Corso di Idraulica ed Idrologia Forestale

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1 Corso di Idraulica ed Idrologia Forestale Docente: Prof. Santo Marcello Zimbone Collaboratori: Dott. Giuseppe Bombino - Ing. Demetrio Zema Lezione n. 4: Idrostatica (parte III - equazione globale - legge di rchimede calcolo della spinta) nno ccademico

2 Indice Equazione globale Legge di rchimede Spinta su una superficie piana ppendice: elementi di statica delle superfici piane (momento statico, baricentro, momenti d inerzia d e centrifugo) Spinta su una superficie curva applicazione dell equazione equazione globale metodo delle componenti Slides delle lezioni frontali Materiale didattico Citrini-Noseda (pagg. 43-5)

3 Equazione globale dell idrostatica Forza di massa (G) e di superficie (Π)( agenti sull elemento di volume V occupato dal fluido G + Π Equazione globale dell idrostatica 3

4 Caso 1: Legge di rchimede un corpo immerso in un fluido riceve una spinta (Π ) dal basso verso l alto l pari al peso del volume di fluido spostato (G ) G Il corpo risale in superficie 4

5 Legge di rchimede Equaz.. di equilibrio applicata al corpo intero Π +G Equaz.. globale applicata al volume immerso che si immagina occupato dal fluido G G peso del volume immerso 5

6 Legge di rchimede Ne deriva che: Π -G G Legge di rchimede un corpo immerso in un fluido riceve una spinta (Π ) dal basso verso l alto l pari al peso del volume di fluido spostato (G ) 6

7 Equazione globale dell idrostatica Caso : P G Peso proprio del corpo immerso La spinta non dipende dalla profondità di immersione 7

8 Equazione globale dell idrostatica Caso 3: Reazione del fondo 8

9 Spinta su una superficie piana Sia una superficie immersa in un liquido e giacente su un piano che forma un angolo α con l orizzontalel Retta (o linea) di sponda: intersezione della superficie con il p.c.i. ppendice: elementi sulla statica delle superfici piane 9

10 Spinta su una superficie piana p γ h γ senα S γ senα γ senα r p n d r n r nd d 1

11 Spinta su una superficie piana Detta la distanza del baricentro dall asse asse 1 d d S γ sen α γ h p p γ sen α γ h pressione nel baricentro Il modulo della spinta (S) è quindi uguale al prodotto tra la pressione nel baricentro (p ) e l area l della superficie piana () 11

12 Spinta su una superficie piana La spinta è un vettore normale alla superficie Coordinate del suo punto di applicazione o centro di spinta: ξ, η Si applicano le equazioni di equilibrio dei momenti attorno agli assi ed Per l ascissa (ξ)( del centro di spinta S ξ p d γ h d γ senα d γ senα d 1

13 Spinta su una superficie piana essendo: S γ senα d M I si ha: ξ I M L ascissa del centro di spinta è data dal rapporto tra il momento d inerziad ed il momento statico della superficie su cui si esercita la spinta, entrambi calcolati rispetto alla retta di sponda 13

14 Spinta su una superficie piana ξ ξ I M I M + + > < per per > < p.c.i. ξ p.c.i. ξ Il centro di spinta è posto inferiormente al baricentro, se è positivo, superiormente ad esso, se è negativo 14

15 Spinta su una superficie piana Per l ordinata (η) del centro di spinta, si ha: S η p d γ h d γ senα d γ senα d η I M L ordinata del centro di spinta è data dal rapporto tra il prodotto d inerziad ed il momento statico della superficie rispetto alla retta di sponda 15

16 Spinta su una superficie curva (con applicazione dell equazione equazione globale) Equazione globale (G G + Π ) applicata al volume BC : Π Π BC + Π C G + Π BC + Π C Spinta esercitata dal fluido su BC: - Π BC S - Π BC G + Π C 16

17 Spinta su una superficie curva (con il metodo delle componenti) La spinta agente su una qualunque superficie curva è nota se si conoscono le sue componenti secondo un piano orizzontale e secondo un asse verticale In questo caso la spinta è data dalla somma vettoriale delle due componenti 17

18 Spinta su una superficie curva (con il metodo delle componenti) Componente orizzontale della spinta elementare ds p dn cosθ Componente orizzontale della spinta S p n cosθ d S è la somma vettoriale delle spinte agenti sugli elementi di superficie d cosθ,, proiezione degli elementi d su un piano verticale 18

19 Spinta su una superficie curva (con il metodo delle componenti) p.c.i. d cosα n α α n h d n α d Su un elemento di superficie d il modulo della spinta elementare ds è pari a p d γ h d 19

20 Spinta su una superficie curva (con il metodo delle componenti) p.c.i. d cosα n α α n h d n α d La componente verticale della spinta elementare risulta ds V γ h cosα d d cosα è la proiezione della superficie d su un piano orizzontale; ; quindi d cosα h è il volume del prisma elementare di base d cosα e altezza h (rispetto al piano dei carichi idrostatici)

21 Spinta su una superficie curva (con il metodo delle componenti) p.c.i. d cosα n α α n h d n α d La componente verticale della spinta su è data dall integrale delle componenti delle forze elementari S V γ h cosα d γw ed è quindi pari al peso del volume liquido W compreso tra la superficie ed il piano dei carichi idrostatici 1

22 Elementi di statica delle superfici piane Momento del primo ordine o momento statico M X d M d

23 Elementi di statica delle superfici piane Baricentro M K ( K ) d La retta parallela all asse asse per cui risulta M K è detta baricentrica 3

24 Detta essere: e: si ha: Elementi di statica delle superfici piane Baricentro l ascissa della retta baricentrica,, poiché deve M M M ( ) 1 d d 4

25 Elementi di statica delle superfici piane Momento del secondo ordine o momento di inerzia I d I d 5

26 Elementi di statica delle superfici piane I c Momento del secondo ordine o momento di inerzia I ( ) d d + d + I d I d + d Teorema del trasporto: il momento di inerzia rispetto ad un asse (I( ) è dato dalla somma del momento centrale (I c ) - ossia calcolato rispetto all asse asse baricentrico e del prodotto dell area per il quadrato della distanza dall asse asse baricentrico I I c + 6

27 Elementi di statica delle superfici piane Prodotto di inerzia o momento centrifugo I d 7

28 Calcolo dei momenti del primo e del secondo ordine delle figure geometriche più comuni Momento statico S a cm 3 H 3 ( H h H ) BH H ( BH ) ( BH bh ) H 8

29 Calcolo dei momenti del primo e del secondo ordine delle figure geometriche più comuni Spinta su una superficie piana 9