SECONDO PRINCIPIO TERMODINAMICA Problemi di Fisica secondo principio termodinamica

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1 SEONO PRINIPIO ERMOINMI Problemi di Fisica secondo principio termodinamica

2 SEONO PRINIPIO ERMOINMI PROEM alcolare il rendimento di una macchina di arnot che lavora fra la temperatura di ebollizione dell'acqua e quella di fusione del ghiaccio a pressione atmosferica. SOUZIONE Per definizione il rendimento di una macchina di arnot è dato dalla relazione: η rev Nel nostro caso, 73 K è la temperatura di fusione del ghiaccio e 373 K è la temperatura di ebollizione dell acqua, per cui il valore del rendimento è: 73 η rev,7 7% 373 PROEM on un rendimento η,4 una macchina sviluppa in un'ora un lavoro pari a, 7 J.! alcolare la quantità di calore che la macchina deve assorbire ogni ora da una sorgente per poter lavorare. SOUZIONE alla definizione di rendimento ricaviamo la quantità di calore richiesta dal problema: η 7 7 7, η,4 J, cal dove: cal 4,86 J; Jcal/4,86 PROEM Una macchina di arnot compie un ciclo fra due sorgenti con un rendimento del 4,%.! Sapendo che la temperatura della sorgente più calda è pari a 7 (8 K), qual è la temperatura della sorgente più fredda? SOUZIONE alla definizione di rendimento di una macchina di arnot, ricaviamo la temperatura della sorgente più fredda: η rev ηrev ( ηrev) 8 (,4) 464K

3 SEONO PRINIPIO ERMOINMI PROEM Una macchina a vapore che lavora fra le temperature di 3 (73 K) e di 3 (33 K) sviluppa una potenza pari a 736 W. Sapendo che il suo rendimento è il 3,% di quello di un motore termico ideale (ciclo di arnot) che lavora fra le stesse temperature estreme, calcolare la quantità di calore assorbita dalla macchina nell'unità di tempo. SOUZIONE Per definizione il rendimento di una macchina di arnot è dato dalla relazione: η rev a macchina a vapore ha un rendimento pari al 3% di quello del motore termico ideale, e cioè pari a: η 3 %,47,4,47 Pertanto, la quantità di calore assorbita dalla macchina per unità di tempo è data da: 736 η 7 J,6 kcal cal 4,86 J; J cal/4,86 η,4 PROEM Una macchina termica, assimilabile a quella di arnot, funziona fra due sorgenti: la prima costituita da vapore acqueo a 373 K e la seconda da una massa di, kg di ghiaccio a 73 K.! Nell'ipotesi che la macchina venga fatta funzionare finché tutto il ghiaccio non è fuso, qual è la massa di vapore che si trasforma in acqua? (alore latente di fusione del ghiaccio: f 79,7 kcal/kg; calore latente di vaporizzazione dell'acqua: 37 kcal/kg) SOUZIONE Indichiamo con 373 K la temperatura della sorgente calda e con 73 K quella della sorgente fredda. Poiché la macchina è assimilabile a quella di arnot, il suo rendimento è: 73 η rev,68 6,8% 373 Il calore ceduto dalla macchina alla sorgente fredda è quello che serve a fondere la massa m, kg di ghiaccio, cioè: mf, 79,7 399kcal Il calore prelevato dalla sorgente calda può essere ricavato dalla relazione generale: η η 399,68 4kcal a massa di vapore acqueo che si condensa è allora: m 4 37,kg

4 SEONO PRINIPIO ERMOINMI PROEM Una mole di gas perfetto biatomico compie un ciclo come quello rappresentato in figura, dove è una trasformazione a volume costante, una trasformazione a temperatura costante e una trasformazione a pressione costante.! alcolare il rendimento del ciclo nell'ipotesi che tutte le trasformazioni siano reversibili. SOUZIONE urante il ciclo il gas assorbe una quantità di calore nella trasformazione, per aumentare la sua pressione a volume costante, e una quantità di calore nella trasformazione, per espandersi a temperatura costante. Il calore complessivamente assorbito è: Il gas cede invece il calore: + () () nella trasformazione, dove è compresso a pressione costante. alcoliamo dunque le quantità di calore scambiate nelle varie trasformazioni. rasformazione : Poiché il sistema passa dalla pressione p alla pressione p con una trasformazione isocora, la temperatura passa, essendo direttamente proporzionale alla pressione, da un valore a un valore. llora, essendo n e ricordando che il calore molare a volume costante di un gas biatomico è /R, possiamo scrivere: rasformazione : n( ) R 4 R Si tratta di un processo isotermico, alla temperatura, in cui il volume passa dal valore al valore. Poiché il calore assorbito è uguale al lavoro compiuto, ricordando l'espressione del lavoro in tale processo, abbiamo: rasformazione : ln ln R ln Il sistema si riporta alle condizioni di partenza, cioè alla temperatura, partendo dalla temperatura mediante una trasformazione a pressione costante. Essendo p 7/R il calore molare a pressione costante, abbiamo: unque la () e la () diventano: 7 np( ) R 4 4R + In definitiva, il rendimento del ciclo sarà: R R ln 4R η R + R ln 4R R + R ln R ln 4R R + R ln R (ln 4) R ( + ln) ln 4 + ln, %

5 SEONO PRINIPIO ERMOINMI PROEM Un gas perfetto compie il ciclo rappresentato, formato da due trasformazioni adiabatiche, e, e da due trasformazioni isocore, e.. Nell'ipotesi che tutte le trasformazioni siano reversibili, esprimere in funzione delle temperature,,, il rendimento del ciclo. Un simile ciclo, chiamato ciclo Otto, descrive il funzionamento ideale dei motori a scoppio a benzina a quattro tempi.. Nell'ipotesi che il rapporto di compressione sia 8 a, nel senso che si abbia / /8, e che il gas considerato sia biatomico, con γ,4, calcolare il valore del rendimento. SOUZIONE. urante le trasformazioni adiabatiche le quantità di calore scambiate sono nulle. Nella trasformazione isocora la temperatura diminuisce da a e il sistema cede all'ambiente la quantità di calore: n( Nella seconda trasformazione isocora,, invece, la temperatura aumenta da a e il sistema assorbe la quantità di calore: Il rendimento è allora: n( n( ) η () n ( ) ) ). Poiché gli stati, e, rappresentano le coppie di stati estremi di due trasformazioni adiabatiche reversibili, si ha: γ γ γ γ Sottraendo membro e tenendo conto che e, possiamo scrivere: ( & ' % # $ γ e per la (), otteniamo che il rendimento del ciclo Otto è: & η $ % #! " γ & # $! % 8 ",4,6 6% onsiderazione - Il rendimento trovato rappresenta un valore puramente teorico; in pratica, i motori a benzina presentano generalmente un rendimento dell'ordine del -3%. iò dipende da molteplici fattori: gli attriti, le resistenze passive, la non perfetta adiabaticità dei processi, l'imperfetta combustione del fluido, ecc.

6 SEONO PRINIPIO ERMOINMI PROEM Una macchina termica estrae J di calore da una sorgente calda, a 38 K, compie un lavoro di 4, J e cede ( - 4,) J J a un termostato freddo, a 9 K.! alcolare quanto lavoro si perde in ogni ciclo, a causa dell'irreversibilità dei processi reali, rispetto a una macchina ideale che, assorbendo la stessa quantità di calore dalla sorgente calda, compia trasformazioni tutte reversibili. SOUZIONE Posto J ed 4 J, il rendimento della macchina reale è, per definizione: η 4,,% Il miglio rendimento possibile di una macchina reversibile che lavori fra le temperature 38 K e 9 K è: 9 η rev,37 3,7% 38 Poiché la macchina di arnot potrebbe compiere un lavoro: rev ηrev,37 47,4 J mentre la macchina reale compie un lavoro pari a 4J, per ogni ciclo si perdono,4 J. PROEM alcolare il rendimento di una macchina termica che, utilizzando un gas perfetto biatomico, compie un ciclo come quello rappresentato in figura. SOUZIONE Il rendimento, per definizione, è dato da: η () dove è il lavoro totale compiuto nel ciclo, uguale all'area del triangolo : 3 3,3 76 J mentre è il calore assorbito durante la trasformazione (nelle trasformazioni e il calore viene invece ceduto). Per determinare utilizziamo il primo principio della termodinamica: dove: ΔU + () Δ U n ( ) (3)

7 SEONO PRINIPIO ERMOINMI è la variazione di energia interna fra gli stati e. Per calcolarla esprimiamo le temperature incognite e in funzione delle pressioni e dei volumi corrispondenti ai punti e attraverso l equazione di stato dei gas perfetti: p p p p e sostituiamole nella (3), tenendo presente che per un gas biatomico il calore molare vale /R: ( p ΔU n R& ' (4,3 p 3 % # (p $ p,3 ) 3 ) 8864 J Invece, il lavoro è quello compiuto dal sistema durante la trasformazione,ed è uguale all'area del trapezio : " + " 4,3 +, J Pertanto, la () assume il valore: J Infine, il rendimento () avrà il seguente valore: η 76 3,7 7,% ttenzione - e unità di misura inserite nelle varie formule sono quelle del S.I.: atm,3 Pa litro dm 3-3 m 3 PROEM Una macchina termica reversibile, che utilizza come fluido operante, moli di gas perfetto, lavora fra due sorgenti a temperatura costante 7 K e 3 K. Il lavoro totale prodotto dalla macchina in 3 cicli viene utilizzato per sollevare un corpo di, kg a un'altezza di, m. alcolare:. il lavoro fatto dalla macchina per ogni ciclo. la quantità di calore prelevata dalla sorgente a temperatura in ogni ciclo. SOUZIONE. Il lavoro compiuto dalla macchina in ogni ciclo è uguale a un trentesimo del lavoro totale speso per sollevare la massa m, kg all'altezza h, m. Si ha perciò: 3 mgh 3, 9,8, 3 49 J. Poiché la macchina è reversibile, il suo rendimento è dato da:

8 SEONO PRINIPIO ERMOINMI η 3 7,7 Ma, essendo per definizione: 49 η si ricava che: 76 J η,7 PROEM Una macchina frigorifera ideale (ciclo di arnot alla rovescia) lavora fra le temperature -, e 37,.! alcolare la potenza media del motore della macchina, nell'ipotesi che essa sottragga 7, kcal/h. SOUZIONE Il coefficiente frigorifero utile di una macchina di carnot usata alla rovescia è: ε con calore sottratto all'ambiente più freddo, a temperatura, ed lavoro fornito dal motore della macchina. Sapendo che in un'ora è 7, kcal, dopo aver espresso in kelvin le temperature fra le quali lavora la macchina, 3 K e 3 K, troviamo che il lavoro fornito in un'ora è: ' % & $ " # ' 3 $ % " 7,,8 kcal, ,6 & 3 # 4 J Infine, la potenza media del motore è, per definizione: P t 6, ,4 W PROEM ue moli di gas perfetto monoatomico compiono il ciclo schematizzato in figura, dove e sono isoterme reversibili, una adiabatica reversibile, mentre è una adiabatica irreversibile. Sapendo che è p 6, atm, 3 K, p 3, atm, 3,, K, calcolare il rendimento η del ciclo e confrontarlo con il rendimento η rev di un ciclo di arnot reversibile fra le stesse temperature. SOUZIONE Il ciclo somiglia a un ciclo di arnot, ma una delle trasformazioni è irreversibile, pertanto il rendimento sarà minore di quello ideale. Per calcolarlo utilizziamo la definizione:

9 SEONO PRINIPIO ERMOINMI η () dove è il calore assorbito lungo l isoterma a temperatura, per cui è uguale al lavoro eseguito dal sistema: p 6, ln 8,3 3 ln 346 p 3, J mentre è il calore ceduto lungo l isoterma a temperatura, per cui è uguale al lavoro subito dal sistema: ln () dove è noto, mentre lo ricaviamo sfruttando il fatto che è una trasformazione adiabatica reversibile regolata dalla relazione: γ λ per cui: γ γ 3 3 8, 3 γ γ, litri dove γ /3 (gas monoatomico), e è stato trovato mediante l equazione di stato dei gas perfetti applicata allo stato : 8, p 8, m 8, p 6,,3 litri Pertanto, la () assume il valore: 3 8,3 ln 77 J, In definitiva il rendimento del ciclo in oggetto assume il valore: 77 η 346,98 che è inferiore a quello del ciclo di arnot fra le stesse temperature: η 3 rev,333

10 SEONO PRINIPIO ERMOINMI PROEM PROEM Una centrale elettrica opera al 7% del suo rendimento teorico di arnot, tra le temperature di 3 e 6.! Sapendo che la centrale produce energia per.3 GW, quanto calore disperde in un'ora? SOUZIONE alla definizione di potenza possiamo ricavare subito il lavoro prodotto dalla centrale in un ora: P t P t, ,7 J Il rendimento teorico di arnot è pari a: η rev per cui il rendimento della centrale elettrica, essendo il 7% di quello teorico di arnot, ammonta a:,9

11 SEONO PRINIPIO ERMOINMI η,7,9, questo punto cerchiamo di esprimere il calore ceduto in funzione del lavoro e del rendimento della centrale elettrica. Il lavoro è la differenza tra il calore assorbito a e quello ceduto c : a c () alla definizione di rendimento ricaviamo il calore assorbito: η a a η che sostituito nella () si ha: η da cui è possibile ricavare il calore ceduto: & # $! η % η " Sostituendo i valori numerici si ottiene: 4,7 ' % &, $ " 6,7 # J / h PROEM Una macchina di arnot assorbe in un ciclo un calore di J dalla sorgente a temperatura maggiore e compie un lavoro di J.! Se la temperatura della sorgente più fredda è di K, qual è il valore della temperatura della sorgente calda? SOUZIONE Il lavoro è la differenza tra il calore assorbito a alla temperatura più alta calda e quello ceduto c alla temperatura più fredda fredda : a c da cui: a J In una macchina di arnot è vero che: c a F da cui è possibile ricavare il valore della temperatura della sorgente calda: a F 8K c

12 SEONO PRINIPIO ERMOINMI PROEM Una macchina termica avente come fluido termodinamico una mole di gas perfetto biatomico, esegue il seguente ciclo: () Isobara reversibile dallo stato avente p 3 atm e 8 l allo stato avente 6 l; () Espansione adiabatica reversibile fino ad uno stato ; (3) ompressione isobara reversibile fino ad uno stato ; (4) ompressione adiabatica reversibile fino a tornare allo stato di partenza; Sapendo che il rendimento della macchina è η.83: a) isegnare il ciclo nel piano (p,); b) rovare il lavoro compiuto nel ciclo; c) rovare il calore scambiato in ognuna delle 4 trasformazioni.! SOUZIONE! a) Il ciclo termodinamico eseguito dalla macchina termica è rappresentato in figura. b) Il rendimento di una macchina termica è definito come: η dove a è il calore assorbito nel ciclo a Nel nostro caso il calore viene assorbito solo nel tratto (espansione isobara reversibile), in quanto durante le trasformazioni adiabatiche non vi è scambio di calore: a n ( ) () p pplicando la legge dei gas perfetti allo stato e, calcoliamo e : 3 p 3,3 8 8,3 93 K 3 p 3,3 6 8,3 8 K e sapendo che per un gas biatomico p 7/R, la () assume il valore: 7 a 8,3 (8 93) 8493 J Possiamo ora ricavare il lavoro prodotto nel ciclo dalla macchina dalla definizione di rendimento: ηa, J b) eterminiamo ora il calore scambiato dal gas nelle quattro trasformazioni. Nel tratto lo abbiamo già trovato, nelle due adiabatiche il calore scambiato è zero, mentre per calcolare il calore scambiato nella compressione isobara utilizziamo il primo principio della termodinamica. ato che ΔU in un ciclo, si ha che: J Essendo <, si tratta di calore ceduto.

13 SEONO PRINIPIO ERMOINMI PROEM, moli di gas perfetto monoatomico seguono il ciclo termodinamico come in figura.! alcolare il rendimento del ciclo SOUZIONE Il rendimento de ciclo, per definizione, è dato dalla relazione: η ass Il lavoro è uguale all area racchiusa dal ciclo: 3,3 4 J Il calore viene assorbito soltanto lungo l isocora e lungo l isobara, dove il gas si riscalda: n ( ) n ( ) () p mentre nei tratti e il gas cede calore. Però bisogna prima calcolare la temperatura negli stati,, e. Utilizzando l equazione di stato dei gas perfetti, otteniamo: 3 p,3, 8,3 K 3 p 4,3, 8,3 44K 3 p 4,3 3, 8,3 73 K Pertanto le () assumono i seguenti valori: 3, 8,3 (44 ) 34 J, 8,3 (73 44) 9 J Il calore totale assorbito vale: ass J In conclusione, il rendimento del ciclo assume il valore: η 4 33,74 7,4%

14 SEONO PRINIPIO ERMOINMI PROEM Un motore a benzina a quattro cilindri ha un rendimento di. e produce J di lavoro a ciclo per cilindro. Se la combustione avviene a cicli al secondo, si calcoli: a) la potenza del motore, ovvero il lavoro compiuto dal motore in un secondo; b) il calore totale fornito al secondo dal carburante; c) se l energia contenuta nella benzina è di circa 34 MJ per litro, ed assumendo che tutta l energia si trasformi in calore fornito al motore, quanto tempo dureranno litri di benzina?! SOUZIONE a) Il lavoro fatto dal motore in un ciclo è uguale a quattro volte il lavoro del singolo cilindro: M J ato che in un secondo il motore compie cicli, la potenza è uguale al lavoro fatto in un ciclo moltiplicato il numero di cicli al secondo: P N M 8 kw b) alla definizione di rendimento si ricava che il calore assorbito dal motore in un secondo è dato da: ass M η Poiché il lavoro fatto in un secondo è di kj ( P t kj), si ha: 3 ass, 8 kj c) Se l energia contenuta in un litro di benzina è 34 MJ, l energia contenuta in litri di benzina è: che bruceranno in un tempo pari a: E 34 34MJ t E ass s,8 ore PROEM Un uomo compie un lavoro sviluppando una potenza media pari a 4,9 W, ipotizzando che il rendimento dell'uomo, considerato come una macchina termica, sia costantemente del,%.! alcolare in quante ore l'organismo consumerà, attraverso i processi di metabolizzazione, 3 kcal.

15 SEONO PRINIPIO ERMOINMI SOUZIONE alla definizione di rendimento ricaviamo il lavoro sviluppato dall uomo: η 3 6 η, 3 4,86,9 J alla definizione di potenza ricaviamo il tempo che impiega l organismo dell uomo per consumare 3 kcal: 6,9 P t 4346 s,6 h t P 4,9 h 36 min s