Analisi Statistica per le Imprese (6 CFU) - a.a Prof. L. Neri RICHIAMI DI STATISTICA DESCRITTIVA UNIVARIATA

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1 Analisi Statistica per le Imprese (6 CFU) - a.a Prof. L. Neri RICHIAMI DI STATISTICA DESCRITTIVA UNIVARIATA 1

2 Distribuzione di frequenza Punto vendita e numero di addetti PUNTO VENDITA Addetti Quanti sono i punti vendita con 3 addetti? Addetti frequenza TOTALE 9 2

3 Misure di Posizione (o di Tendenza Centrale) Nella maggior parte degli insiemi di dati, le osservazioni mostrano una tendenza a raggrupparsi attorno a un valore centrale. Risulta in genere quindi possibile selezionare un valore tipico per descrivere un intero insieme di dati. Tale valore descrittivo è una misura di posizione o di tendenza centrale. Tipi di misure di posizione: Media Mediana Moda Quartili 3

4 Esempio: sono stati raccolti i dati relativi alla performance (1Yr$Ret=rendimento percentuale a un anno) di un campione di 194 fondi di investimento, suddivisi in 59 a capitalizzazione integrale (Object=1) e 135 misti (Object=2). Per una corretta ed efficace analisi statistica dei dati, essi devono essere strutturati nella forma della matrice dei dati: N Fund 1Yr$Ret Object 1 Alliance Capital A GrowInc Berger SmCoGrow Jurika & Voyles Kaufmann Baron Funds BanRosSC MainStay Inst MainPwrGr Vanguard Index Inst Vanguard Index Nome Variabili Unità statistica 4

5 Misure di posizione: la Media 1/3 La media aritmetica è la misura di posizione più comune. Si calcola dividendo la somma dei valori osservati per il numero totale di osservazioni. 5

6 Misure di posizione: la Media 2/3 Un esempio: studiamo i 17 fondi comuni azionari che prelevano le commissioni di commercializzazione direttamente dalle attività del fondo (Group = 1). La media si presenta come un punto di equilibrio tale che le osservazioni più piccole bilanciano quelle più grandi. Il calcolo della media si basi su tutte le osservazioni (X 1, X 2, X 3,..., X n ) dell insieme di dati, proprietà questa che non è presentata da nessun altra misura di posizione comunemente usata. 6

7 Misure di posizione: la Media 3/3 Commento: quando usare la Media Aritmetica Proprio perché il calcolo della media si basa su tutte le osservazioni, tale misura di posizione risulta influenzata da valori estremi. In presenza di valori estremi, la media aritmetica fornisce una rappresentazione distorta dei dati ed è pertanto opportuno in questi casi ricorrere ad altre misure di posizione. Se dal campione rimuoviamo il fondo Mentor Merger (rendimento = 10.0) che possiamo considerare come un outlier (dato anomalo), ricalcolando la media otteniamo un valore pari a 31,11. 7

8 Misure di posizione: la Mediana 1/2 La mediana è il valore centrale in una successione ordinata di dati. Commento: La mediana non è influenzata dalle osservazioni estreme di un insieme di dati: nel caso di osservazioni estreme è quindi opportuno descrivere l insieme di dati con la mediana piuttosto che con la media. REGOLA 1. Se l ampiezza del campione è un numero dispari, la mediana coincide con il valore centrale, vale a dire con l osservazione che occupa la posizione (n + 1)/2 nella serie ordinata delle osservazioni. REGOLA 2. Se l ampiezza del campione è un numero pari, la mediana allora coincide con la media dei valori corrispondenti alle due osservazioni centrali. 8

9 Misure di posizione: la Mediana 2/2 9

10 Misure di posizione: i Quartili 1/2 Mentre la mediana è un valore che divide a metà la serie ordinata delle osservazioni, i quartili sono misure descrittive che dividono i dati ordinati in quattro parti. REGOLA 1. Se il punto di posizionamento è un numero intero, si sceglie come quartile il valore dell osservazione corrispondente. REGOLA 2. Se il punto di posizionamento è a metà tra due numeri interi, si sceglie come quartile la media delle osservazioni corrispondenti. REGOLA 3. Se il punto di posizionamento non è né un intero né a metà tra due numeri interi, una regola semplice consiste nell approssimarlo per eccesso o per difetto all intero più vicino e scegliere come quartile il valore numerico dell osservazione corrispondente. 10

11 Misure di posizione: i Quartili 2/2 11

12 Misure di posizione: quantili 2/3 Analogamente ai quartili si possono definire e calcolare tutti gli altri quantili di una distribuzione, come ad esempio: Decili D10, D20,..,D90, D100 Percentili P1, P2, P99, P100 12

13 Misure di posizione: la Moda La moda è il valore più frequente in un insieme di dati. A differenza della media, la moda non è influenzata dagli outlier. NOTA: un insieme di dati può non avere moda, se nessuno valore è più tipico o può avere più mode. 13

14 Misure di variabilità Una seconda caratteristica importante di un insieme di dati è la variabilità: la quantità di dispersione presente nei dati. Due insiemi di dati possono differire o nella posizione o nella variabilità oppure sia nella posizione che nella variabilità. Principali misure di variabilità: Varianza Scarto Quadratico Medio» Coefficiente di variazione 14

15 Misure di variabilità: la Varianza La varianza e lo scarto quadratico medio, sintetizzano la dispersione dei valori osservati attorno alla loro media. 15

16 Misure di variabilità: lo Scarto Quadratico Medio 16

17 Misure di variabilità: il Coefficiente di Variazione A differenza delle altre misure di variabilità, il coefficiente di variazione è una misura relativa, espressa come una percentuale e non nell unità di misura dei dati. Il coefficiente di variazione, indicato con il simbolo CV, misura la dispersione nell insieme di dati relativamente alla media. NOTA: Il coefficiente di variazione è particolarmente utile quando si confrontano le variabilità di due o più insiemi di dati che sono espressi in unità di misura diverse. 17

18 Il diagramma a Scatola e Baffi (Boxplot) 2/3 Il diagramma scatola e baffi o (o boxplot) fornisce una rappresentazione grafica dei dati sulla base dei cinque numeri di sintesi. Linea verticale al centro della scatola mediana Linea verticale a sinistra della scatola Q 1 Linea verticale a destra della scatola Q 3 Linea tratteggiata a sinistra minimo Linea tratteggiata a destra massimo 18

19 Il diagramma a Scatola e Baffi (o Boxplot) 3/3 Per valutare la relazione che sussiste tra i metodi di analisi esplorativa dei dati, come il diagramma scatola e baffi, e le rappresentazioni grafiche, come i poligoni, consideriamo la Figura, nella quale sono riportati i diagrammi scatola e baffi e i poligoni relativi a quattro ipotetiche distribuzioni. NOTA: l area sottostante a ciascuna curva è divisa nei quartili corrispondenti ai cinque numeri di sintesi su cui si basa il diagramma scatola e baffi. 19

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