Statistica Applicata all edilizia: alcune distribuzioni di probabilità

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1 Statistica Applicata all edilizia: Alcune distribuzioni di probabilità 23 marzo 2010

2 Indice Distribuzioni di probabilità discrete 1 Distribuzioni di probabilità discrete 2 La distribuzione Normale La distribuzione Esponenziale, Gamma e Chi-quadro

3 Indice Distribuzioni di probabilità discrete 1 Distribuzioni di probabilità discrete 2 La distribuzione Normale La distribuzione Esponenziale, Gamma e Chi-quadro

4 Esempio: Variazioni del tasso Euribor

5 Distribuzioni di probabilità L istogramma serve a descrivere i dati del campionamento. Il campione è un insieme scelti da una popolazione più ampia. La distribuzione di probabilità è un modello matematico che collega il valore della variabile alla probabilità che tale valore si trovi all interno della popolazione Esempio: è possibile considerare le variazioni del tasso Euribor come variabile casuale poichè assume valori diversi nella popolazione in conseguenza di meccanismi casuali.

6 Indice di simmetria dove Indice di curtosi β 1 = E[(X µ)3 ] σ 3 - β 1 = 0, nel caso di perfetta simmetria; - β 1 < 0, per l asimmetria a destra; - β 1 > 0, per l asimmetria a sinistra. e se γ 2 = β 2 3 dove β 2 = E[(X µ)4 ] σ 4 - γ 2 > 0, la curva si definisce leptocurtica (più appuntita ); - γ 2 < 0, la curva si definisce platicurtica, cioè più piatta di una normale; - γ 2 = 0, la curva si definisce normocurtica, cioè piatta come una normale.

7 Esercizio: Controllo di qualità di un processo produttivo Un azienda produttrice di materiale per l edilizia ispeziona ogni prodotto che esce dalla sua linea produttiva. Il prodotto può essere ritenuto buono o difettoso. L esperienza passata indica che il 5% dei pezzi prodotti è difettoso. Se si estraggono a caso 4 pezzi (in modo indipendente), determinare 1 qual è la probabilità di non estrarre alcun pezzo difettoso? 2 qual è la probabilità che ci sia almeno un pezzo difettoso? 3 qual è il valore atteso e la varianza dei pezzi difettosi;

8 La VCD Bernulliana La v.c. Bernulliana indica il numero di successi in una prova. Si considera un esperimento casuale che può dar luogo a due possibili risultati S: successo e S: insuccesso e sia p la probabilità di S. Definizione La variabile casuale Bernullliana (o indicatore) assume valore uno se si verifica S e zero altrimenti, ossia Distribuzione X = 1 se è vero S X = 0 se è vero S p (x) = { 1 p se x = 0 p se x = 1 Momenti E (X) = p; Var (X) = p(1 p).

9 La VCD Binomiale Bin(n, p) La v.c. Binomiale indica il numero di successi in n prove indipendenti Si ripete n volte un esperimento casuale che può dar luogo a due possibili risultati S: successo e S: insuccesso. Sia p la probabilità di S. L esperimento è ripetuto in modo che le n prove sono indipendenti; la probabilità di successo p non cambia di prova in prova. Definizione La variabile casuale discreta semplice X, numero di ripetizioni dell esperimento che danno luogo ad un successo, è chiamata variabile casuale Binomiale. Le possibili determinazioni della Binomiale sono: 0, 1, 2,..., n

10 Distribuzione binomiale: ( ) n p (x) = p x (1 p) n x, x = 0, 1,..., n x Momenti: E (X) = n xp (x) = x=0 n ( ) n x p x (1 p) n x = np x x=0 Additività: Var (X) = np (1 p) X Bin (n, p) indip Y Bin (m, p) Z = X + Y Bin (n + m, p)

11 Soluzione esercizio: Controllo di qualità di un processo produttivo

12 Esempi Distribuzioni di probabilità discrete 1 Estrazioni da un urna con rimessa 2 Se n = 1 si ha Bin (1, p) = B (p) 3 Distribuzione binomiale di parametri n = 5 e p = 1/3 con MATLAB: y = binopdf (0 : 5, 5, 1/3), bar([0 : 5], y), gridon)

13 Esempi sulla distribuzione di Poisson Esempio 1: numero di guasti Il numero di guasti di una macchina utilizzata per la produzione di materiale edile può essere considerata una variabile di Poisson. Sapendo che la macchina si guasta in media 5 volte al giorno, determinare: 1 che in una giornata non abbia nessun guasto; 2 la probabilità che ci siano almeno due guasti in mezza giornata. Esempio 2: analisi del fenomeno infortunistico Da alcuni studi è emerso che il numero di medio di incidenti mortali nel settore edile è pari a 2 incidenti alla settimana. Qual è la probabilità che in due settimane ci siano più di 5 incidenti?

14 La VCD di Poisson (λ) La variabile di Poisson X è una variabile casuale discreta che descrive il numero di realizzazioni di un evento aleatorio E per unità di tempo, superficie o volume. Si considera un evento che ricorre nel tempo in modo casuale (es: interruzioni di energia elettrica, chiamate a un centralino di pronto intervento, infortuni sul lavoro, incidenti stradali, richieste di intervento per manutenzione ecc.) in modo che: 1 Le variabili casuali N(t, t + t), numero di ricorrenze nell intervallo (t, t + t), hanno funzione di probabilità che dipende dall ampiezza dell intervallo t ma non dalla origine t ( assunzione di stazionarietà); 2 le variabili casuali N(t 1, t 2 ) e N(t 1, t 2 ) sono indipendenti se si riferiscono ad intervalli disgiunti.

15 Funzione di probabilità: Momenti: p(x) = (λ t)x e λ t x! Var(X) = E(X) = x=0 = λ t x=0 x (λ t)x e λ t = λ t x! x(x 1) (λ t)x e λ t + λ t (λ t) 2 = x!

16 Approssimazione della Binomiale: se n grande e p è piccolo Bin (n, p) = (λ = np) lim n np=λ ( n )p x (1 p) n x = λx x x! e λ Esempio: Dal punto di vista pratico se X è una binomiale con n = e π = è un problema calcolare p(x > 5) ma in base al precedente risultato tale probabilità può essere approssimata usando la f.d.p. di una Poisson con parametro λ = nπ = = 5.. matlab: y = poisspdf (0 : 20, 5), bar([0 : 20], y))

17 Esercizio Distribuzioni di probabilità discrete Il numero di guasti di una macchina utilizzata per la produzione di materiale edile può essere considerata una variabile di Poisson. Sapendo che la macchina si guasta in media 5 volte al giorno, determinare: 1 che in una giornata non abbia nessun guasto; 2 la probabilità che ci siano almeno due guasti in mezza giornata.

18 Indice Distribuzioni di probabilità discrete La distribuzione Normale La distribuzione Esponenziale, Gamma e Chi-quadro 1 Distribuzioni di probabilità discrete 2 La distribuzione Normale La distribuzione Esponenziale, Gamma e Chi-quadro

19 La distribuzione Normale La distribuzione Esponenziale, Gamma e Chi-quadro Un ingegnere deve studiare la resistenza alla compressione del cemento. Ipotizzando che la resistenza alla compressione sia una variabile casuale distribuita come una Normale con media µ = 3000 psi e varianza σ 2 = 1000psi, determinare la probabilità che un provino estratto a caso abbia una resistenza maggiore di 3200 psi.

20 La VCC Normale Standard N (0, 1) La distribuzione Normale La distribuzione Esponenziale, Gamma e Chi-quadro Densità di Z Ripartizione di Z Momenti φ (x) = 1 2π e 1 2 x 2 Φ (x) = x E (Z ) = 0 φ (t) dt Var (Z ) = E ( Z 2) = 1

21 La distribuzione Normale La distribuzione Esponenziale, Gamma e Chi-quadro Problema diretto: Aree = Probabilità: P (a < X < b) = b a φ (x) dx = Φ (b) Φ (a) Problema inverso: Quantili (Percentili): z α = Φ 1 (1 α) = z 1 α SIMMETRIA: P (Z < a) = P (Z > a) Kurtosi Φ (z) = 1 Φ ( z) z α = z 1 α EZ 4 = 3.

22 VCC Normale generica N ( µ, σ 2) Densità di X N ( µ, σ 2) Ripartizione di X Momenti Standardizzazione f ( x; µ, σ 2) = 1 σ φ ( x µ σ La distribuzione Normale La distribuzione Esponenziale, Gamma e Chi-quadro ) F ( x; µ, σ 2) ( ) x µ = Φ σ = 1 σ 1 2π e 2( x µ σ ) 2 E (X) = µ e Var (X) = σ 2 X N ( µ, σ 2) Z = X µ σ N (0, 1) Z N (0, 1) X = µ + σz N ( µ, σ 2)

23 La distribuzione Normale La distribuzione Esponenziale, Gamma e Chi-quadro Problema diretto: Aree = Probabilità: ( a µ P (a < X < b) = P < Z < b µ ) σ σ b µ ( ) ( ) σ b µ a µ = φ (x) dx = Φ Φ σ σ a µ σ Problema inverso: Quantili (Percentili): x α = µ + σφ 1 (1 α) = µ + σz α = x 1 α Unità di misura della gaussiana N ( µ, σ 2) è σ : P (µ σ < X < µ + σ) = 0.68 P (µ 2σ < X < µ + 2σ) = 0.95 P (µ 3σ < X < µ + 3σ) = 0.997

24 Esempio Distribuzioni di probabilità discrete La distribuzione Normale La distribuzione Esponenziale, Gamma e Chi-quadro La durata X in ore di una macchina, prima che si verifichi un guasto, segue una legge Esponenziale di valore atteso E(X) = 2 ore. 1 Calcolare la probabilità che il primo guasto si verifichi prima di un ora. 2 Calcolare la probabilità che il terzo guasto si verifichi dopo 3.45 ore, nell ipotesi che la realizzazione di due guasti successivi siano eventi indipendenti.

25 La VCC Esponenziale Exp(λ) La distribuzione Normale La distribuzione Esponenziale, Gamma e Chi-quadro La densità di probabilità è f (x) = λe λx La funzione di ripartizione è F(x) = 1 e λx Momenti E(X) = 1 λ Var(X) = 1 λ 2 La somma di n v.c. esponenziali, X 1, X 2,..., X n, indipendenti di parametro λ è una variabile Gamma di parametri n e λ X 1 + X X n = Y Ga(n, λ)

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