1. CALCOLARE LA FRAZIONE DI UNA GRANDEZZA O DI UN NUMERO:
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- Mirella Casali
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1 PROBLEMI FONDAMENTALI CON LE FRAZIONI/RAPPORTI Le frazioni hanno applicazioni in moltissimi problemi. I tipi di problemi più frequenti sono: 1. Calcolare la frazione di un numero 2. Calcolare un numero conoscendo il valore di una sua frazione 3. Calcolare due numeri conoscendo la loro somma e il loro rapporto, cioè sapendo che uno è una frazione dell altro 4. Calcolare due numeri conoscendo la loro differenza e il loro rapporto, cioè sapendo che uno è una frazione dell altro. 1. CALCOLARE LA FRAZIONE DI UNA GRANDEZZA O DI UN NUMERO: QUESTO TIPO DI PROBLEMA È CHIAMATO PROBLEMA DIRETTO. ALCUNI OPERAI HANNO COSTRUITO I DI UN AUTOSTRADA LUNGA 700 Km. QUANTO È LUNGO IL TRATTO COSTRUITO? RAPPRESENTIAMO IL PROBLEMA GRAFICAMENTE MEDIANTE UN SEGMENTO. IL SEGMENTO AB È L INTERO DI CUI VOGLIAMO CALCOLARE UNA PARTE, I DUE SETTIMI. AB È SUDDIVISO IN SETTE PARTI CONGRUENTI DIVIDIAMO L INTERO PER 7 OTTENENDO IL VALORE DI : 7 = 100 km MOLTIPLICHIAMO A QUESTO PUNTO PER 2 E OTTENIAMO I : 100 X 2 = 200 km
2 NOTA BENE : IL PROBLEMA SI PUÒ RISOLVERE MOLTIPLICANDO L INTERO PER LA FRAZIONE: 700 X = = IL TRATTO COSTRUITO È LUNGO 2. CALCOLARE UN NUMERO, CIOÈ L INTERO, QUANDO È NOTA UNA SUA PARTE SOTTO FORMA DI FRAZIONE: QUESTO TIPO DI PROBLEMA È CHIAMATO PROBLEMA INVERSO 72 cm 2 CORRISPONDONO AI DELL AREA DI UN RETTANGOLO. CALCOLA L AREA DEL POLIGONO. IL SEGMENTO AB È L INTERO, RAPPRESENTA CIOÈ I. DI ESSO CONOSCIAMO UNA PARTE, I TRE QUINTI. DIVIDIAMO A QUESTO PUNTO 72 PER 3 72 : 3 = 24 cm 2 OTTENIAMO IL VALORE DI 24 cm POICHÉ L INTERO È FORMATO DA MOLTIPLICHIAMO 24, CORRISPONDENTE A, PER 5 : 24 X 5 = 120 cm 2 L AREA DEL RETTANGOLO È DI 120 cm 2
3 NOTA BENE: IL PROBLEMA SI PUÒ RISOLVERE DIVIDENDO LA PARTE FRAZIONARIA DEL NUMERO O DELLA GRANDEZZA PER LA FRAZIONE: 72 = = = 120 cm 2 3. CALCOLARE IL VALORE DI DUE NUMERI ( O DI DUE GRANDEZZE ) QUANDO SI CONOSCE LA LORO SOMMA E IL LORO RAPPORTO, CIOÈ QUANDO UNO DI ESSI È FRAZIONE DELL ALTRO. SARA E VITTORIO HANNO COMPLESSIVAMENTE 48 POSTER. VITTORIO NE HA I DI QUELLI DI SARA. QUANTI POSTER HA CIASCUNO DEI DUE AMICI? IL SEGMENTO SOMMA È FORMATO DA = 8 PARTI UGUALI. N. B. 8 SI OTTIENE SOMMANDO IL NUMERATORE E IL DENOMINATORE DELLA FRAZIONE DIVIDENDO 48 PER 8 CALCOLIAMO IL NUMERO CHE CORRISPONDE A DI : 8 = 6
4 A QUESTO PUNTO MOLTIPLICHIAMO PER 3 (NUMERATORE FRAZIONE) E OTTENIAMO IL NUMERO DEI POSTER DI VITTORIO. 6 X 3 = 18 MOLTIPLICHIAMO POI PER 5 (NUMERATORE FRAZIONE) E OTTENIAMO NUMERO DEI POSTER DI SARA: 6 x 5 = 30 VITTORIO HA 18 POSTER, SARA HA 30 POSTER RICORDA: IL NUMERO DI POSTER DI VITTORIO E QUELLI DI SARA SONO NEL RAPPORTO. DUNQUE IL NUMERO DEI POSTER DI VITTORIO FRATTO IL NUMERO DEI POSTER DI SARA È UNA FRAZIONE EQUIVALENTE A. INFATTI: oppure 0,6 = 0,6 Vittorio Sara cioè 3 : 5 = 18 : 30 POSSIAMO OSSERVARE CHE: PER CALCOLARE DUE NUMERI DEI QUALI SI CONOSCE LA SOMMA (48) E IL RAPPORTO ( ) BASTA DIVIDERE LA SOMMA CONOSCIUTA PER LA SOMMA TRA NUMERATORE E DENOMINATORE DELLA FRAZIONE (3 + 5 = 8). 48 : 8 = 6 A QUESTO PUNTO MOLTIPLICHIAMO IL QUOZIENTE OTTENUTO ( 6 ) PER IL NUMERATORE DELLA FRAZIONE 6 x 3= 18 E PER IL DENOMINATORE 6 x 5 = CALCOLARE IL VALORE DI DUE NUMERI (O DI DUE GRANDEZZE) QUANDO SI CONOSCE LA LORO DIFFERENZA E IL LORO RAPPORTO, CIOÈ QUANDO UNO DI ESSI È FRAZIONE DELL ALTRO LUIGI HA 24 FIGURINE DI CALCIATORI IN PIÙ RISPETTO A CLAUDIO.
5 LE FIGURINE DI CLAUDIO SONO I DI QUELLE DI LUIGI. QUANTE FIGURINE POSSIEDE CIASCUNO DEI DUE AMICI? 24 È LA DIFFERENZA DI FIGURINE POSSEDUTE DAI DUE AMICI 24 RAPPRESENTAIMO IL SEGMENTO DIFFERENZA 24 LA DIFFERENZA DELLE FIGURINE È COSTITUITA DA 9 5 = 4 PARTI UGUALI NOTA BENE: 4 SI OTTIENE SOTTRAENDO DAL DENOMINATORE DELLA FRAZIONE IL SUO NUMERATORE. DIVIDIAMO PER 4 LA DIFFERENZA DELLE FIGURINE, 24, E OTTENIAMO: 24 : 4 = 6 6 A QUESTO PUNTO MOLTIPLICHIAMO PER 5 (NUMERATORE FRAZIONE) E OTTENIAMO IL NUMERO DI FIGURINE DI CLAUDIO 6 X 3 = 18 MOLTIPLICHIAMO POI PER 9 (DENOMINATORE FRAZIONE) E OTTENIAMO NUMERO DI FIGURINE DI LUIGI 6 x 9 = 54 CLAUDIO HA 18 FIGURINE, LUIGI HA 54 FIGURINE
6 POSSIAMO OSSERVARE CHE: PER CALCOLARE DUE NUMERI DEI QUALI SI CONOSCE LA DIFFERENZA (24) E IL RAPPORTO ( ) DIVIDIAMO LA DIFFERENZA CONOSCIUTA PER LA DIFFERENZA TRA DENOMINATORE E NUMERATORE DELLA FRAZIONE ( 9 = 4 ). 24 : 4 = 6 A QUESTO PUNTO MOLTIPLICHIAMO IL QUOZIENTE OTTENUTO, 6, PER IL NUMERATORE DELLA FRAZIONE 6 x 5= 30 E PER L DENOMINATORE 6 x 9 = 54 RICORDA : SE IL NUMERATORE È MAGGIORE DEL DENOMINATORE LA DIFFERENZA È TRA IL NUMERATORE E IL DENOMINATORE. Ricordiamo infine un particolare tipo di problemi: CALCOLARE DUE NUMERI O DUE GRANDEZZE QUANDO SI CONOSCE LA LORO SOMMA E LA LORO DIFFERENZA: LA SOMMA DI DUE NUMERI È 42. LA LORO DIFFERENZA È 6. QUALI SONO I DUE NUMERI? a = primo numero con a b b = secondo numero a + b = 42 a b = 6 S D
7 Ancora una volta utilizziamo i segmenti: differenza numero a numero b Disegniamo ora il segmento somma e sottraiamo da esso il segmento differenza. segmento somma Come possiamo osservare il segmento il segmento che si ottiene è il doppio del segmento minore (ti basta contare i quadretti). PER CALCOLARE b dunque ( S D ) : 2 = ( 42 6 ) : 2= 36 : 2 = 18 numero b A questo punto = 24 numero a I DUE NUMERI SONO 24 e 18. SE INVECE SOMMI IL SEGMENTO SOMMA AL SEGMENTO DIFFERENZA OTTIENI UN SEGMENTO DOPPIO RISPETTO AL SEGMENTO MAGGIORE. STAVOLTA CALCOLERAI PRIMA IL NUMERO MAGGIORE. PER CALCOLARE a Per differenza b sarà: 42 24= 18 numero b ( S + D ) : 2 = ( ) : 2= 48 : 2 = 24 numero a
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