Corsi di Laurea dei Tronchi Comuni 2 e 4 Dr. Andrea Malizia Prof. Maria Guerrisi

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1 Corsi di Laurea dei Tronchi Comuni e 4 Dr. Andrea Malizia Prof. Maria Guerrisi Lezione 7 Viscosità, pressione, vasi comunicanti Barometro di Torricelli Legge di Stevino Principio di Archimede Portata, Flusso, Corrente Equazione di Continuità Lezione 7

2 FLUIDI Comprendono i liquidi e i gas I fluidi possono fluire o scorrere, e quindi, a differenza dei solidi, non riescono a sostenere staticamente uno sforzo di taglio I liquidi, a differenza dei gas, sono essenzialmente incomprimibili, quindi la loro densità si può considerare (approssimativamente) costante La meccanica dei fluidi si divide in Statica Dinamica Lo studio concerne non solo i fluidi, ma anche i corpi immersi in essi o le pareti che li contengono

3 3 Fluidi Riguarderemo i fluidi come sistemi continui, caratterizzati da densità r e composti di elementi di massa dm e volume dv: In realtà la materia di cui sono fatti i fluidi ha struttura discreta, cioè è costituita di atomi e molecole Considerarli sistemi continui è un utile approssimazione I fluidi possono trasmettere sforzi: Nei liquidi grazie alle forze intermolecolari a corto raggio d azione Nei gas grazie alle collisioni tra le molecole che li costituiscono

4 4 VISCOSITÀ In un fluido in moto lo sforzo può trasmettersi anche perpendicolarmente alla direzione lungo cui è applicata la sollecitazione Questo è possibile grazie ad una grandezza fisica propria dei fluidi detta viscosità (e indicata con ) Quando c è scorrimento relativo tra due elementi di fluido, compaiono sull area di contatto forze tangenziali d attrito interno I due elementi esercitano l uno sull altro due forze uguali e contarie (3 principio)

5 5 Viscosità In un fluido in equilibrio statico non ci sono forze viscose, quindi le condizioni di equilibrio sono le stesse per fluidi viscosi e non viscosi Non esiste il corrispondente dell attrito statico: in assenza di moto (v=0) non c è attrito viscoso Per semplicità si considera spesso il caso ideale in cui la viscosità sia nulla e la densità sia uniforme (fluido ideale)

6 6 PRESSIONE In un intorno di un punto P qualunque di una superficie a contatto con un fluido, consideriamo una superficie infinitesima di area da Su di essa il fluido agisce con una forza df Definiamo (in termini differenziali) la pressione come forza per unità di superficie: La forza df, e quindi la pressione, possono variare da punto a punto della superficie, perciò abbiamo usato la definizione differenziale

7 7 Pressione TH: la forza esercitata da un fluido in equilibrio statico su una superficie è perpendicolare alla stessa, punto per punto DIM: se esistesse una componente parallela, il fluido scorrerebbe e non sarebbe in condizioni statiche

8 8 PRESSIONE In un fluido in equilibrio statico la pressione non dipende dalla giacitura della superficie su cui agisce Consideriamo un volume di fluido a forma di prisma, le cui sezioni con i piani verticali xz siano un triangolo rettangolo z y x z y x

9 9 Pressione Consideriamo la sezione contenente il CM del prisma (per simmetria è quella mediana) Le risultanti delle forze di pressione sulle facce, F, F, F 3, siano applicate ai punti P, P, P 3 Il fluido è in equilibrio, usiamo la a eq. cardinale F F 3 sin F F 3 cos W F z P W CM x P 3 F 3 P F

10 Pressione In termini di pressione: p A p 3 A 3 sin p A p 3 A 3 cos rvg F z P W l CM x F 3 P 3 P 0 Esprimendo le aree in funzione dei lati p zy p ly sin p xy p E semplificando 3 3 p P p 3 P 3 ly cos rxyzg F p P p 3 P 3 zrg

11 Pressione Se facciamo tendere le dimensioni del prisma a zero, mantenendo fisso il CM: E quindi la pressione non dipende dalla giacitura della superficie su cui agisce p r CM p 3 r CM p r CM p 3 r CM p p p 3

12 Legge di Stevino TH: in un fluido in equilibrio statico nel campo di gravità la pressione aumenta linearmente con la profondità DIM: sia dato un elemento cilindrico di fluido di volume V, base A e altezza z -z L equilibrio statico impone che la forza risultante sia nulla Nel piano xy questo è dovuto alla simmetria W p, z p, z z

13 3 Legge di Stevino Lungo z le forze di pressione e la forza peso devono bilanciarsi Detta r la densità del fluido W V r p A W p A p p p g p r z z g A A Se le quote differiscono per un infinitesimo p p p rgz Abbiamo cioè la versione differenziale della legge p rg z

14 4 Legge di Pascal Orientiamo z verso il basso e poniamo come origine (z=0) la superficie limite del liquido, sia p 0 la pressione esterna agente su tale superficie, abbiamo pz p 0 rgz Ogni variazione della pressione esterna comporta un uguale cambiamento della pressione in ciascun punto del fluido

15 5 PRESSA IDRAULICA E` un applicazione della legge di Pascal E` formata da due contenitori idraulici a tenuta C e C, collegati da un condotto e dotati di due pistoni scorrevoli di area A e A Applicando una forza F sul pistone, la pressione in ogni punto del fluido aumenta di p F A Sul pistone questo aumento di pressione si traduce in una forza F pa F A A F F A C C

16 6 Vasi comunicanti L altezza raggiunta da un liquido in vasi comunicanti e` uguale in tutti i vasi: h =h Il principio si dimostra con la legge di Stevino: la pressione sulla superficie libera è uguale per i diversi vasi, così come quella alla base Ne segue che la differenza di pressione è uguale per i diversi vasi, il che si traduce in un uguale altezza delle colonne di fluido p rgh p rgh h h

17 7 PARADOSSO IDROSTATICO La pressione dipende solo dall altezza del fluido sovrastante e non dalla sua massa Quindi nei tre contenitori in figura, la pressione sul fondo e` la stessa, nonostante la massa del fluido sia diversa nei tre casi Ciò è dovuto al fatto che le pareti contribuiscono con una forza che si compone col peso del fluido Pressione all interno del contenitore

18 8 BAROMETRO DI TORRICELLI E` costituito da un tubo di vetro aperto ad un estremita` e riempito di mercurio e da una vaschetta contenente mercurio in cui capovolgere il tubo Esso servì a dimostrare per la prima volta che l atmosfera ha un peso ed è usato ancor oggi per misurare la pressione atmosferica (barometro di Fortin) La pressione esercitata dalla colonna di mercurio di altezza h e` bilanciata dalla pressione atmosferica agente sulla h superficie libera del mercurio nella p vaschetta rgh p

19 9 MANOMETRO A LIQUIDO E` costituito da un tubo a U riempito da un liquido di densita` nota r Serve per misurare una differenza di pressione (o pressione differenziale) p p 0 rgh

20 0 SUPERFICI ISOBARICHE Dalla legge di Stevino Vediamo che per z=costante la pressione è costante Ma z=costante rappresenta un piano orizzontale Superfici di questo tipo per cui la pressione è costante si dicono isobare

21 FORZA DI ARCHIMEDE Sia dato un corpo di peso M e densità r immerso in un fluido di densità r f Esiste una forza, detta di Archimede, che agisce sul corpo, uguale al peso del volume di fluido occupato dal corpo e diretta in direzione opposta al suo peso Il corpo sia delimitato da una superficie S Immaginiamo un secondo corpo, fluido, delimitato dalla stessa superficie S e costituito dello stesso fluido in cui è immerso S

22 FORZA DI ARCHIMEDE Poiché il fluido è in equilibrio, il corpo fluido è pure in equilibrio, questo significa che la sua forza peso W f è bilanciata dalla forza risultante A dovuta all azione della pressione del fluido esterno sulla superficie S, quindi A W f M f g Vr f g Ove V è il volume comune dei due corpi e M f è la massa del corpo fluido Ma la forza A dipende solo dalla superficie S e non da quello che essa contiene Ne segue che A agisce anche sul primo corpo A W A W

23 3 Forza di Archimede La forza risultante è infine W A Mg M f g Vr r f E ha verso uguale al peso (il corpo tenderà a scendere nel fluido) o opposto (tenderà a salire) a seconda del segno della differenza delle densità g

24 4 Forza di Archimede Abbiamo visto che la forza di Archimede, bilanciando il peso del corpo fluido, è applicata nel suo CM Se soltanto una parte del corpo è immersa, la forza di Archimede è relativa a questa parte soltanto Poiché il primo corpo può avere il CM in un punto diverso dal corpo fluido (corpo non omogeneo, ad esempio una barca), avremo in generale anche un momento risultante A W A Situazione di non equilibrio W

25 5 GALLEGGIAMENTO DI UNA BARCA G: centro di gravita` della barca B: centro di spinta di Archimede M: metacentro : rappresenta il punto per il quale ruota la retta d'azione della spinta idrostatica per tutte le piccole inclinazioni. f: angolo di inclinazione f

26 6 GALLEGGIAMENTO Iceberg in equilibrio statico W A G W A B Ovvero r i V i g r V g Da cui troviamo il volume immerso V V a i a ri r a a

27 7 MISURA DI DENSITA` DI UN LIQUIDO: DENSIMETRO Sia m la massa del densimetro, A sia la sezione dello stelo su cui e` incisa una scala che permette di leggere la lunghezza immersa h dello stelo Sia V 0 il volume del bulbo W A All equilibrio mg rv g rv im 0 Ahg Da cui la densita` del liquido r V 0 m Ah

28 MISURA DI DENSITA` DI UN CORPO SOMMERSO Mediante un dinamometro (misurazione forza a molla) si eseguono due misure, la prima con il corpo in aria e la seconda con il corpo immerso in un liquido di densita` nota r L 8 T ' T W W V r T Vg rvg A T r Vg ' T T r L g T T T ' r L L W T W T A

29 9 TUBO DI FLUSSO Tutte le linee di corrente che passano attraverso una generica superficie attraversata dal fluido, individuano un tubo di flusso Un condotto chiuso, se riempito completamente di fluido, è un esempio di tubo di flusso, in cui la superficie in questione è una generica sezione del condotto Per un tubo finito, possiamo definire una superficie laterale e due superfici di base In situazione stazionaria le linee di flusso non possono intersecare la superficie laterale

30 30 PORTATA Consideriamo un tubo di flusso di sezione ds (e area da) perpendicolare alle linee di corrente Il volume di fluido che attraversa ds nel tempo dt è pari al volume del solido di base ds e altezza vdt dv davdt da vdt v

31 3 PORTATA Il volume di fluido passato nell unità di tempo prende il nome di portata dq dv dt vda La portata ha dimensioni q L 3 T E l unità di misura è il m 3 /s

32 Corsi di Laurea in Tecnici di Laboratorio Biomedico, Dietistica e Tecnici della Prevenzione 3 PORTATA, FLUSSO, CORRENTE Il concetto di portata in idrodinamica e` analogo al concetto di flusso e di corrente in altri ambiti Portata volumica dv q va dt Flusso di massa Corrente elettrica Ove dm dt J rv r m dv dt i r va dq dt m A e` la densita` di corrente d rev dt J m dv re dt Supposta la velocita` uniforme sulla superficie r va e J e A

33 33 EQUAZIONE DI CONTINUITA` Supponiamo che il tubo di flusso cambi sezione Siano ds e ds le sezioni diverse del tubo e consideriamo il volume di fluido contenuto nel tubo tra queste sezioni In condizioni stazionarie il fluido può soltanto entrare da ds e uscire da ds ma non dalla superficie laterale del tubo di flusso La massa entrante da ds e quella uscente da ds sono ds ds da v dt v da v dt v dm r dv r v da dt dm r dv r v da dt

34 EQUAZIONE DI CONTINUITA` 34 Poiche la massa si conserva, esse devono essere uguali dm dm r v da r v da dm dt ds rvda dv r dt const.

35 35 CONSERVAZIONE DELLA PORTATA Se la densita` e` uniforme, la si puo` eliminare dalle eqq., ottenendo q q Cioe`, se il fluido è incompressibile, in un dato intervallo di tempo, tanto volume entra da S quanto ne esce da S, in quanto non è possibile che il volume tra le due sezioni vari riducendosi o espandendosi Ne segue che la portata attraverso le due sezioni è uguale

36 36 LEGGE DI LEONARDO Usando il valore medio della velocità sulla sezione, la portata può scriversi q v A E su sezioni di area diversa, il teorema precedente diviene v A v A Ovvero area e velocità sono inversamente proporzionali

37 37 DENSITA` DELLE LINEE DI FLUSSO Siano N le linee di flusso contenute in un tubo di flusso, la loro densita` superficiale sulle due basi e` n N n N A A Tali densita` sono quindi inversamente proporzionali all area della sezione attraversata e, per la legge di Leonardo, direttamente proporzionali alla velocita` del fluido nelle sezioni n n A A v v

38 38 Consideriamo un tubo di flusso e due sezioni perpendicolari S, S Supponiamo che la velocità del fluido su ciascuna sezione abbia un valore uniforme v, v S ds =v dt z S Nell intervallo dt la sezione S si trasformerà nella sezione S e la sezione S nella sezione S e la massa di fluido che al tempo t si trova tra S e S, al tempo t+dt si troverà tra S e S ds =v dt S S z LEGGE DI BERNOULLI

39 39 S ds =v dt z Il volume di fluido contenuto tra le sezioni S e S e quello contenuto tra S e S è S Per la legge di Leonardo, i volumi sono uguali; le corrispondenti masse sono pure uguali dv A ds A v dt dv A ds A v dt ds =v dt dm dm rdv ra v dt dm dm rdv ra v dt S S z LEGGE DI BERNOULLI

40 40 Applichiamo la conservazione dell energia meccanica alla massa di fluido che al tempo t si trova tra S e S e al tempo t+dt si trova tra S e S S S ds =v dt z ds =v dt S S z LEGGE DI BERNOULLI

41 4 Basterà quindi applicare la conservazione dell energia alle due masse dm, dm Il lavoro delle forze di pressione e di gravità dev essere uguale alla variazione di energia cinetica Lavoro della forze di gravità S ds =v dt z S ds =v dt dw g dmgz z Le forze di pressione agiscono sulle sezioni S, S, e sulle pareti laterali del tubo S S z LEGGE DI BERNOULLI

42 4 Queste ultime (le forze sulle pareti laterali sono perpendicolari al fluido) compiono lavoro nullo, in quanto in assenza di viscosità la forza è perpendicolare alla superficie laterale e quindi al moto del fluido Il lavoro delle forze di pressione agenti sulle sezioni è S dw p p dv p dv p p dv S La variazione di energia cinetica è ds =v dt z dk dm v dm v dm v v ds =v dt S z S LEGGE DI BERNOULLI

43 dw g dw p dk 43 Abbiamo dunque E dividendo per il volume S dmgz z p p dv dm v v S rgz z p p r v v Ovvero, vista l arbitrarietà delle sezioni ds =v dt z rgz rv p rgz rv p const. ds =v dt S z S LEGGE DI BERNOULLI

44 44 I risultati calcolati con questa legge sono casi limite, poiché in un fluido reale bisogna sempre spendere lavoro contro gli attriti Quindi c.p. la variazione di velocità del fluido sarà minore di quanto calcolato LEGGE DI BERNOULLI

45 Serve per misurare la velocità e la portata di un fluido in un condotto 45 E` dotato di un manometro differenziale M per la misura della pressione Applichiamo la legge di Bernoulli alle sezioni e, entrambe alla stessa quota media z rv p rv p v v p p M r TUBO DI VENTURI

46 46 Usando l eq. di continuita`, possiamo esprimere la velocita` in in termini della velocita` in A A v A v v v A Per la velocita` otteniamo v r M p p A A A TUBO DI VENTURI

47 47 p e` anche detta pressione totale e p pressione statica, mentre il termine /rv e` detto pressione dinamica Un tubo di Pitot è infatti fornito di due prese di pressione, una all'estremità anteriore disposta tangenzialmente alla corrente (presa totale) e una sul corpo del tubo disposta perpendicolarmente al flusso (presa statica). Come da definizione, la differenza tra queste due pressioni (la pressione dinamica, ottenibile con l'utilizzo di un manometro differenziale opportunamente collegato alle due prese) risulta proporzionale al quadrato del modulo della velocità del fluido Ne segue p r rv p v p p TUBO DI PITOT

48 Corsi di Laurea in Tecnici di Laboratorio Biomedico, Dietistica e Tecnici della Prevenzione 48 Descrive la velocita` di efflusso di un bacino Applichiamo Bernoulli notando che la pressione nei punti e e` uguale a quella atmosferica Quindi rgz rv gz v p rgz Applichiamo la conservazione della portata alle sezioni e A v gz A v v rv p LEGGE DI TORRICELLI

49 Corsi di Laurea in Tecnici di Laboratorio Biomedico, Dietistica e Tecnici della Prevenzione 49 Se A >> A, la velocità v è trascurabile e otteniamo: v v g z z g z z Che è uguale alla velocità di caduta libera dalla medesima altezza LEGGE DI TORRICELLI

50 Corsi di Laurea in Tecnici di Laboratorio Biomedico, Dietistica e Tecnici della Prevenzione 50 ) ) 3) 4) 5) RIFERIMENTI