La Bottega del Matematico: bilancio di un esperienza

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1 : bilancio di un esperienza Un iniziativa di avvicinamento e orientamento alla Matematica organizzata dalla Sovrintendenza Scolastica, in collaborazione con il Dipartimento di Matematica della Facoltà di Scienze dell Università di Trento. Non c è nulla che colpisca più di questo fatto: via via che la Matematica si elevava e appartava nelle regioni più alte del pensiero astratto, tornava poi a terra come uno strumento sempre più importante per l analisi dei fatti concreti. Alfred N.Whitehead, La scienza e il mondo moderno. Autonome Provinz Bozen Südtirol -Provincia Autonoma di Bolzano-Alto Adige Hauptschulamt - Sovrintendenza Scolastica

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3 : bilancio di un esperienza supervisione Ispettore Paolo Lorenzi, Sovrintendenza Scolastica a cura di Laura Bonora, Intendenza Scolastica Italiana hanno collaborato Prof. Stefano Bonaccorsi, Dipartimento di Matematica, Facoltà di Scienze, Università di Trento; Prof. Domenico Luminati, Dipartimento di Matematica, Facoltà di Scienze, Università di Trento; Prof. Andrea Pugliese, Dipartimento di Matematica, Facoltà di Scienze, Università di Trento; Prof. Marco Sabatini, Dipartimento di Matematica, Facoltà di Scienze, Università di Trento; Prof. Italo Tamanini, Dipartimento di Matematica, Facoltà di Scienze, Università di Trento. Prof. Piergiorgio Cemin, Liceo Pedagogico Artistico Pascoli - Liceo Scientifico Salesiano, Bolzano; Prof.ssa Paola Cerrocchi, Liceo Scientifico Torricelli, Bolzano; Prof. Sergio Forti, Istituto Tecnico per Geometri Delai, Bolzano; Prof. Diego Gottardi, Liceo Scientifico Torricelli, Bolzano; Prof.ssa Renata Maffetti, Istituto Tecnico Industriale Galilei, Bolzano. Dott.ssa Laura Buonerba, laureata in matematica, frequentante della SSIS di Rovereto; Dott. Paolo Caresia, laureato in matematica, frequentante della SSIS di Rovereto. Provincia Autonoma di Bolzano Intendenza Scolastica Italiana Ufficio Processi Educativi Stampa: Promotion snc - Bolzano

4 Presentazione Presentazione Nel presentare questo quaderno che documenta, in sintesi, La Bottega del Matematico desideriamo mettere in evidenza in particolare un ambito disciplinare e soffermarci su tre parole chiave che caratterizzano l esperienza: eccellenza, condivisione, autorevolezza. L ambito disciplinare delle Scienze e, in particolare, della Matematica, quale ambiente di studio e sviluppo privilegiato delle problematiche affrontate nella Bottega, costituisce, anche per la scuola, luogo di costruzione di competenze fondamentali per il cittadino e fondanti la costruzione del sapere. La Bottega del Matematico, in particolare, è un offerta per gli studenti con profitto eccellente ma sarebbe riduttivo se la considerassimo solo da questo punto di vista: essa è e dovrà continuare ad essere una testimonianza dell intreccio profondo e fruttuoso tra la scuola per tutti e la scuola per ciascuno, nella consapevolezza che l eccellenza comporta anche un elevato grado di responsabilità, che va riconosciuto e condiviso. Sarà dall ampia condivisione dell esperienza della Bottega, che questo quaderno vuole promuovere sia a livello delle scuole sia dell Università, che potranno nascere ulteriori proposte per l eccellenza e per l apprendimentoinsegnamento della Matematica. Se l eccellenza chiama la condivisione, così ambedue poggiano sull autorevolezza delle persone che hanno vissuto l esperienza: siano loro docenti o studenti. Dalle pagine che presentiamo si potranno apprezzare diverse sfaccettature di autorevolezza, che non si limitano alla disciplina Matematica e che desideriamo portare ad esempio per la costruzione di situazioni di apprendimento e di formazione realmente efficaci. La pervasività della matematica nella cultura scientifica occidentale e nelle sue applicazioni è uno dei tratti caratteristici della nostra società. Il suo essere strumento concettuale per l'interpretazione del mondo naturale e per la codificazione della tecnica è stato chiaro sin dai tempi di Talete e Platone, ma forse mai come oggi ne viene fatto un così grande utilizzo. Di conseguenza e di pari passo si moltiplicano le questioni a cui la matematica deve rispondere, alcune di queste ottengono risposta ed importanti applicazioni, altre rimangono aperte e rappresentano sfide ambiziose per tanti ricercatori. Il modo di procedere della ricerca matematica ha delle caratteristiche che sono rimaste immutate nei secoli e che sono comuni a tutte le grandi scuole; tra esse la caratteristica di "studio da bottega", ovvero la presenza di un maestro che insegna oralmente ai suoi allievi, li impegna in periodi di apprendistato alla ricerca di soluzioni o ri-soluzioni di problemi, li sottopone a confronti-scontri di idee e tecniche. Pertanto, l'esperienza di Salorno, proseguendo in questa direzione grazie alla fattiva collaborazione tra studenti e docenti delle scuole della provincia di Bolzano e docenti di matematica della facoltà di scienze di Trento, costituisce senz'altro un ottimo modo per accostarsi alla matematica e alle sue grandi questioni aperte. Il Preside della facoltà di Scienze Libera Università di Trento Prof. Marco Andreatta La Vicepresidente della Provincia, Ass. Luisa Gnecchi Il Sovrintendente Scolastico, Prof.ssa Bruna Visintin Rauzi 4

5 Premessa Un quaderno di Bottega Paolo Lorenzi La Bottega del Matematico nasce nel 2003 dall esigenza fortemente sentita nel personale della scuola di offrire delle proposte per l eccellenza scolastica e, al contempo, sperimentare nuove forme di approccio alla didattica della matematica e alla formazione dei docenti della disciplina. La scelta del titolo dell iniziativa mette in luce la metodologia e l ambiente che si desiderano proporre: la bottega, sullo stile di quelle artigiane del A distanza di quattro anni dalla prima edizione della Bottega del Matematico abbiamo desiderato raccogliere anche su carta, in un quaderno, le ricerche, i pensieri, i problemi e naturalmente anche i ricordi delle giornate passate insieme a fare matematica. Abbiamo deciso per il formato di un quaderno perchè ci sembra più coerente con l ambiente di bottega e perchè possa presentarsi effettivamente come un materiale aperto di, lavoro, quale questo contributo intende essere. Desideriamo, infatti, che in queste pagine trovino confronto gli insegnanti, gli studenti e spunto tutti coloro che hanno a cuore l apprendimento della Matematica. della teoria dei massimi e minimi, dei nodi e della probabilità che sono state riproposte nei diversi anni ma che, si noterà, sono caratterizzate da approcci anche sostanzialmente diversi. Rendono più vivida e ricca la descrizione delle giornate di Bottega del Matematico le attente osservazioni di due aspiranti insegnanti, iscritti alla Scuola di Specializzazione per l Insegnamento Secondario che, con toni anche appassionati, hanno tratteggiato gli aspetti positivi e negativi dell esperienza in riferimento alla sua trasferibilità nella consueta prassi scolastica. Una breve sintesi della valutazione dell iniziativa da parte di chi l ha vissuta ed una prospettiva per il futuro, concludono il quaderno che vuole essere uno strumento in progress per offrire idee e materiale ai docenti di Matematica nella ricerca di situazioni favorevoli all apprendimento efficace della disciplina. Con lo sguardo rivolto ai possibili lettori, molti di loro coautori, si sono raccolti i temi delle diverse sessioni di Bottega divisi per annata e per gruppo. In ciascuna sezione dedicata al singolo gruppo si possono trovare: la descrizione dell argomento, ricavata generalmente da un testo redatto dal responsabile scientifico, alcuni commenti del responsabile scientifico, del tutor scolastico e degli studenti, nei quali, ciascuno dal proprio punto di vista, hanno messo a fuoco l esperienza. Alcuni temi si ripetono negli anni quindi non si è riportata pari pari la trattazione teorica ma si è preferito optare per un commento eventualmente arricchito da novità metodologiche. É il caso 5

6 Progetto La Bottega del Matematico: imparare il mestiere del ricercatore Paolo Lorenzi Lo studio della matematica si sviluppa, nella scuola superiore, con una grande disponibilità di tempo e attenzione da parte dei docenti ma si riconosce che l apprendimento di questa disciplina non è pari alle richieste di utilizzo delle competenze matematiche nella vita reale. Si ipotizza quindi che l approccio scolastico alla matematica richieda alcuni approfondimenti anche da un punto di vista metodologico in termini di ricerca di nuove e più efficaci strategie di approccio. In misura determinante si riscontra il bisogno di offerte culturali e disciplinari in riferimento agli studenti eccellenti, quegli studenti che spesso, per dinamiche di classe, per scarsa disponibilità di tempo e anche per un giustificato senso di soddisfazione, avendo loro raggiunto già buoni livelli di apprendimento disciplinare, rischiano di non ricevere nell ambiente scolastico ulteriori stimoli e sollecitazioni al miglioramento. Da queste considerazioni e dal desiderio di esplorare nuove forme di coinvolgimento dei docenti nasce la proposta di una settimana dedicata alla risoluzione di problemi aperti utilizzando la matematica e ipotesi avanzate di modellizzazione. Obiettivi Orientare gli studenti verso un fare matematica che unisca gli aspetti teorici a quelli pratici, prospettando, nel concreto di un esperienza di studio, il lavoro di ricerca del matematico; 6

7 Progetto Incentivare l eccellenza scolastica; Far riconoscere alcuni aspetti formativi della matematica; Esplorare nuove ipotesi di formazione per i docenti di matematica. A chi è rivolto Il progetto è rivolto a studenti con un profitto scolastico eccellente, sia nella disciplina matematica, sia nelle altre discipline. Vengono selezionati circa 20 studenti, in relazione al profitto, ed è titolo preferenziale la conoscenza scolastica della lingua inglese. La partecipazione alla Bottega del Matematico costituisce per gli studenti credito formativo da spendere all Esame di Stato. Tempi Il periodo di svolgimento del progetto è generalmente tra marzo e aprile ed è preceduto da alcuni incontri tra docenti tutor e docenti universitari per l elaborazione dei problemi aperti e la programmazione delle attività. Le giornate di lavoro sono articolate con un orario che va dalle ore 9,00 alle 12,30 e dalle 14,00 alle ore 18,00. Il dopo cena è a disposizione dei singoli gruppi che potranno utilizzarlo anche per continuare i lavori o per partecipare ad iniziative promosse dai tutors. Il pomeriggio dell ultimo giorno di Bottega i singoli gruppi presentano i loro lavori alla presenza delle autorità scolastiche locali, del preside della Facoltà di Scienze di Trento e di alcuni docenti di matematica e fisica della provincia che desiderano intervenire. I lavori prodotti dai gruppi sono pubblicati sul portale delle scuole dove è anche attivo, nel periodo di Bottega, un diario di bordo on line aggiornato quotidianamente dai partecipanti ed una interessante (oltre che divertente) rassegna fotografica. Descrizione Nelle quattro giornate di svolgimento del progetto vengono trattati, in tre gruppi diversi, tre argomenti matematici elaborati dall èquipe scientifica dell Università di Trento. Gli studenti sono seguiti da tre docenti della scuola superiore con funzione di tutor e da tre docenti dell Università di Trento con funzioni di stimolo, orientamento e consulenza sulle strategie di risoluzione applicabili ai diversi contesti problematici. Il progetto è residenziale per tutti i partecipanti e quindi docenti e studenti trascorrono le quattro giornate in una struttura ricettiva idonea sia al pernottamento sia al lavoro di gruppo, messa a disposizione dall Amministrazione provinciale. Ogni gruppo ha a disposizione due o tre computer portatili ed è garantito l accesso ad Internet. In particolare: I docenti universitari: hanno funzioni di coordinamento e di consulenza scientifica. Non danno soluzioni ai problemi ma guidano, a richiesta, gli studenti verso l ipotesi risolutiva da loro prospettata fornendo, se necessario, indicazioni bibliografiche e brevi consulenze teoriche riguardanti gli strumenti matematici utilizzati; ma soprattutto il loro compito è di chiarire, ove necessario, i termini del problema aperto e le attese in ordine alla sua risoluzione. I docenti di scuola superiore: sono scelti tra i docenti di matematica in servizio presso le scuole superiori della provincia che hanno dato la loro disponibilità a far parte del progetto. Il loro compito è di favorire le dinamiche collaborative di gruppo, di regolare la comunicazione tra i gruppi e nella sessione plenaria, di supportare i docenti universitari affinchè il lavoro di consulenza sia più efficace. La loro funzione è quindi di tutor di processo. Nemmeno loro 7

8 Progetto ciascun docente coinvolto avrà cura di raccogliere analiticamente sia in ordine alla partecipazione al lavoro, sia in ordine alla preparazione degli studenti, sia ancora in ordine al loro entusiasmo nel partecipare ad attività collaborative. Tale valutazione è un utile ed imprescindibile elemento per la progettazione di ulteriori proposte nella stessa direzione o verso nuove direttrici da realizzare nei prossimi anni. possono intervenire direttamente nella risoluzione dei problemi. Gli studenti: proposti dai loro docenti, sono scelti tra i ragazzi con profitto eccellente, pari ad una media almeno dell otto, con spiccato interesse per le discipline scientifiche e per la matematica in particolare. I gruppi vengono costituiti tenendo conto della provenienza di ciascuno studente in modo da non avere, nei limiti del possibile, nello stesso gruppo, studenti della stessa classe. Il progetto è assolutamente gratuito per tutti gli studenti invitati. Se lo ritengono opportuno, i partecipanti possono portarsi i materiali di studio personali come manuali, calcolatrice, ecc. Al termine della settimana di Bottega gli studenti possono presentare l attestato di partecipazione alla propria scuola perchè venga loro riconosciuto un credito formativo per l Esame di Stato e, se lo ritengono opportuno, presentare la questione matematica quale argomento a scelta del candidato nel colloquio orale dello stesso Esame. Le osservazioni dei docenti di classe dei singoli alunni frequentanti la Bottega del Matematico e dei loro Dirigenti Scolastici sono elementi preziosi per orientare in maniera più mirata le future proposte. La sede: La Bottega del Matematico si svolge presso la sede dello Jugendheim Haus Noldin di Salorno, in quanto la struttura ha sufficiente ricettività, è attrezzata per ospitare sedute di lavoro anche in gruppo ed è sufficientemente periferica pur essendo, al contempo, facilmente raggiungibile dalle vicine città. Valutazione e ricaduta La valutazione del progetto è effettuata in base alle risposte dei ragazzi monitorate nelle giornate di lavoro ed in base ai dati di osservazione che 8

9 Edizione Gruppo A Problemi di minimo nello studio delle bolle di sapone Responsabile scientifico: Prof. Italo Tamanini Docente tutor: Prof. Sergio Forti Componenti del gruppo: Stefano Boldrini (Liceo scientifico Torricelli ), Marco Ferrante (ITI Galilei ), Massimo Gaspari (Liceo scientifico Torricelli ), Luca Giulini (Liceo Scientifico Tecnologico Galilei ), Giorgia Lamberti (Liceo scientifico Torricelli ), Stefano Pernici (Liceo Classico Carducci ). Argomento I problemi di ottimizzazione (del genere minimo costo o massima utilità ) sono ampiamente diffusi, sia nella pratica quotidiana sia nei settori di punta della ricerca scientifica. I fenomeni di tensione superficiale costituiscono in qualche modo un paradigma in questo contesto: le bolle di sapone e le lamine saponose, tese su telai metallici o confinate fra lastre e pioli, danno luogo a configurazioni d equilibrio stabile che, dal punto di vista della modellizzazione matematica, corrispondono appunto a soluzioni di problemi di minimo (percorsi di lunghezza minima, superfici di area minima). Prerequisiti Geometria: curve e superfici, lunghezza ed area, poliedri e solidi platonici, simmetrie e deformazioni; sperimentazione e nella riflessione sui fenomeni osservati. Enfatizzare l'importanza del linguaggio, dei metodi e dei processi della matematica per la loro descrizione e comprensione. Perfezionare strumenti analitici già posseduti ed introdurne di nuovi per lo studio e la risoluzione di questioni poste dall'osservazione di fatti concreti. Metodologia La metodologia di lavoro prevista per il gruppo consisteva nel proporre esperimenti con le lamine di sapone, grazie alla strumentazione fornita dal laboratorio di didattica dell università di Trento. I sistemi risultanti sarebbero quindi stati indagati per scoprirne le caratteristiche e gli invarianti Analisi matematica e Trigonometria: funzioni, derivate, condizioni di minimo; Concetti meno noti (curvatura, formula di Eulero e altri aspetti topologici) verranno introdotti ed adeguatamente discussi in corso d'opera. Obiettivi Sviluppare la consapevolezza dell'approccio scientifico nella 9

10 Edizione Gruppo A (simmetrie, curvatura, struttura delle intersezioni). Attraverso concetti di natura chimico-fisica, quindi, i ragazzi avrebbero costruito modelli astratti dei fenomeni osservati e ne avrebbero discussa la rilevanza e la flessibilità. Naturalmente la metodologia di lavoro prevedeva la presenza di almeno un docente-tutore, possibilmente esperto di Cabri o simili per esplorazioni geometriche al computer. In particolare, il lavoro dei tutor doveva essere finalizzato a sollecitare descrizioni efficaci delle configurazioni ottenute, in termini di grafi, superfici lisce, sistemi con singolarità ed a proporre problemi ispirati dagli esperimenti o ad essi collegati. Attività Nelle varie sessioni di lavoro sono stati presentati problemi diversi, iniziando da semplici questioni di minimo di tipo geometrico, discusse insieme nei loro aspetti più intuitivi e presto accompagnate dall esecuzione di esperimenti con le lamine di sapone. All inizio è stato proposto un gioco di costruzione di figure con moduli quadrati (usando penna e fogli quadrettati), da accostare lato contro lato, tutte della stessa area ma di forma diversa. Si sono osservate semplici proprietà del loro contorno, trovando le forme di perimetro minimo e massimo. Si è quindi cercato di enunciare una versione generale del problema, introducendo il formalismo discreto della teoria dei grafi, per poi passare al problema isoperimetrico nel piano (prima fra i rettangoli ed i poligoni di n lati, poi in generale) e nello spazio. Nei casi più facili si sono tentate e talvolta portate a termine le dimostrazioni di alcune notevoli proprietà, utilizzando conoscenze pregresse (tipo il teorema di Erone) o approntando nuovi strumenti (ad esempio, alcune disuguaglianze fra medie). Le forme circolari e sferiche, tipiche delle soluzioni di tali problemi, sono state osservate sperimentalmente nelle bolle libere o confinate fra lastre parallele (si è usato il materiale appositamente realizzato dal Laboratorio di ricerca sui materiali e i metodi per la didattica e la divulgazione della matematica del Dipartimento di Matematica dell Università di Trento). Con opportuni esperimenti si è discussa la proprietà di area minima delle lamine saponose, che ne governa il comportamento. Si è quindi passati a considerare le reti di minima lunghezza, che devono connettere nel modo più breve possibile un insieme di punti dati nel piano. La questione è stata analizzata in dettaglio nel caso di tre e di quattro punti, anche con strumenti analitici per confermare o rigettare ipotesi suggerite dall intuizione. Le caratteristiche fondamentali delle soluzioni (incroci a tre vie con angoli di 120 ) sono state ritrovate nei sistemi laminari ottenuti con adeguati strumenti. Riflettendo sulla particolare forma a sella delle lamine saponose sospese in un contorno metallico sono stati introdotti, sempre in situazioni concrete e basandosi sull intuizione geometrica, alcuni concetti molto importanti di geometria (curvatura) e di topologia (distinzione fra configurazioni diverse che si presentano con il medesimo contorno). In un caso (catenoide) si è cercato di verificare analiticamente che la soluzione congetturata (il cilindro) era solo 10

11 Edizione Gruppo A apparente. Le riflessioni conclusive hanno riguardato i sistemi laminari più complessi, che presentano nuove intersezioni di tipo molto particolare: dalle osservazioni sperimentali si è estratto il modello geometrico, sul quale sono state effettuate misure angolari con l uso della trigonometria. Hanno detto il responsabile scientifico Esperienza complessiva decisamente positiva. É stato veramente piacevole confrontarsi con gli studenti del gruppo, tutti molto motivati e tutti di ottimo livello. Il ritmo di lavoro è stato piuttosto intenso, ma sostenibile. L ambiente era decisamente favorevole e confortevole. Abbiamo giocato, discusso e lavorato molto, forse con poco utilizzo del computer puntando invece ad esperimenti e costruzioni manuali.... il tutor La "Bottega del matematico 2003" si è rivelata una iniziativa ampiamente riuscita e ben organizzata. Ha soddisfatto le mie attese sul clima di lavoro e sulle capacità dei singoli studenti. Era da tempo che non mi trovavo a contatto con un gruppo fortemente motivato, capace di sviscerare con notevole intuizione problemi che presentavano oggettive difficoltà di soluzione. Mi auguro che questa iniziativa si ripeta per stimolare gli studenti più dotati ad approfondire con successo, opportunamente guidati, problemi nuovi presentati dai docenti universitari.... uno studente Non pensavo proprio che da una cosa semplice e banale come le bolle di sapone, da un gioco per bambini, si potessero scoprire tante cose interessanti. Tutto il programma mi ha davvero preso moltissimo sin dall inizio. Non mi immaginavo che il corso fosse strutturato in questo modo: gli studenti vengono portati alla soluzione del problema con l aiuto del professore. Avrei pensato piuttosto ad una serie di lezioni "stile università"; così invece è stato molto più accattivante. Anche il clima nato in questi giorni, i rapporti instauratisi tra compagni di lavoro ed il professore sono stati subito molto piacevoli. Grazie a tutti coloro che si sono dati da fare per organizzare questa bella iniziativa! Ancora grazie, Luca Giulini LST G. Galilei 11

12 Edizione Gruppo B Sistemi dinamici discreti, sia deterministici, sia probabilistici, in biologia di popolazione Responsabile scientifico: Docente tutor: Componenti del gruppo: Andrea Culpo Andrea Girardi Roberto Monti Fabio Pasini Martina Roilo Alessio Trazzi Prof. Andrea Pugliese Prof.ssa Paola Cerrocchi (Liceo Classico Carducci ), (ITI Galilei ), (Liceo Scientifico Brunico), (Liceo Scientifico Tecnologico Galilei ), (Liceo scientifico Torricelli ), (Liceo scientifico Torricelli ). Argomento Negli ultimi decenni le applicazioni della matematica alle scienze biologiche hanno acquisito un notevole rilievo, dando spesso luogo a problematiche diverse da quelle derivanti dalle applicazioni fisiche. Fra gli aspetti significativi di molte di queste applicazioni vi sono l'attenzione ai fenomeni di tipo qualitativo e l'importanza del caso nella dinamica. L attività prevista per il gruppo B era incentrata su questi aspetti, sviluppando quindi sistemi dinamici probabilistici ed analizzando le caratteristiche dei diversi risultati possibili. Per lo svolgimento dell attività si è scelto di concentrarsi sui modelli di genetica di popolazione, un argomento che ha una storia relativamente lunga (70-80 anni) e che presenta numerosi vantaggi: i modelli possono essere costruiti partendo da conoscenze abbastanza elementari (le leggi di Mendel) ed hanno proprietà non scontate (ad esempio la sopravvivenza di un solo allele), ma non difficili da dimostrare; d'altra parte, molti problemi su tali modelli sono tuttora aperti. già affrontato qualche concetto di probabilità, così come le idee fondamentali della genetica, sarebbe stato utile, assieme ad una sufficiente manualità nell'uso del computer. Per il resto si presupponevano semplicemente competenze di base di calcolo algebrico. Obiettivi Far comprendere il processo di modellizzazione, in particolare per quanto riguarda la genetica di popolazioni. Capire cosa si intende con un modello dinamico probabilistico, in cui il caso influisce sulla dinamica, ma vi è anche la possibilità di Prerequisiti Non erano richiesti requisiti fondamentali, anche se l avere 12

13 Edizione Gruppo B effettuare previsioni. Esaminare alcuni sistemi dinamici discreti deterministici e i loro possibili comportamenti. Definire cosa è un equilibrio. Discutere le relazioni fra modelli deterministici e probabilistici. Metodologia Partendo dalle leggi di Mendel e discutendo su cosa esse implichino per i figli di una coppia, si prevedeva di passare alla genetica di popolazione, limitandosi ai casi più semplici e cercando di far costruire modelli ragionevolmente semplici. A questo punto sarebbero stati implementati i modelli al computer. Il momento successivo consisteva nel cercare di trasformare tali modelli in modelli deterministici, discutendo di quanto ciò fosse ragionevole, del comportamento di questi e facendo un confronto con il caso probabilistico. Il passo finale sarebbe stato quello di considerare problemi analoghi nel caso di crescita di popolazione, prendendo in esame modelli più ricchi di comportamenti. Nel caso stocastico si puntava a vedere che è possibile che il numero medio di individui cresca esponenzialmente, ma la probabilità di estinzione sia alta. Nel caso deterministico, dopo avere visto la crescita esponenziale ed alcune sue proprietà, sarebbe stata introdotta la mappa logistica, esaminandone i possibili comportamenti: convergenza all'equilibrio, convergenza a soluzioni periodiche, soluzioni caotiche. Attività Partendo dalle leggi di Mendel ed analizzando il loro significato, si è lavorato prima di tutto su questo tema: Supponiamo che una coppia (con note caratteristiche genetiche) abbia n figli: cosa possiamo dire sui geni dei figli?. Da un problema probabilistico, quindi, per estensione si è arrivati al modello binomiale. Con un lavoro di progressione i ragazzi sono arrivati a scoprire la funzione generatrice di numeri pseudo-casuali. Un gruppetto di esperti di programmazione ha anche elaborato un programma di simulazione in Excel del modello binomiale. L obiettivo successivo era di passare dai figli di una coppia all evoluzione delle frequenze geniche in una popolazione. Partendo dalla presentazione del modello più semplice (2 alleli a 1 locus, con generazioni separate e accoppiamento casuale), i ragazzi hanno scoperto le leggi di Hardy- Weinberg sulle frequenze geniche dopo gli accoppiamenti. Anche questo modello è stato implementato al computer e si sono svolte numerose simulazioni. E stata quindi introdotta la nozione di catena di Markov e di matrice di transizione, che permette di calcolare le probabilità ad ogni tempo e su questa base è stata intuita una dimostrazione del fatto che si ha estinzione certa di uno degli alleli. A questo punto il lavoro è progredito introducendo la variabile della mortalità degli individui. Il gruppo ha scelto di limitarsi a considerare un modello deterministico che descrivesse la dinamica della frequenza media. Sono state quindi trovate le equazioni ricorsive che determinano le frequenze medie nelle generazioni successive e, ragionando sulla stabilizzazione delle frequenze, i ragazzi hanno costruito il concetto di equilibrio ed hanno svolto i calcoli che permettono di distinguere i casi in cui vi è un equilibrio interno oppure no, arrivando ad elaborare in modo semi-intuitivo il concetto di equilibrio stabile o instabile. Il tutor a questo punto ha mostrato un programma di simulazione del modello probabilistico con mortalità, usando il quale, si osserva come il modello deterministico catturi alcune proprietà importanti anche dei modelli probabilistici. Infine 13

14 Edizione Gruppo B è stato proposto un programma di calcolo di equazioni ricorsive usando la mappa logistica ed è stato fatto osservare come, a seconda dei valori dei parametri, si possa avere convergenza a un limite, a soluzioni periodiche, oppure soluzioni caotiche. Hanno detto il responsabile scientifico Gli studenti hanno lavorato con impegno ed interesse al progetto. Hanno affrontato con interesse strumenti nuovi, acquistandone dimestichezza soprattutto durante l'organizzazione della presentazione conclusiva. Gli studenti sono rimasti un po perplessi di fronte all'attività di modellizzazione, forse perché sembrava molto artificiale rispetto alla realtà. Sono invece rimasti molto colpiti dalla comparsa di strutture matematiche (parzialmente) note in situazioni nuove (come il triangolo di Tartaglia nella distribuzione binomiale, o l'uso di matrici per calcolare probabilità ai tempi successivi) e da fenomeni inaspettati (come le successioni caotiche che riempiono tutto un intervallo). La preparazione della presentazione conclusiva è stata molto attenta a presentare nel loro complesso i metodi e i risultati raggiunti. Ritengo che sia stata molto utile per ragionare sui problemi e le attività svolte e per rielaborare una conoscenza comune.... il tutor La prima impressione è di trovarsi in una classe normale, solo un po ridotta. Il responsabile scientifico parla dell esperimento di Mendel e di probabilità, introduce il calcolo combinatorio e costruisce semplici modelli di popolazione procedendo a ritmo serrato, ma senza dare nulla per scontato. Con sapiente noncuranza mette a disposizione dei ragazzi i suoi vecchi testi di biologia e matematica del liceo, rompendo così il ghiaccio iniziale ed accorciando la distanza tra sè e i ragazzi. Mentre il lavoro procede ed i compiti si differenziano, si manifesta con chiarezza quello che ha permesso a questi ragazzi di raggiungere risultati eccellenti (non solo in matematica): un notevole senso di responsabilità e la disponibilità ad assumere ruoli produttivi nel gruppo. Così, in maniera del tutto spontanea, c è chi riordina e sintetizza le idee emerse, chi lavora al computer, chi verifica la correttezza delle affermazioni condivise dal gruppo, chi documenta il lavoro svolto. Il clima che si respira è di confidenza crescente e nonostante l intenso ritmo di lavoro e la stanchezza, la partecipazione al lavoro è costante e proficua.... uno studente Quattro giorni di lavoro, diciassette ragazzi, 3 professori universitari, 3 tutor...una ricetta giusta per realizzare una delle esperienze più interessanti della mia vita. Fin da piccolo la matematica mi ha subito preso, mi invogliava a calcolare e finalmente qui a Salorno sono riuscito a sentirmi nel mio ambiente: giorni trascorsi a scoprire cose nuove, a trovare nuove formule...alla fine ci si può fermare e affermare che è veramente gratificante! Sono capitato nel gruppo che si occupava dei modelli di popolazione, statistica, biologia: il proff. Pugliese ci è stato di fondamentale aiuto e merita i ringraziamenti, come la provincia di Bolzano che ci ha offerto questa opportunità. Alessio Trazzi, Liceo Scientifico E. Torricelli 14