Y = ax 2 + bx + c LA PARABOLA

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1 LA PARABOLA La parabola è una figura curva che, come la retta, è associata ad un polinomio che ne definisce l'equazione. A differenza della retta, però, il polinomio non è di primo grado, ma è di secondo grado. Abbiamo visto, infatti, che ad ogni retta del piano cartesiano è associata una ben precisa equazione, ed ogni equazione è associata ad una ben precisa retta. Inoltre sappiamo che l'equazione associata ad una retta non è una qualsiasi equazione, ma ha una forma generica ben precisa: Y = mx + q Le cui caratteristiche sono: E' sempre di primo grado Contiene due variabili: la X detta variabile indipendente (ad essa posso assegnare valori a piacere), e la Y detta variabile dipendente (il suo valore non è libero ma calcolato in funzione del valore assegnato alla X). Esempio: Y = 3X + 2 Per la parabola esiste lo stesso tipo di associazione con la differenza che il polinomio al secondo membro dell'equazione non è di primo ma di secondo grado. L'equazione così assume la seguente forma generica: Y = ax 2 + bx + c dove a, b e c sono 3 numeri qualsiasi. Esempio: Y = 2X 2 + 3X -4 Osservazione Il valore del coefficiente a deve essere diverso da zero (a 0) altrimenti l'equazione tornerebbe ad essere di primo grado. I valori dei coefficienti b e c, invece, possono anche essere uguali a zero, generando equazioni in cui possono mancare il termine in x oppure il termine noto. Appartenenza di un punto ad una parabola Data una parabola ed un punto P del piano cartesiano è possibile chiedersi se il punto P appartenga o meno alla parabola. E' evidente che la risposta a questa domanda sarà sì se il tracciato grafico della parabola passa per il punto P no se il punto P resta al di fuori del tracciato grafico della parabola. Come spiegato nei precedenti moduli nessuna informazione può essere tratta dalla rappresentazione grafica di parabola e punto, ma va giustificata per via algebrica. Possiamo, quindi, dire che un punto appartiene ad una parabola se le sue coordinate ne soddisfano l'equazione rendendola un'uguaglianza VERA. Esempio Consideriamo la parabola di equazione Y = 2X 2 + 3X - 4 ed i punti P = (1;1) e Q = (1;2). Sostituendo le coordinate del punto P nell'equazione della parabola otteniamo:

2 1 = 2*1 + 3*1-4 che è un'uguaglianza vera. Ciò mi consente di dire che il punto P appartiene alla parabola. Sostituendo le coordinate del punto Q nell'equazione della parabola otteniamo: 2 = 2*1 + 3*1-4 che è un'uguaglianza falsa. Ciò mi consente di dire che il punto Q non appartiene alla parabola. Il tutto è verificato anche graficamente come si può vedere nella figura seguente. Rappresentazione, sul piano cartesiano, della parabola di equazione assegnata Per rappresentare una parabola sul piano cartesiano non è più sufficiente determinarne due punti dall'equazione che ci viene assegnata. La parabola è infatti una linea curva e non retta. Vediamo allora in che modo è possibile rappresentare graficamente una parabola tenendo conto che, in ogni caso, la rappresentazione ottenuta non sarà precisa come quella di una retta. 1. Definire l'apertura della parabola (verso l'alto o verso il basso). 2. Definire le coordinate del punto V (vertice della parabola). 3. Definire il punto di intersezione della parabola con l'asse Y. 4. Definire, se esistono, i punti di intersezione della parabola con l'asse X. 1. Definire l'apertura della parabola (verso l'alto o verso il basso). La disposizione dell'apertura di una parabola può essere verso l'alto o verso il basso. Questa caratteristica dipende unicamente dal segno del coefficiente della X 2 (a): Se a è positivo l'apertura sarà verso l'alto. Se a è negativo l'apertura sarà verso il basso. Come si vede nel seguente grafico la parabola di equazione Y = 2X 2 + 3X 1 (che ha il coefficiente a = 2) ha l'apertura verso l'alto; mentre la parabola di equazione Y = -3X 2 + 2X + 2 (che ha il

3 coefficiente a = -3) ha l'apertura verso il basso. 2. Definire le coordinate del punto V (vertice della parabola). Per una parabola che ha l'apertura verso l'alto il vertice rappresenta il punto più basso del tracciato grafico. Viceversa, per una parabola che ha l'apertura verso il basso il vertice rappresenta il punto più alto del tracciato grafico. Il Vertice è quindi un punto del piano cartesiano e sarà individuato da due coordinate. L'ascissa (X) del vertice si ottiene dall'equazione della parabola tramite la seguente formula: Xv= b 2a L'ordinata (Y) del vertice si ottiene sostituendo il valore appena ottenuto della X nel testo dell'equazione.

4 Come si può vedere dal grafico precedente la parabola di equazione Y = 2X 2-4X + 1 (con a = 2 e b = -4) ha il vertice nel punto V di coordinate (1;-1). Infatti l'ascissa (X) del vertice viene calcolata dalla formula Xv= b 2a = = 4 4 =1 Mentre l'ordinata (Y) viene calcolata sostituendo il valore trovato per l'ascissa nell'equazione della parabola: Y = 2*1 2 4*1 + 1 = = Definire il punto di intersezione della parabola con l'asse Y. Come per la retta anche per la parabola esiste il punto in cui il tracciato grafico incontra l'asse Y. A differenza della retta, che talvolta non prevedeva tale punto (ad esempio in rette verticali), la parabola ha sempre un unico punto di intersezione con l'asse verticale. Anche nel caso della parabola tale punto si legge direttamente nell'equazione, essendo rappresentato dal termine noto. Esempi: La parabola di equazione Y = 2X 2 + 3X 1 incrocia l'asse Y nel punto di coordinate (0;-1). La parabola di equazione Y = -X 2 + 2X + 5 incrocia l'asse Y nel punto di coordinate (0;5). Da osservare che il termine noto può anche mancare (cioè c=0), in tal caso la parabola incrocia l'asse Y nel punto di ordinata 0. La parabola passa per l'origine! La parabola di equazione Y = 2X 2 + 3X incrocia l'asse Y nel punto di coordinate (0;0). 4. Definire, se esistono, i punti di intersezione della parabola con l'asse X. Per poter rappresentare una parabola è infine stabilire quali sono i punti in cui il tracciato grafico incrocia l'asse X. Tali punti possono essere due oppure uno oppure nessuno. Ciò dipende dalle soluzione dell'equazione di secondo grado che deriva dall'equazione della parabola. Per definire tali punti è quindi necessario definire e risolvere l'equazione. Esempi Data la parabola di equazione Y = X 2 5X + 6, definire i suoi punti di intersezione con l'asse X. Imposto l'equazione X 2 5X + 6 = 0 che risolvo Individuo i coefficienti: a = 1 b = -5 c = 6 Calcolo il Δ (delta) con la formula Δ=b 2 4ac Il valore del Δ mi dice quante sono le soluzioni dell'equazione secondo la seguente regole:

5 Δ>0 2 soluzioni Δ=0 1 soluzione Δ<0 0 soluzioni Nel nostro esempio avremo: Δ= =25 24=1 Δ=1 quindi 2 soluzioni Il valore delle soluzioni viene determinato tramite la seguente formula x= b± Δ 2a Nel nostro esempio avremo: x= 5 ± = 5±1 2 Da questo calcolo si ottengono due valori, uno eseguendo l'operazione con il segno + (più), l'altro eseguendo la stessa operazione con il segno (meno). I valori finali per la x sono dunque x = 2 e x = 3 In definitiva i punti di intersezione con l'asse X sono il punto A=(2;0) ed il punto B=(3;0) Osservazione Abbiamo visto che in base al segno del delta l'equazione può avere due, una o nessuna soluzione. Di conseguenza i punti di intersezione tra la parabola e l'asse x possono essere due, uno o nessuno. Accade, infatti, che, come visto nell'esempio precedente con un delta positivo si ottengano due soluzioni e quindi due intersezione. Ma può accadere che il delta sia uguale a zero e quindi l'equazione abbia una soluzione e la parabola di conseguenza una sola intersezione. Oppure che il delta sia negativo e quindi l'equazione non abbia soluzioni e la parabola di conseguenza nessuna intersezione con l'asse X. Esempio di rappresentazione Rappresentare la parabola di equazione Y = X 2 5X + 6 Individuo i coefficienti: a = 1 b = -5 c = 6 Definizione della concavità Dato che il coefficiente a è positivo la concavità (apertura) sarà rivolta verso l'alto. Definizione delle coordinate del vertice Xv= b 2a = = 5 2

6 Calcolo l'ordinata del vertice Yv= = = 2 4 = 1 4 Di conseguenza il punto V = 5 2 ; 1 4 è il vertice della nostra parabola L'intersezione con l'asse Y è il punto A=(0;6), mentre come visto nell'esempio precedente le i due punti di intersezione con l'asse X sono B=(2;0) e C=(3;0) Vediamo la rappresentazione Posizione sul piano di rette e parabole Se si rappresentano sullo stesso piano cartesiano una retta ed una parabola possiamo analizzare quanti possono essere i punti di intersezione tra i due grafici. E' abbastanza semplice verificare che possono verificarsi tre situazioni diverse: Retta Secante: la retta incrocia la parabola in due punti Retta Tangente: la retta incrocia la parabola in un solo punto Retta Esterna: la retta non incrocia la parabola Abbiamo visto lo scorso modulo che per definire il punto di intersezione tra due rette è necessario impostare e risolvere il sistema tra le equazioni delle due rette. Allo stesso modo per definire i punti di intersezione tra una retta ed una parabola è necessario impostare e risolvere il sistema tra le loro equazioni. Dal seguente grafico si può vedere come la retta r di equazione y = x 2 si secante alla parabola incrociandola in due punti A=(2;0) e B=(4;2). La retta s di equazione y = x 3 è invece secante incrociando la parabola solo nel punto C=(3;0). La retta t di equazione y = x 5 è infine esterna poiché non incrocia mai la parabola.

7 Ancora una volta è utile sottolineare che queste informazioni non si deducono osservando il grafico, ma effettuando gli opportuni calcoli algebrici.