Esercizi svolti di Statica e Dinamica

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1 Esercizi svolti di Statica e Dinaica 1. La assa è sospesa coe in figura. Nota la costante elastica k della olla, deterinarne l allungaento in condizioni di equilibrio. 1.6 Kg ; θ 30 ; k 10 N -1 θ Il diagraa di corpo libero del punto di intersezione delle funi è ostrato in figura. Applicando la condizione di statica del punto ateriale si ha: r r r T + T + P 0 1 T1 sen θ T sen θ 0 T1 cos θ + T cos θ P 0 da cui si ricava: P T1 T cos θ Per le proprietà delle funi ideali, la tensione sulla olla è pari in odulo a T 1. L allungaento della olla è dato perciò dalla legge di Hook: g T 1 k ; 4.5 c cos θ k T r 1 T r P r

2 . Una acchina di Atwood è realizzata collegando le asse 1,, 3 coe ostrato in figura. La assa della carrucola è trascurabile; è trascurabile anche l attrito. Nella condizione iniziale, le asse 1, salgono, e la assa 3 scende, con velocità costante. Ad un certo punto la assa si sgancia. Deterinare l accelerazione delle rianenti asse. 1 Kg ; 1 Kg 1 3 Nella condizione iniziale le accelerazioni sono nulle. Quindi, con riferiento ai diagrai di corpo libero in figura, e tenendo conto delle proprietà della fune supposta ideale: ( P + P ) T1 1 0 T P3 0 T1 T T e quindi P 3 P 1 + P, da cui: Kg Nella condizione finale, le equazioni diventano, tenendo conto del vincolo cineatico: T1 P1 1 a1 T P3 3 a3 T1 T T a1 a3 a da cui si ricava: 3 1 a g s T r 1 T r r r P 1 + P P r 3

3 3. Una boccola di assa M scivola su un asse verticale in presenza di attrito, descritto dal coefficiente di attrito cineatica µ d. La forza preente F può essere regolata agendo sulla vite laterale. Deterinare il valore di F, affinché la boccola scivoli a velocità costante. M. Kg ; µ d 0.10 A velocità costante l accelerazione è nulla, e l equazione di Newton diventa: r r r r Fa + P + F + R 0 R F 0 Fa P 0 Fa µ d R da cui: P g F 16 N µ µ d d F r P r F r a R r

4 4. Un corpo di assa scivola su un piano orizzontale in presenza di attrito. Siano µ s e µ d i coefficienti di attrito statico e dinaico rispettivaente. a) Se il corpo si uove inizialente alla velocità v o, deterinare il tepo t che occorre perché esso si feri. b) Deterinare la forza F che è necessario applicare per riettere il corpo in oviento. 1.4 Kg ; µ s 0.3 ; µ d 0. ; v o s -1 La II equazione di Newton è nella fase iniziale: r r r Fa + P + R 0 Fa a R P 0 Fa µ d R da cui: µ d P a s La legge del oto uniforeente accelerato dà quindi: v vo + a t da cui, iponendo v 0, si ricava: v t o 11 s a Per riettere in oviento il corpo è necessario vincere l attrito di stacco, ed applicare quindi una forza F µ s P 4 N F r a P r R r

5 5. Un corpo di assa scivola su un piano in presenza di attrito. Siano µ s e µ d i coefficienti di attrito statico e dinaico rispettivaente. a) Se il corpo è inizialente fero, si deterini la inia forza F che perette di etterlo in oviento; b) supponendo che tale forza continui a spingere il corpo, deterinare la velocità v che esso acquisisce dopo un tepo t. 1.9 Kg ; µ s 0.30 ; µ d 0.15 ; t.4 s Un istante pria dello stacco, la II equazione di Newton è: r r r r F + Fa + P + R 0 F Fa 0 R P 0 Fa µ s R da cui: F µ s P 5.6 N Iediataente dopo lo stacco, invece: r r r r r F + Fa + P + R a F r a R r P r F r F Fa a R P 0 Fa µ d R da cui si ricava: F µ d P a 1.5 s La legge del oto uniforeente accelerato dà quindi: v a t 3.5 s -1

6 6. Una assa 1 è trascinata lungo un piano inclinato liscio da una fune legata alla assa, coe in figura. Deterinare la tensione della fune. 1.5 Kg ; 5 Kg ; θ 30 1 θ Conviene usare due sistei di riferiento diversi per descrivere i due punti ateriali. Il riferiento indicato in figura è usato per la assa 1 ; per la assa si usa un asse verticale. Le equazioni della dinaica per i due punti ateriali: r r r r R1 + T1 + P1 1 a1 r r r T + P a si proiettano dando: T1 P1 senθ 1 a1 T P a con i vincoli: T1 T T a1 a a Risolvendo si ha: 1senθ a g 4.9 s T g ( 1 + senθ ) 4.5 N 1 + R r 1 P r 1 T r 1 T r P r

7 7. Una assa 1 è trascinata lungo un piano inclinato liscio da una fune legata alla assa, coe in figura. Deterinare l accelerazione delle asse. 1 θ 1 6 Kg ; 3 Kg ; θ 30 Conviene usare due sistei di riferiento diversi per descrivere i due punti ateriali. Il riferiento indicato in figura è usato per la assa 1 ; per la assa si usa un asse verticale. Le equazioni della dinaica per i due punti ateriali: r r r r R 1 + T1 + P1 1 a1 r r r T + P a si proiettano dando: T1 + P1 senθ 1 a1 T P a con i vincoli: T1 T T a1 a a Risolvendo si ha: + 1senθ a g 6.5 s T g ( 1 senθ ) 9.8 N 1 + P r 1 R r 1 T r 1 T r P r

8 8. Una sferetta di assa ruota con velocità angolare costante ω. La sferetta è trattenuta sulla traiettoria circolare da una olla che ha una lunghezza a riposo l, e un coefficiente elastico k. Deterinare il raggio della circonferenza. 10 g ; ω 3.4 s -1 ; l 1 c ; k 15 N -1 La II equazione della dinaica, proiettata in direzione centripeta, è in questo caso: k l a c ω ( l + l) da cui si ricava: ω l l 1. c k ω

9 9. Una sferetta di assa ruota con velocità angolare costante ω su una circonferenza di raggio r. La sferetta è trattenuta sulla traiettoria circolare da una olla che ha una lunghezza a riposo l. Deterinare il coefficiente elastico k della olla. 30 g ; ω 11 s -1 ; r 8 c ; l 7 c La II equazione della dinaica, proiettata in direzione centripeta, è in questo caso: k l a c ω r con l r l 1 c da cui si ricava: ω r k 0 N -1 l

10 10. Un pendolo conico ha assa e lunghezza l. Nell ipotesi che esso ruoti a una velocità angolare ω, si deterini: a. la tensione T della fune; b. l angolo θ. 100 g ; l 1 ; ω 5 rad/s ω r θ Il pendolo è soggetto alle forze T r, P r. L equazione del oto è orizzontale centripeto e verticale, si ha: T senθ a c ω r ω l senθ T cosθ P 0 da cui: T ω l.5 N cosθ T P 0.39 ; θ 67 r r r T + P a. Proiettando su un asse

11 11. Un pendolo conico ha assa e lunghezza l. Dato l angolo θ, si deterini: a. la tensione T della fune; b. la velocità angolare ω. 50 g ; l 10c ; θ 10 ω r θ Il pendolo è soggetto alle forze T r, P r. L equazione del oto è orizzontale centripeto e verticale, si ha: T senθ a c ω r ω l senθ T cosθ P 0 da cui: P T T 0.5 N ; ω 10 s -1 cos θ l r r r T + P a. Proiettando su un asse

12 1. Un oggetto di assa si trova nella regione di spazio prossia a una stella doppia, sicché risente dell azione cobinata della gravità dovuta alle asse M 1 ed M. Deterinare odulo, direzione e verso del vettore forza F r tot sulla assa. M Kg ; M Kg ; Kg ; G 6, N kg - Coordinate: M K 1 0 M 10 8 K K M 1 M I oduli delle forze Fr 1 e F r valgono rispettivaente: M1 F 1 G N r1 ( r K ) M F G N r ( r K ) Per soare le due forze si deve tenere conto delle differenti direzioni di 1 e F r. Conviene soare i vettori per coponenti: θ M 1 M F 1 -F 1 cosθ π cos N F F cosθ π cos N F tot 0 F 1 -F 1 senθ π cos N F -F senθ π cos N F tot F 1 + F N Infine, F tot tot tot F + F N

13 13. Un oggetto di assa si trova nella regione di spazio prossia a una stella doppia, sicché risente dell azione cobinata della gravità dovuta alle asse M 1 ed M. Deterinare il odulo del vettore forza F r tot sulla assa. M M Kg ; M Kg ; 10 0 Kg ; G 6, N kg - M 1 Coordinate: M K 1 0 M K 10 8 K 0 I oduli delle forze Fr 1 e F r valgono rispettivaente: M1 F 1 G N r1 ( r K ) M F G N r ( r K ) Per soare le due forze si deve tenere conto delle differenti direzioni di 1 e F r. Conviene soare i vettori per coponenti: M 1 M θ F 1 -F N F 1 0 F -F cosθ π cos F F senθ π cos N N F tot F 1 + F N F tot F 1 + F N Infine, F tot tot tot F + F N

14 14. Un auto percorre una curva di raggio r a velocità v. Noto il coefficiente di attrito statico tra ruote e l asfalto µ s, si deterini il assio valore possibile di decelerazione, pria che l auto sbandi Kg ; r 50 ; v 15 s -1 ; µ s 0.5 In questo problea l unica forza che agisce sull auto è la forza di attrito statico col suolo. La seconda legge della dinaica si scrive quindi: r r a F a Coe il vettore accelerazione, anche il vettore F r a ha sia una coponente centripeta, che una tangenziale. Proiettando l equazione sugli assi del sistea tangente si trova quindi: F a F t c t v r Dalla seconda equazione si ricava il valore F c N. D altro canto, la assia forza di attrito che l asfalto può applicare vale: Fa µ s g N Il assio valore che F t può assuere è liitato dalla condizione che il odulo della forza di attrito sia proprio uguale a F a. Quindi. F t c + F F a F t a F c F N da cui, infine: at Ft. s 1 Si noti che: a) a t è il odulo dell accelerazione tangenziale; la coponente tangenziale dell accelerazione è negativa; b) questo valore è olto inore di quello possibile in rettilineo, dato F 1 da a 5 s