Lezione 9. Congruenze lineari. Teorema Cinese del Resto.

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1 Lezoe 9 Prerequt: Lezoe 8. Cogrueze lear. Teorema Cee el Reto. Nella Lezoe 8 abbamo vto che a caua ella compatbltà ella cogrueza moulo rpetto alle operazo artmetche le relazo cogrueza moulo pooo eere ottopote a traformazo algebrche aaloghe a quelle vale per le uguaglaze. Queta lezoe è ecata alla roluzoe e problem che oo ell'ambto ella cogrueza moulo l'equvalete elle equazo lear. Defzoe 9. Sa u tero potvo. S ce cogrueza leare (moulo l problema trovare tutt umer ter x che ofao ua relazoe cogrueza ella forma ove a b Z e a. ax b (mo Propozoe 9.2 (Rolubltà cogrueze lear Sa u tero potvo e ao a b Z ove a. Sa oltre MCD( a. Allora la cogrueza leare ax b (mo ( ammette oluzoe e e olo e b. I tal cao etta x ua oluzoe partcolare le oluzo oo tutt e ol umer ter x x + (2 co Z. Dmotrazoe: Suppoamo apprma che va b. Allora ha b q per qualche q Z. I bae al Lemma Bézout (Propozoe 6.5 etoo t Z tal che a + t. D coegueza aq + tq q b. Pertato aq b tq e qu aq b (mo. Cò prova che x q è ua oluzoe (. Vcevera uppoamo che la ( ammetta oluzoe. Allora etta x ua ua oluzoe ve ax b qu ete y Z tale che ax b y oa ax y b. Poché ve ax e y egue che ve b. Sa ora x u'arbtrara oluzoe ella (. Eeo x ua oluzoe ha ax b (mo e qu ax ax (mo. Pertato ete q Z tale che a( x x q a cu euce che a ( x x q coì che l'tero ve l'tero a ( x x. Eeo a e coprm vrtù el Corollaro 6.25 alla Propozoe 6.24 egue che ve x x. Qu per qualche Z

2 x x oa x x +. Cò prova che og oluzoe ella ( è ata alla formula (2. Vcevera ha che per og Z a ax ax + a ax + ax b (mo e qu x è oluzoe ella (. Eempo 9.3 (a La cogrueza leare 24x 7 (mo 356 o è roluble: fatt MCD(35624 è par e qu o ve 7. (b La cogrueza leare 3x 2 (mo 29 è roluble: fatt MCD(3 29 poché 3 e 29 oo umer coprm. I geerale og cogrueza leare ( cu a e oo coprm è roluble. (c La cogrueza leare 2x 9 (mo 75 è roluble: fatt MCD( ve 9. Oervazoe 9.4 Suppoamo che la cogrueza leare ( abba oluzoe oa che va b. a b Allora ve ax b x e e olo e ve a x b. Qu tal cao la cogrueza ( equvale alla cogrueza leare a b x (mo (3 ove a e oo coprm. Ua oluzoe partcolare ella (3 trova el moo eguete. Prma etermao coeffcet u'ettà Bézout a + t b e qu pree x. Eerczo 9.5 Rolvere la cogrueza leare 2x 9 (mo 75. Come tablto ell'eempo 9.3 (c la cogrueza è roluble e 3. Ea equvale qu bae all'oervazoe 9.4 alla cogrueza leare 4x 3 (mo 25 S ha l'ettà Bézout 4 ( qu ua oluzoe partcolare è x 3( 6 8. Qu la oluzoe geerale è x co Z. U'altra oluzoe partcolare (che vua mmeatamete è x 7. Qu la formula per la oluzoe geerale può ache crvere ella forma x co Z. Oervazoe 9.6 La cogrueza leare ( equvale alla eguete equazoe Z : cu cercao le oluzo z Z. [ a] z [ b] (4

3 Corollaro 9.7 Se l'equazoe (4 è roluble ea ha eattamete MCD( a oluzo e precamete: z [ x ] z x + z x z x + (. 2 Dmotrazoe: I bae alla Propozoe 9.2 e la (4 è roluble la ua oluzoe geerale è z [ x ] x + ove Z. Famo u ce Z. Sao q e r l quozete e l reto r... e ella voe per. Allora { } z x + x + ( q + r x + q + r x + r zr e cò prova che og oluzoe ella (4 è comprea fra quelle elecate ell'eucato. Reta a provare che quete ultme oo a ue a ue tte. Sao h e umer ter tal che < h. Allora < x + h x + ( h < a cu egue che o ve x + h x + oa xh x (mo oa zh z. Nota L'eucato el Corollaro 9.7 può raumere ceo che la cogrueza ( ha oluzo a ue a ue o cogrue moulo che oo x x x2... x. Quete forcoo u tema completo rappreetat per le cla che oo oluzo ell'equazoe (4. Eempo 9.8 Coeramo la cogrueza leare 2x 9 (mo 75 ell'eerczo 9.5. Ea ha 3 oluzo a ue a ue o cogrue moulo 75 e precamete Le oluzo ell'equazoe [ 2] [ 9 ] x 7 x 32 x z Z 75 oo [ ] [ ] [ ] z 7 z 32 z Paamo ora alla roluzoe tem pù cogrueze lear. Teorema 9.9 (Prma formulazoe el Teorema Cee el Reto Sa u tero maggore ao 2... ter potv a ue a ue coprm e ao b b2... b ter. Allora l tema cogrueze lear

4 x b (mo x b2 (mo 2 x b (mo (5 è roluble. Ioltre etta x ua oluzoe partcolare la oluzoe geerale è ( x x + ove Z. 2 N Dmotrazoe: Sa N 2 e per og... a N. Allora per og ce o aveo per og ce alcu fattore prmo comue co egue che o ha fattor prm comue co N oa MCD( N. Pertato alla luce ella Propozoe 9.2 per og... la cogrueza leare ammette ua oluzoe c. Sa ora N x b (mo ( c N c. Famo u ce. Oervamo che per og ve N e qu ache N c. Pertato c N c + N c N c b (mo ove l'ultma cogrueza è ovuta al fatto che c verfca la (. Cò prova che c è ua oluzoe el tema (5. Sa ora Z. Allora eeo N (mo per og.. ha che x x b (mo per og... oa x è oluzoe el tema (5. Sa ora x ua oluzoe (5. Allora per og ce x x (mo qu ve x x. Poché gl oo a ue a ue coprm egue che l loro prootto oa N ve x x : cò è coegueza el Teorema Foametale ell'artmetca (Teorema 7.6. Allora per qualche Z x x N coè x x. Eempo 9. Il tema x x 2 (mo 4 6 (mo 7 è roluble. Ne etermamo la oluzoe geerale ecoo l procemeto cato ella motrazoe el Teorema Cee el Reto. S ha N N 7 N 2 4. Coeramo le cogrueze lear

5 7x 2 (mo 4 4x 6 (mo 7 Ua oluzoe ella prma è c 2 ua oluzoe ella ecoa è c 2 5. Qu la oluzoe geerale el tema è x Nc + N2c2 + N ove Z. La pù pccola oluzoe potva è x