Classificazione delle coniche.

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1 Classificazione delle coniche Ora si vogliono studiare i luoghi geometrici rappresentati da equazioni di secondo grado In generale, non è facile riconoscere a prima vista di che cosa si tratta, soprattutto quando è presente il termine in Ad esempio, l equazione = 0 rappresenta una parabola, ma noi non lo possiamo vedere facilmente dall equazione canonica, perchè è stata applicata una rotazione che ha fatto comparire il termine in Invece, l equazione 5 = 0 è molto più facile da studiare: infatti, si ha + 6 = 0; = Posto = =, si ottiene l equazione =, e così si vede subito che l equazione di partenz rappresenta una parabola traslata La nostra tecnica generale di studio sarà allora la seguente: Se l equazione di secondo grado non contiene il termine in, basta applicare il metodo del completamento dei quadrati, da interpretarsi poi come traslazione Se l equazione di secondo grado contiene il temine in, si cercherà di farlo sparire con un cambiamento di coordinate In quest ultima operazione, ci sarà di aiuto l algebra lineare, che ci suggerirà quale sia il migliore cambiamento di coordinate Tutti i cambiamenti di coordinate hanno come obiettivo quello di ridurre l equazione della conica in forma canonica

2 TEOREMA Data una qualsiasi equazione di secondo grado f; = 0, esiste sempre un cambiamento di coordinate che la porta ad una delle forme seguenti: α + β = γ; β = γ; β = γ Suppongo che tutti i coefficienti dell equazione canonica siano diversi da zero Nel primo caso abbiamo allora un iperbole oppure un ellisse L ellisse può anche essere IMMAGINARIA: un esempio di ellisse immaginaria è +8 = L ellisse immaginaria è rappresentata da un equazione che non ammette soluzioni reali, ma solo soluzioni immaginarie Nel secondo e nel terzo caso, abbiamo una parabola Quando uno solo dei coefficienti dell equazione canonica è nullo, si tratta di una conica degenere Nel caso ci sono due possibilità: Se γ = 0, si tratta di una coppia di rette distinte incidenti se α e β hanno segno diverso oppure di un singolo punto se α e β hanno lo stesso segno Ad esempio, l equazione = 0 rappresenta la coppia di rette = 0 e + = 0 Se α = 0 o, analogamente, β = 0, si tratta di una coppia di rette parallele, reali o immaginarie Ad esempio, l equazione = 4 rappresenta la coppia di rette reali = e =, mentre l equazione = 4 rappresenta una coppia di rette immaginarie, = i e = i Se γ = 0 nei casi e, si tratta di una retta 0 oppure = 0, contata due volte Considero una conica di equazione f; = 0 Poichè f è un polinomio di secondo grado, si può scrivere f; = a ; + a ; + a ; + a ; + a ; + a ; = 0 La matrice B = a ; a ; a ; a ; a ; a ; a ; a ; a ;

3 si dice MATRICE ASSOCIATA AD f La matrice a; a A = ; a ; a ; si dice MATRICE DEI TERMINI DI SECONDO GRADO DI f Con un calcolo diretto, si vede facilmente che f; = B e che a ; + a ; + a ; = A Il cambiamento di coordinate che vogliamo eseguire ha la forma: a = P + b a La matrice rappresenta una traslazione b p; p La matrice P = ; è una matrice ortogonale che rappresenta p ; p ; una rotazione p ; p ; a Posto Q = p ; p ; b, risulta 0 0 e = Q, = t Q Siano B e A la matrici della stessa equazione, trasformata con il cambiamento di coordinate Allora, risulta nelle nuove coordinate

4 B Inoltre, B = t Q BQ, e quindi B = t Q BQ Analogamente, si vede che A = P AP = t P AP Dunque, A e A sono simili Poichè detq = detp =, si ha detb = detb, e B e B hanno lo stesso rango Data ora la conica di equazione a ; + a ; + a ; + a ; + a ; + a ; = 0, il problema è trovare la matrice P che fa scomparire il termine in Poichè si ha A = P AP, è sufficiente che P diagonalizzi A Essendo A una matrice reale simmetrica, esiste una matrice ortogonale P tale che P AP = t P AP sia una matrice diagonale e abbia sulla diagonale gli autovalori di A Inoltre, P può essere scelta in modo tale che detp = In conclusione, se si pone = P nel nuovo sistema di riferimento cartesiano scompare il termine in A questo punto, effettuando una traslazione, si ottiene l equazione canonica desiderata Considero la conica di equazione Le matrici associate sono: ESEMPIO, = 0 B =

5 e A = Gli autovalori di A sono: λ = e λ = 4 Gli autovettori corrispondenti sono: v = e v = Quindi, P = Applicando la seguente trasformazione di coordinate: =, cioè + = +, si ottiene la nuova equazione: = 0 Mediante la traslazione = + =, si ricava infine l equazione canonica: + =, che rappresenta un ellisse in forma canonica TEOREMA 5

6 Sia f; = a ; + a ; + a ; + a ; + a ; + a ; = 0 una conica Se la conica ha un centro cioè è un ellisse oppure un iperbole, allora le coordinate ; del centro sono soluzioni del sistema lineare a ; + a ; + a ; = 0 a ; + a ; + a ; = 0 Sia TEOREMA f; = a ; + a ; + a ; + a ; + a ; + a ; = 0 un iperbole Sia g; = a ; + a ; + a ; la componente di secondo grado Allora, la conica g ; = 0 è una coppia di rette distinte, r ed r Gli asintoti dell iperbole sono le due rette passanti per il centro parallele ad r ed r Sia TEOREMA f; = a ; + a ; + a ; + a ; + a ; + a ; = 0 una conica NON DEGENERE Allora, se a ; a ; a ; B = a ; a ; a ; a ; a ; a ; 6

7 e P = 0 ; 0 è un punto della conica, la retta tangente alla conica esiste, è unica e ha equazione 0 0 B ESERCIZI = 0 Studiare le seguenti coniche; trovare la loro equazione canonica e scrivere il cambiamento di riferimento canonico = 0; = 0; = 0; = 0; = 0; = 0; = 0; 8 + = 0; = 0; = 0 Al variare del parametro t R, classificare le seguenti coniche: t + t t = 0 Trovare l equazione canonica delle parabole Al variare del parametro h R, classificare le seguenti coniche: + h h = 0 Per quali valori di h la conica ha centro sulla retta? SOLUZIONI La conica è una parabola Equazione canonica: = 5 Riferimento { = Vertice: 0; Fuoco: ;

8 La conica è un iperbole Equazione canonica: + = Riferimento Centro: ; { Fuochi: + 0 ; + = e ; Asintoti: = ; = La conica è un iperbole Equazione canonica: { = Riferimento + 9 = Centro: ; Fuochi: 5 e 0 + ; Asintoti: ; ; La conica è data da un solo punto, ; 5 La conica è un ellisse Equazione canonica: { = Riferimento ; + 0 = e ; + 4 Centro: 7 4 ; Fuochi: La conica è una parabola Equazione canonica: = Riferimento { = + 95 Vertice: 8 ; Fuoco: 6 4 ; La conica { è un iperbole Equazione canonica: = Riferimento = Centro: ; Vertici: A = ; ; A = ; Assi:, = Fuochi: F = ; ; F = ; 8 La conica è un iperbole equilatera { Equazione canonica: + = Riferimento + = + + Centro: ; Assi: + = 0; = 0 Asintoti: ; = Vertici: 0; ; ; 0 Fuochi: F = + ; + ; F = + ; + 8

9 9 La conica è { un iperbole Equazione canonica: = Riferimento = 5 + Centro: 0; 0 Assi: = 0; = 0 Asintoti: = 0; = 4 Vertici: A = 4 5 0; 5 0 ; A = 5 4 0; 5 0 Fuochi: F = ; ; F = ; 0 La conica è un ellisse Equazione canonica: + = Riferi- { 5 mento Centro: + 5 ; Assi: + = + + = 0; + = 0 Vertici: A = ; ; A = 7; ; B = 5 ; + F = ; ; B = 5 + ; Fuochi: F = ; 0; Per t = 0: due rette parallele: = 0 e = Per t = 5: due rette incidenti: + 5 = 0 e = 0 Per t = + 5: due rette incidenti: + 5 = 0 e = 0 Per t > 0, t < 4, t 5; t + 5, abbiamo iperboli Per 4 < t < 0, la conica è un ellisse reale Per t = 4, la conica è una parabola Equazione canonica: = Riferimento Per h = 6 { = q : 4 7 : due rette reali incidenti Per h =, h = : la conica è una parabola Per h >, h <, h q un iperbole Per < h < : la conica è un ellisse Per h =, h = la conica ha centro sulla retta, la conica è 9