IL TRIANGOLO. Teorema di Pitagora. Il triangolo è un poligono avente tre lati.

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1 IL TRIANGOLO Il triangolo è un poligono avente tre lati. FORMULE AREA: Il triangolo è equivalente a metà parallelogramma. A = (b x h) : da cui: b= A : h e h= A : b TRIANGOLO RETTANGOLO (a, b cateti; c ipotenusa) Teorema di Pitagora a= c b b= c a c= a +b Tr. rettangolo emiquadrato (α=β=45 ; γ=90 ; a=b) Interpretazione geometrica delle formule A=a 3 =0,866 a Cioè 0,866 il quadrato di lato a c=a da cui a= c A= a oppure A= c 4 Tr. rettangolo emiquilatero (α=30 ; β=60 ; γ=90 ) b=a 3 c= a da cui a= b 3 3 A=a 3 oppure A=b 3 6 oppure A= ab TRIANGOLO EQUILATERO (α=β=γ=60 a=b=c=l) h= l h 3 da cui l= 3 3 A= 1 ( l 3 x l)=l 3 4 cioè 0,43 l² ovvero il 43% del quadrato costruito sul lato cioè 0,88 il quadrato di lato b. Il quadrato di lato b contiene quasi 3,5 volte il triangolo (verifica con un quadrato di lato con b=10 cm, rispettando gli angoli di 30 e 60 ) A= a A= c 4 A=b 3 6 =0,88b l'area del triangolo è metà del quadrato di lato a l'area del triangolo è, anche, un quarto del quadrato di lato c

2 ANGOLI DI UN TRIANGOLO ANGOLI DI UN TRIANGOLO QUALSIASI In un triangolo qualsiasi ( α+β +γ) = 180 e (δ+λ+ε) = 360 quindi: α=180 - (β+γ) β =180 - (α+γ) γ =180 - (α+β) Ogni angolo esterno è adiacente all'angolo interno aventi lo stesso vertice: δ= α λ= γ ε= β Ogni angolo esterno è uguale ai due angoli interni non adiacenti ad esso: δ= (β+γ) λ= (α+β) ε= (α+γ) ANGOLI DI UN TRIANGOLO ISOSCELE In un triangolo isoscele due angoli sono congruenti: α = γ = (180 - β) : β = α Il triangolo equilatero ha: α = γ = β = 60 δ= λ= ε= 10 ANGOLI DI UN TRIANGOLO RETTANGOLO In un triangolo rettangolo gli angoli acuti sono complementari: γ = 90 - β β = 90 - γ In un triangolo rettangolo isoscele: γ = β = 45 In un triangolo rettangolo emiquilatero: γ = 30 β= 60

3 LATI DI UN TRIANGOLO TRIANGOLO QUALSIASI In un triangolo qualsiasi ogni lato è minore della somma e maggiore della differenza degli altri due lati: a< b +c e a > b c b< a+c e b >a c c < b a e c > b+a TRIANGOLO ISOSCELE In un triangolo isoscele due lati sono congruenti e sono detti lati: a=c il lato diverso è detto base TRIANGOLO RETTANGOLO In un triangolo rettangolo due lati sono perpendicolari e sono detti cateti Il lato diverso è detto ipotenusa Nel triangolo rettangolo isoscele l'ipotenusa a= 1,41 b = b Nel triangolo rettangolo emiquilatero c= a : b= 1,73 c = c 3

4 LE ALTEZZE DEL TRIANGOLO PUNTI NOTEVOLI DEL TRIANGOLO Il triangolo ha tre altezze che si incontrano in punto detto Ortocentro (O). L'Ortocentro è esterno nel triangolo ottusangolo, interno nel triangolo acutangolo e coincide con il vertice dell'angolo retto nel triangolo rettangolo GLI ASSI DEL TRIANGOLO Il triangolo ha tre assi che si incontrano in un punto detto Circocentro (G) Il circocentro è il centro della circonferenza passante per i tre vertici Il circocentro è equidistante dai vertici del triangolo Il circocentro è esterno, tr. Ottusangolo, interno tr. Acutangolo, sul punto medio dell'ipotenusa tr. Rettangolo. LE BISETTRICI DEL TRIANGOLO Il triangolo ha tre bisettrici che si incontrano in un punto detto Incentro. L'incentro è sempre interno L'incentro è il centro della circonferenza tangente ai lati. L'incentro è equidistante dai lati LE MEDIANE DEL TRIANGOLO Il triangolo ha tre mediane che si incontrano in un punto detto Baricentro. Il baricentro è sempre interno Il baricentro divide ciascuna mediana i due parti di cui una è la metà dell'altra. L'Ortocentro, il Circocentro, l'incentro e il Baricentro sono detti Punti notevoli del triangolo. Nel triangolo Isoscele l'altezza è anche mediana, bisettrice e asse e i punti notevoli sono tutti sulla stessa retta. Nel triangolo equilatero le tre altezze sono, anche, mediane, bisettrici e assi e i quattro punti notevoli coincidono.

5 CRITERI DI CONGRUENZA 1 CRITERIO CRITERIO Due triangoli sono congruenti se hanno due lati corrispondenti e l'angolo compreso congruenti Due triangoli sono congruenti se hanno un lato e i due angoli adiacenti congruenti 3 CRITERIO TRIANGOLO RETTANGOLO 1 Criterio Due triangoli rettangoli sono congruenti se hanno rispettivamente congruenti i due cateti Criterio Due triangoli rettangoli sono congruenti se hanno rispettivamente congruenti un cateto e l'angolo acuto adiacente 3 Criterio Due triangoli rettangoli sono congruenti se hanno rispettivamente congruenti un cateto e l angolo acuto opposto. 4 Criterio Due triangoli rettangoli sono congruenti se hanno rispettivamente congruenti l ipotenusa e un angolo acuto. Due triangoli sono congruenti se hanno i lati corrispondenti congruenti

6 CLASSIFICAZIONE TRIANGOLI ACUTANGOLO Ha tutti gli angoli acuti RETTANGOLO Un angolo retto e due acuti fra loro complementari. Due lati perpendicolari (cateti); il terzo, più lungo, ipotenusa OTTUSANGOLO Ha un solo angolo ottuso SCALENO Ha i tre lati e e i tre angoli diversi ISOSCELE Due lati congruenti (lati) e uno diverso (base). Due angoli congruenti, angoli alla base e l'altro, angolo al vertice EQUILATERO Ha i lati e gli angoli congruenti ACUTANGOLO SCALENO ACUTANGOLO ISOSCELE ACUTANGOLO EQUILATERO RETTANGOLO SCALENO OTTUSANGOLO SCALENO RETTANGOLO ISOSCELE OTTUSANGOLO ISOSCELE COME COSTRUIRE UN TRIANGOLO... Data la misura dei tre lati Data la misura di due angoli equilatero rettangolo data l'ipotenusa Disegnare il primo lato AB; puntare il compasso in A con apertura AC e tracciare un arco; puntare il compasso in B con apertura BC e tracciare il secondo arco. L'intersezione fra i due archi è il punto C Disegnare il primo lato AB. Dal punto A, con il goniometro, individua il primo angolo e traccia una semiretta; dal punto, con il goniometro individua il secondo angolo e traccia l'altra semiretta. Il punto di incontro delle due semirette è il vertice del terzo angolo Disegna il primo lato AB. Punta il compasso in A e traccia un arco di apertura AB e poi, con la stessa apertura, in B traccia un altro arco. Il punto di intersezione è il punto C. Disegna l'ipotenusa AB e individua il punto medio O. Traccia una semicirconferenza di raggio AO=OB. Qualsiasi triangolo nella semicirconferenza è rettangolo.

7 QUALSIASI TRIANGOLO 1 Criterio Due triangoli sono simili se hanno rispettivamente congruenti gli angoli corrispondenti α=α' β=β' γ=γ' Criterio Due triangoli sono simili se hanno due lati corrispondenti proporzionali e l'angolo compreso congruente. AB : A'B'= BC : B'C' e β= β' 3 Criterio Due triangoli sono simili se hanno i lati corrispondenti proporzionali. AB : A'B'= BC : B'C' =AC : A'C' L'altezza relativa all'ipotenusa divide sempre il triangolo in tre triangoli rettangoli simili perché hanno gli angoli corrispondenti congruenti (terzo criterio) AHC BHC ABC SIMILITUDINE NEI TRIANGOLI TRIANGOLI RETTANGOLI 1 Criterio Due triangoli rettangoli sono simili se hanno rispettivamente congruente un angolo acuto Criterio Due triangoli rettangoli sono simili se hanno i due cateti corrispondenti proporzionali oppure se hanno un cateto e l'ipotenusa proporzionali e l'angolo l'angolo compreso congruente. 3 Criterio Due triangoli rettangoli sono simili se hanno almeno i cateti corrispondenti proporzionali. TEOREMI DI EUCLIDE 1 teorema di Euclide In un triangolo rettangolo ABC ciascun cateto è medio proporzionale fra la sua proiezione sull'ipotenusa e l'ipotenusa stessa. AH : AC = AC : AB da cui AC= AHxAB BH : BC = BC : AB da cui BC= BHxAB teorema di Euclide In un triangolo rettangolo ABC l'altezza relativa all'ipotenusa è medio proporzionale fra le proiezioni dei cateti sull'ipotenusa. AH, HC, AB sono rispettivamente cateti minori dei tre triangoli HC, HB, BC sono rispettivamente cateti maggiori dei tre triangoli AC, BC, AB sono rispettivamente ipotenuse dei tre triangoli AH è proiezione di AC su AB HB è proiezione di BC su AB AH : CH = CH : BH da cui CH= AHxBH Le proporzioni, dalle quali si hanno le tre formule principali, vengono utilizzate per calcolare la lunghezza di un elemento conoscendone due. Ad esempio, dalla prima proporzione AH : AC = AC : AB ricaviamo AH= AC²:AB e AB= AC²:AH.