli è in Piemonte, La rivoluzione francese è avvenuta nel 1789, La formica è un mammifero, Il sole ruota attorno alla terra sono proposizioni (le prime due vere, le ultime due false).

2 Proposizioni Una proposizione è solitamente composta da nomi (argomenti) e da verbi che attribuiscono delle proprietà a questi nomi (predicati) Il senso di una proposizione dipende dal significato dei suoi argomenti e dei suoi predicati. Il valore di una proposizione può essere invece soltanto ero oppure also, e dipende dal rapporto che sussiste fra gli argomenti e il predicato. La logica è fondamentale in informatica perché i dispositivi elettronici di base (porte logiche) effettuano soltanto operazioni logiche (per cui le operazioni aritmetiche vanno ricavate da quelle logiche). Operazioni ed espressioni logiche In quanto oggetti matematici, le proposizioni si usano nelle operazioni per costruire delle espressioni. Le operazioni logiche fondamentali sono la congiunzione, la disgiunzione e la negazione. La congiunzione delle proposizioni p1 e p2 vale ero se p1 è vera e (AND) p2 è vera, altrimenti vale also. La disgiunzione di p1 e p2 vale ero se p1 è vera oppure (OR) p2 è vera, altrimenti vale also. La negazione di una proposizione p vale ero se p non (NOT) è vera, altrimenti vale also.

3 Simboli ed esempi di operazioni p = Genova è una città q = Genova è sul mare r = Genova è in Toscana La congiunzione di p e q, che indichiamo con p && q vale ero La disgiunzione di p e q, che indichiamo con p q vale ero La congiunzione di p e r, che indichiamo con p && r vale also La disgiunzione di p e r, che indichiamo con p r vale ero La negazione di p, che indichiamo con!p vale also La negazione di r, che indichiamo con!r vale ero Calcolo di espressioni logiche Per rappresentare le operazioni logiche, si usano le tavole di verità: a b a && b a b p!p

4 Tavole di verità Anche per calcolare le espressioni logiche, si usano le tavole di verità: a b c a && b a && c (a&&b) (a&&c) Proprietà delle operazioni logiche algono proprietà analoghe a quelle delle operazioni aritmetiche, poste le corrispondenze dell addizione con l OR ( ) e della moltiplicazione con l AND (&&). Commutativa: a b = b a a && b = b && a Associativa: (a b) c = a (b c) (a && b) && c = a && (b && c) Distributiva: (a b) && c = (a && b) (a && c) (a && b) c = (a b) && (a c) Nota: quest ultima proprietà non è valida in aritmetica

5 Logica e linguaggio ordinario Le operazioni logiche AND, OR e NOT corrispondono a tre elementi fondamentali del linguaggio parlato: le congiunzioni linguistiche e, o, e l avverbio non. La logica è alla base del funzionamento del linguaggio ordinario, che usa le operazioni logiche per determinare il valore oggettivo ero/also delle frasi. A seconda della particolare congiunzione linguistica che si usa, il valore logico viene arricchito da sfumature di senso (che non riguardano la verità di ciò che si dice ma esprimono il punto di vista di chi parla). Nel tradurre in forma logica le frasi linguistiche, si precisa il valore (ero/also), ma si perdono le connotazioni del senso. Esercizio: stabilire a quali operazioni logiche corrispondono le seguenti congiunzioni linguistiche: ma, sebbene, invece, perché, affinché, se. Insiemistica L insiemistica è la parte della matematica che si occupa di oggetti speciali che si chiamano insiemi. Un insieme è una raccolta di elementi tutti diversi fra loro e di cui non ci importa l ordine. Un insieme può essere finito (gli studenti della 3CTC) oppure infinito (i numeri pari) oppure vuoto (i numeri dispari divisibili per due). Un insieme può essere indicato elencando i suoi elementi o specificando la sua proprietà caratteristica. L insieme universo è quello dove si cercano i possibili elementi di un insieme definito con la proprietà caratteristica.

6 Operazioni insiemistiche In quanto oggetti matematici, gli insiemi possono entrare a far parte di operazioni. Le operazioni insiemistiche fondamentali sono l intersezione, l unione e il complementare. L intersezione degli insiemi A e B (A B) è l insieme di tutti gli elementi che appartengono ad A e anche a B. L unione degli insiemi A e B (AUB) è l insieme di tutti gli elementi che appartengono ad A oppure a B. Il complementare di un insieme K è l insieme di tutti gli elementi dell insieme universo che non appartengono a K. Logica e insiemistica Una proposizione si definisce aperta e si indica con p(x) se contiene una variabile x a seconda di cui valori la proposizione può essere vera o falsa. Es. x è uno studente della 3CTC Si definisce insieme ambiente di una proposizione aperta p(x) l insieme dei valori x che la rendono vera. Quando definiamo un insieme con la proprietà caratteristica in realtà stiamo usando una proposizione aperta. Questo legame fra proposizioni e insiemi ha come conseguenza un legame fra le loro operazioni

7 Operazioni logiche e insiemistiche L intersezione di due insiemi ha come proprietà caratteristica la congiunzione (AND) delle loro proprietà caratteristiche. L unione di due insiemi ha come proprietà caratteristica la disgiunzione (OR) delle loro proprietà caratteristiche. Il complementare di un insieme ha come proprietà caratteristica la negazione (NOT) della sua proprietà caratteristica. Esercizi di logica 1) Calcolare le seguenti espressioni logiche: a && ( b (!a!b) )!a (c && b) (!c && a) ( (b c) && (!d a) ) && (d!b) 2) Scrivere un programma C che legga il prezzo unitario di un prodotto, la quantità acquistata e la percentuale di sconto, e calcoli la cifra spesa.

8 Esercizi di insiemistica 1) Calcolare l unione, l intersezione e i complementari degli insiemi A e B; scrivere le proprietà caratteristiche e le operazioni logiche associate: A = numeri pari minori di 10 B = numeri divisibili per 3 minori di 20 A = mesi che hanno un nome di meno di sette lettere B = mesi che hanno 31 giorni 2) Scrivere un programma C che legga le coordinate di un punto del piano cartesiano e stampi le coordinate dei suoi tre punti simmetrici negli altri tre quadranti.