Sistemi di più particelle
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- Massimiliano Pagani
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1 Sistemi di più particelle Finora abbiamo considerato il modo di una singola particella. Che cosa succede in sistemi di molte particelle, o in un sistema non puntiforme? Scomponendo il sistema in N particelle puntiformi, avremo bisogno di molte variabili per descriverne il moto: N masse m i, i = 1,..., N N posizioni r i (3N coordinate), N velocità v i = d r i /dt N accelerazioni a i = d v i /dt, legate alle N forze f i da f i = m i a i. Una grossa semplificazione si ha quando si può trattare il sistema come un corpo rigido, ovvero come non deformabile: In un corpo rigido, le posizioni relative di tutte le particelle che compongono l oggetto rimangono costanti. Tutti gli oggetti reali sono più o meno deformabili, ma il modello del corpo rigido è molto utile in tutti i casi in cui la deformazione è piccola.
2 Centro di Massa Possiamo descrivere il moto del sistema in modo più comodo e più semplice che con N leggi di Newton? Introduciamo il Centro di Massa. Per due particelle di massa m 1 ed m 2 su di una retta nelle posizioni x 1 e x 2, la posizione del centro di massa x cm è data da x cm = m 1x 1 + m 2 x 2 m 1 + m 2 Notare come il centro di massa è nel centro della congiungente le due particelle se m 1 = m 2 ; in caso contrario, il centro di massa è spostato verso la particella più pesante.
3 Centro di Massa (2) In tre dimensioni: r cm = m 1 r 1 + m 2 r 2. Per molte particelle: m 1 + m 2 r cm = i m i r i = 1 m i r i, dove M = i M m i è la massa totale. i m i Oggetto esteso: dividiamo in cubetti r cm = 1 M i m i r i Nel limite di cubetti infinitesimi r cm = 1 rdm M i diventa un integrale sul volume.
4 Un esempio di centro di massa per un oggetto Il calcolo del centro di massa di un oggetto non è in generale semplice, ma lo è per oggetti di densità costante e di forma semplice. Esempio: Una sbarra di densità lineare λ = M/L costante, dm = λdx, da cui x cm = 1 M L 0 = 1 L 2 L 2 = L 2 xλdx = λ M x 2 2 L 0 Si è sfruttata la simmetria del sistema per semplificare la massimo il calcolo (integrale unidimensionale invece che tridimensionale). Notare che il risultato non è altro che il centro della sbarretta.
5 Moto del centro di massa Qual è il vantaggio di aver introdotto il centro di massa? Consideriamo il suo moto: M d r cm dt d r 1 = m 1 dt + m d r 2 2 dt +... = i m i d r i dt ovvero M v cm = m 1 v 1 + m 2 v = i m i v i Deriviamo di nuovo: M a cm = m 1 a 1 + m 2 a = i m i a i Per la II legge di Newton, m i a i = f i, forza agente sulla i-esima particella: M a cm = i f i
6 M a cm = i Moto del centro di massa II Le forze agenti sulle particelle si possono dividere in due categorie: Forze interne, esercitate dalle altre particelle del sistema, e Forze esterne, esercitate da agenti esterni al sistema. Possiamo quindi scrivere f i,ext + i f i,int ma per la terza legge di Newton, i f i,int = 0! In conclusione, il moto del centro di massa è determinato unicamente dalla risultante delle sole forze esterne: M a cm = i f i,ext = F ext
7 Moto del centro di massa: esempio Una chiave inglese su di una superficie priva di attrito. La chiave segue un moto relativamente complesso di rotazione, ma il suo centro di massa: il puntino bianco nella foto, esegue un moto rettilineo uniforme, in quanto la risultante delle forze esterne agenti sul corpo è nulla.
8 Quantità di Moto La Quantità di Moto: p = m v per una particella (o oggetto descrivibile come una particella) di massa m e velocità v, è una grandezza molto importante in Fisica. La quantità di moto è una grandezza vettoriale, diretta come la velocità, che può essere espressa in componenti p x = mv x, p y = mv y, p z = mv z ha le dimensioni di una massa per una lunghezza diviso un tempo; nel SI si misura in kg m/s, oppure in N s. Si può riformulare la II legge di Newton usando la quantità di moto: m a = m d v dt = d(m v) dt = d p dt = F
9 Conservazione della Quantità di Moto Per un sistema composto di molte particelle, la quantità di moto totale è la somma vettoriale delle singole quantità di moto: P = i p i = i m i v i, ovvero P = M Vcm dove M = m i è la massa totale del sistema, V cm = 1 M i velocità del centro di massa. E immediato dimostrare che d P dt = F ext i m i v i la dove F ext è la risultante delle sole forze esterne al sistema (le forze interne al sistema sono tutte coppie di azione e reazione e si elidono). In assenza di forze esterne, la quantità di moto totale è conservata.
10 Conservazione della Quantita di Moto, esempio Quantita di moto iniziale: p~1 = p~2 = 0 Quantita di moto finale: p~1 + p~2 = 0 (ci sono solo forze interne!) Supponiamo m1 = 100 kg, v1 = 5 m/s, m2 = 50 kg. Quanto valgono p e v2? Quanta energia (lavoro) e stata fornita da ciascuno dei due? p = 100 kg 5 m/s=500 kg m/s m2v2 = p da cui v2 = 10 m/s Lavoro fatto da 2 su 1: L1 = m1v12/2 = p2/(2m1) = 1250 J Lavoro fatto da 1 su 2: L2 = m2v22/2 = p2/(2m2) = 2500 J
11 Decadimento di particelle Il mesone K 0 neutro decade spontaneamente in altre due particelle (cariche), π + e π (dette pioni). Se inizialmente il K 0 è a riposo, i due pioni hanno quantità di moto uguali e opposte in direzione, in quanto P K = 0, non agiscono forze esterne, quindi P + P + = 0. La conservazione della quantità di moto vale anche in questo sistema, molto differente da quello precedente!
12 Collisioni In una collisione, due oggetti si avvicinano e interagiscono fortemente per un tempo molto breve. Durante il breve tempo di collisione, qualunque forza esterna è molto più piccola della forza di interazione fra gli oggetti. Di conseguenza le sole forze importanti agenti sul sistema dei due oggetti sono le forze di interazione, uguali e opposte, così che la quantità di moto totale del sistema non cambia nella collisione. Il tempo di collisione è di solito così breve che lo spostamento degli oggetti durante la collisione è trascurabile.
13 Impulso e quantità di moto L impulso di una forza è il vettore I = tf t i F dt, dove ti e t f sono tempi iniziali e finali (tipicamente di una collisione). Si misura in N s. Se F è la forza netta agente su di una particella durante l urto, l impulso è la variazione della quantità di moto durante la collisione: I = tf t i F dt = tf t i d p dt dt = p f p i = p. Si definisce la forza media F che agisce durante la collisione tramite l impulso: F = I. t f t i In figura: integrale della forza come area e confronto con forza media.
14 Collisioni in una dimensione Due particelle di massa m 1 ed m 2 su di una retta. La particella 1 viaggia con velocità v 1i e urta la particella 2 che viaggia con velocità v 2i nella stessa direzione (v 1i > v 2i perché la collisione avvenga). Chiamiamo v 1f e v 2f le velocità finali dopo la collisione (tutte le velocità possono essere positive o negative). Per la conservazione della quantità di moto: m 1 v 1i + m 2 v 2i = m 1 v 1f + m 2 v 2f...ma questo non basta a stabilire le velocità finali date le velocità iniziali. Serve informazione addizionale dipendente dal tipo di collisione. I due casi per i quali la soluzione è semplice sono: Collisione perfettamente anelastiche Collisione perfettamente elastiche
15 Collisioni perfettamente anelastiche in una dimensione Nelle collisioni perfettamente anelastiche le particelle rimangono attaccate dopo la collisione e proseguono come una sola particella di massa m 1 + m 2 e velocità v 1f = v 2f = v f. Per la conservazione della quantità di moto: m 1 v 1i + m 2 v 2i = (m 1 + m 2 )v f = v f = m 1v 1i + m 2 v 2i m 1 + m 2 In tre dimensioni: v f = m 1 v 1i + m 2 v 2i m 1 + m 2 Cosa succede all energia cinetica? Si conserva o no?
16 Collisioni anelastiche, bilancio energetico Per semplicità consideriamo il caso in cui una particella di quantità di moto p incide su di una particella ferma. Energia cinetica iniziale: K i = m 1v = p2 2m 1 Energia cinetica finale: K f = (m 1 + m 2 )vf 2 2 (perchè p è conservato). = p 2 2(m 1 + m 2 ) K f < K i sempre! L energia cinetica iniziale è in parte persa in energia termica, energia di deformazione, etc.
17 Collisioni elastiche Consideriamo ora il caso di urti elastici, ovvero in cui l energia cinetica è conservata. Conservazione della quantità di moto: Conservazione dell energia cinetica: m 1 v 1i + m 2 v 2i = m 1 v 1f + m 2 v 2f 1 2 m 1v 2 1i m 2v 2 2i = 1 2 m 1v 2 1f m 2v 2 2f
18 Collisioni elastiche in una dimensione Consideriamo il caso elastico unidimensionale. Date masse note e velocità iniziali note, le velocità finali sono univocamente determinate: v 1f = m 1 m 2 m 1 + m 2 v 1i + 2m 2 m 1 + m 2 v 2i, v 2f = 2m 1 m 1 + m 2 v 1i + m 2 m 1 m 1 + m 2 v 2i Se v 2i = 0 (particella 1 in moto incidente su particella 2 ferma): v 1f = m 1 m 2 m 1 + m 2 v 1i, v 2f = 2m 1 m 1 + m 2 v 1i Notare i due casi limite per v 2i = 0: particella incidente pesante (m 1 >> m 2 ): v 1f v 1i, v 2f 2v 1i particella incidente leggera (m 1 << m 2 ): v 1f v 1i, v 2f 0
19 Collisioni in una dimensione, riassunto Tipi di collisioni: perfettamente anelastiche: dopo l urto le particelle restano attaccate. C e perdita di energia cinetica. (perfettamente) elastiche: le particelle rimbalzano l una sull altra, senza perdita di energia cinetica. anelastiche: le particelle collidono con perdita di energia cinetica ma non restano attaccate. Quindi: La quantità di moto è sempre conservata in qualunque urto L energia cinetica è conservata solo negli urti elastici
20 Collisioni in tre dimensioni Il caso perfettamente anelastico si tratta come in una dimensione: (m 1 + m 2 ) v f = m 1 v 1i + m 2 v 2i. Nel caso elastico, la traiettoria dopo l urto dipende dalla geometria dell urto. Qui sotto, un esempio di urto radente di una particella in moto incidente su di una ferma. La traiettoria finale dipenderà da b, parametro d urto.
21 Collisioni in tre dimensioni II La soluzione generale del problema diventa un po complessa. Vediamo il caso speciale di particella incidente su una in quiete di massa uguale. Usiamo la conservazione della quantità di moto e facciamone il quadrato: p 1i = p 1f + p 2f = p 2 1i = p 2 1f + p 2 2f + 2 p 1f p 2f Dalla conservazione dell energia cinetica per m 1 = m 2 = m: p 2 1i 2m = p2 1f 2m + p2 2f 2m = p2 1i = p 2 1f + p 2 2f da cui p 1f p 2f = 0, ovvero le due particelle proseguono in direzioni ortogonali, a meno che p 1f = 0.
22 Moto del centro di massa: problema Un proiettile lanciato ad un angolo θ = 36.9 con velocità iniziale v = 24.5 m/s si frammenta in due pezzi di massa uguale nel punto più alto della traiettora. Uno dei frammenti cade giù in verticale. Dove atterra l altro? Soluzione: Il CM prosegue la sua traiettoria sotto l effetto della forza di gravità, atterrando a distanza x cm = R dall origine (punto di partenza). R = v 2 0 sin(2θ)/g è la gittata. La proiezione sull asse x del punto più alto della traiettoria dista x 1 = R/2 dall origine. Di conseguenza: R = x cm = x 1m 1 + x 2 m 2 = mr/2 + mx 2 m 1 + m 2 2m ovvero x 2 = 3R/2. Con i dati del problema: R = 58.8 m, x 2 = 88.1 m.
23 Problema classico: pendolo balistico Il proiettile si conficca dentro al blocco, che di conseguenza si muove e sale fino ad una quota h. Qual è la velocità v del proiettile in entrata? Si assume nota la massa del proiettile, m 1, e del blocco, m 2. La soluzione si fa in due passi distinti: Conservazione della quantità di moto per l urto anelastico fra proiettile e blocco: vale v 1A = m 1 + m 2 v B m 1 Conservazione dell energia per il successivo moto del blocco con il proiettile: m 1 + m 2 vb 2 = (m 1 + m 2 )gh 2 Infine: v 1A = m 1 + m 2 2gh m 1
24 Energia potenziale gravitazionale di un oggetto Nella soluzione dell esercizio precedente si è trascurato il fatto che il pendolo balistico è un oggetto esteso. Qual è l energia potenziale gravitazionale di un corpo? Dimostriamo che l energia potenziale gravitazionale di un corpo è la stessa che se tutta la massa fosse concentrata nel centro di massa: ( ( U = i m i gh i = g m i h i ) = g m i ) h cm = Mgh cm i i dove h cm = 1 M m i h i i
25 Problema: una collisione veramente elastica m 1 = 1.6 kg, v 1 = 4 m/s; m 2 = 2.1 kg, v 2 = 2.5 m/s; costante della molla k = 600 N/m, niente attriti. Qual è la velocità dei due blocchi dopo la collisione?
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