Meccanica dei Fluidi

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1 Meccanica dei Fluidi Siamo immersi in una grande massa di fluido, l'atmosfera terrestre; l'acqua degli oceani, dei mari e dei fiumi, ricopre più della metà della superficie terrestre. Sia in termini biologici che in termini economici, la nostra vita è legata indissolubilmente all'esistenza dei fluidi e quindi occorre saperne di più -PRESSIONE, PORTATA -MOTO STAZIONARIO, EQUAZIONE DI CONTINUITA -APPLICAZIONE AL SISTEMA CIRCOLATORIO -MOTO LAMINARE E TURBOLENTO -VISCOSITA` 12/3/07 G.Montagnoli 1

2 Gli stati della materia. Solido. Volume e forma propria. Poco comprimibile. Posizione media delle molecole fissa. Struttura ordinata (cristallo) ma non sempre (amorfo). Liquido Volume proprio (poco comprimibile), Forma del recipiente. Aeriforme Distanza intermolecolare media fissa. Molecole libere di scorrere. Volume e forma del recipiente. Alta comprimibilità. Molecole libere.!! LIQ AER "! SOL ρ S, ρ L dipende poco da P, T <<! LIQ ρ A dipende fortemente da P, T 12/3/07 G.Montagnoli 2

3 statica dei fluidi fluidi in quiete condizioni d equilibrio statico idrostatica è lo studio del comportamento dei liquidi in quiete e idrodinamica lo studio delle trasformazioni di energia dei liquidi in movimento una data massa di fluido non ha una forma propria Massa Densita` Forza Pressione 12/3/07 G.Montagnoli 3

4 Fluidi Fluido: liquido o gas; le molecole sono in grado di scorrere le une sulle altre; Gas: elevatissime compressibilità, bassa densità, volume del recipiente che li contiene Liquidi:compressibilità trascurabile, volume propri Pressione in un fluido: I fluidi sono normalmente CONFINATI in un recipiente. Lungo la superficie di contatto S il fluido risponde alla forza F con cui viene tenuto confinato con una REAZIONE uguale e opposta: si dice che esercita una PRESSIONE P=F/S 12/3/07 G.Montagnoli 4

5 La pressione è definita come una forza per unita` di area Pressione Stessa forza, diversa area diversa pressione La pressione di un fluido può essere vista anche come l energia del fluido per unita` di volume L/V 12/3/07 G.Montagnoli 5

6 p " d r F n ds F n n! F forza per unità di superficie (rapporto tra la forza normale alla superficie infinitesima ΔS e la superficie stessa ) ΔS S.I. N / m 2 pascal (Pa) 1 atmosfera = 760 mmhg 760 torr = Pa ds df La pressione e` una quantita` scalare ed è isotropa ossia non dipende dalla orientazione della superficie 12/3/07 G.Montagnoli 6

7 Proprieta` dei Fluidi 1. Fluidi in quiete Un fluido in quiete non può esercitare una forza tangente ad una superficie F 1 F 2 F 3 Nel caso di un corpo rigido se la somma delle forze e dei momenti è zero il corpo rimane in equilibrio mentre un fluido si mette in movimento: un fluido non ha alcun coefficiente di attrito statico (un fluido in movimento esercita invece su una superficie una forza parallela alla superficie stessa e l intensita` di questa forza cresce al crescere della velocita` ) 12/3/07 G.Montagnoli 7

8 Quando si cammina le giunture delle gambe sono ben lubrificate dal fluido sinoviale che spremuto attraverso la cartilagine riveste le giunture, questo lubrificante tende ad essere assorbito quando la giuntura è ferma aumentando l attrito e facilitando la posizione fissa. 12/3/07 G.Montagnoli 8

9 2. Il Principio di Pascal in un fluido ogni variazione di pressione esercitata sulla superficie libera di un fluido si trasmette inalterata a tutti i punti del fluido ed indifferentemente in tutte le direzioni. Se applichiamo una forza sul tappo della bottiglia La variazione della sezione del recipiente permette di moltiplicare la forza La pressione è trasmessa invariata in ogni parte del fluido nel recipiente chiuso Forza risultante sul fondo del recipiente Va aggiunta la forza dovuta al peso del liquido sovrastante Pressione idrostatica 12/3/07 G.Montagnoli 9

10 Forza in uscita Forza in ingresso Abbiamo moltiplicato la forza Il volume di fluido spostato deve essere uguale 12/3/07 G.Montagnoli 10

11 Effetto della gravita` sui Fluidi Sulla superficie terrestre il campo gravitazionale è responsabile del peso degli oggetti: come influenza la pressione idrostatica? Densita` ρ [kg/m 3 ] h h + dh Forza peso F p =mg= ρ Vg Forze di pressione F=[p(h+dh)- p(h)]s All equilibrio deve essere: p(h+dh)-p(h)= ρ V g /S= ρ dh g Dunque alla profondità z: p(h)=p atm + ρ h g Legge di Stevino 12/3/07 G.Montagnoli 11

12 La pressione di un fluido in quiete non dipende dalla forma del recipiente che lo contiene, dalla massa totale o dalla superficie 12/3/07 G.Montagnoli 12

13 P=ρgh ρ=densita` del fluido g=accelerazione di gravita` P 1 =ρgh P 2 =ρgh P 3 =ρgh P=ρgh P 1 = ρgh/2 = P 2 /2 P 2 = ρgh P 3 = 2ρgh =2 P 2 12/3/07 G.Montagnoli 13

14 p(h)=p(h o ) + ρ g(h-h o ) legge di Stevino Da cui segue che è consuetudine misurare le pressioni tramite altezze di fluidi: cmh 2 O, mmhg, p=ρ g h 1 cmh 2 O 10 3 kg/m 3 10 m/s m 100 Pa 1 mmhg kg/m 3 10 m/s m 133 Pa È una F/S: nel SI si misura in N/m 2 = pascal (Pa) 12/3/07 G.Montagnoli 14

15 La pressione IDROSTATICA nei sistemi biologici: Pc=100 mmhg 0.5 m 1.2 m Se assumiamo che la densità del sangue sia pari a quella dell acqua: p capo 100 mmhg / mmhg p piedi 100 mmhg / mmhg 12/3/07 G.Montagnoli 15

16 Misura della pressione del sangue con lo SFIGMOMANOMETRO Permette di misurare la pressione allo stesso livello del cuore Con lo sfigmomanometro si misura la pressione in un manicotto avvolto intorno al braccio in cui si pompa dell aria. La pressione misurata e` relativa a quella atmosferica. 1. Si pompa aria nel manicotto finche` l`arteria branchiale viene completamente chiusa 2. Si riduce lentamente la pressione nel manicotto (P m ) mentre con uno stetoscopio si ascoltano i rumori dell`arteria branchiale 3. Quando la pressione P m e` leggermente al di sotto della pressione sistolica (pressione di picco) prodotta dal cuore, l arteria si aprira` parzialmente 4. Il flusso del sangue e` turbolento e produce un rumore percepito dallo stetoscopio come un battito 5. La pressione P m viene ulteriormente abassata sino a raggiungere la pressione diastolica (pressione minima). A questa pressione il flusso e` ancora turbolento e rumoroso ma il suono e` continuo. In generale si indicano entrambe le pressioni sistolica/diastolica (es 120/80) Pressioni del sangue apprezzabilmente al di sopra di 140/90 richiedono l attenzione del medico 12/3/07 G.Montagnoli 16

17 Pressione atmosferica: il barometro di Toricelli P o 0 h=760mm di Hg P atm =P o +ρgh P atm La spinta di Archimede F A F P F A =ρ fluido Vg=spinta di Archimede F P =ρ corpo Vg=peso del corpo F R =F A -F P =forza risultante 12/3/07 G.Montagnoli 17

18 Il Principio di Archimede Qualunque corpo immerso in un fluido riceve una spinta verso l alto uguale al peso del fluido spostato F pres mg F pres è la spinta di Archimede. Un corpo che ha una densità diversa da quella del fluido in cui è immerso galleggerà o colerà a picco a seconda che la sua densità sia minore o maggiore di quella del fluido F peso =mg=ρ corpo gv diretto verso il basso F pres =ΔpS=ρ f ghs=ρ f gv f diretta verso l alto F R = F pres -F peso =ρ f V f g -ρ corpo Vg risultante diretta verso l alto se ρ f >ρ corpo (il corpo galleggia) diretta verso il basso se ρ f <ρ corpo (il corpo affonda) Il ragionamento vale anche nel caso di un gas 12/3/07 G.Montagnoli 18

19 Spinta di Archimede F A =ρ F gv immerso ρ < ρ F ρ > F A =ρ F gv immerso ρ F ρ = ρ F barca cdm sotto c.spinta*: equilibrio stabile cdm sopra c.spinta: equilibrio instabile 12/3/07 G.Montagnoli 19

20 Misura della densita` Misura della massa m Misura della massa m del corpo immerso in acqua m " m'= m f = # f V # = m V = m # f m " m' " f = m # m' V noto -determinazione della densita` di un oggetto per immersione in acqua o in generale in un liquido di densita` nota - determinazione della densita` di un liquido per immersione di un oggetto standard di volume noto 12/3/07 G.Montagnoli 20

21 Alcuni esempi La cannuccia Succhiando con forza attraverso una cannuccia, si può ridurre la pressione relativa nei polmoni fino a -40 mmhg. Calcolare l altezza massima da cui si può succhiare con una cannuccia, acqua (d=10 3 kg/m 3 ) oppure gin (d= kg/m 3 ) (0.54m; 0.6 m) P o -P=ρgh 12/3/07 G.Montagnoli 21

22 La trasfusione Durante una trasfusione di sangue intero, l ago è inserito in una vena dove la pressione è di 15 mmhg. A quale altezza rispetto alla vena deve essere posta la sacca? (0.2 m) 12/3/07 G.Montagnoli 22

23 Giraffa Qual è la pressione minima che deve essere prodotta dal cuore di una giraffa per far arrivare il sangue fino alla testa? La distanza tra il cuore e la testa in una giraffa è circa 200cm Pc = Pt + "gh Pc # Pt = "gh =10 3 $ 9.8 $ 2 =19600Pa = 0.193atm NB:Quando la giraffa abbassa la testa si verifica un notevole aumento di pressione ed esistono speciali accorgimenti anatomici per evitare conseguenze dannose Manometro P aria P h P=P aria +ρgh 12/3/07 G.Montagnoli 23

24 Sedimentazione e centrifugazione Molti processi di analisi sfruttano il principio della sedimentazione di particelle solide in un liquido: es: VES (velocità di eritrosedimentazione dei globuli rossi nel plasma sanguigno). Forza di attrito (Legge di Stokes): Spinta di Archimede: F A = ρ l Vg Dove d l è la densita del fluido A=6πηrv Forza peso: P = ρvg All equilibrio: F A + A = P 12/3/07 G.Montagnoli 24

25 v= 2(ρ-ρ l )g r 2 /9η dove r è il raggio della sfera, η il coefficiente di viscosita`, v la velocita` della sfera rispetto al fluido. nel caso della VES, sostituendo i valori normali, si trova una velocità di sedimentazione pari a v= 7 mm/h! Nel corso di processi infettivi la variazione di dimensione dei globuli comporta un aumento di v. Si tratta di un esame lungo : si potrebbe accorciare aumentando g. Questo è possibile usando una... 12/3/07 G.Montagnoli 25

26 ..centrifuga! 12/3/07 G.Montagnoli 26

27 ω particella mω 2 R R provetta 12/3/07 G.Montagnoli 27 x

28 In questo caso alla forza peso ( P=mg) si sostituisce la forza centrifuga (C=mg eff, dove g eff = Rω 2 con R raggio della centrifuga). Poiché la velocità di rotazione ω dipende dalla frequenza della centrifuga, che può raggiungere valori molto elevati, è possibile realizzare una accelerazione g eff pari a 10 4 g (10 6 g nelle ultracentrifughe!) 12/3/07 G.Montagnoli 28

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