06 - Continuitá e discontinuitá

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1 Università degli Studi di Palermo Facoltà di Economia CdS Sviluppo Economico e Cooperazione Internazionale Appunti del corso di Matematica 06 - Continuitá e discontinuitá Anno Accademico 2013/2014 D. Provenzano

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3 1. Introduzione 2. Definizione e tipi di discontinuitá Si è già osservato che la definizione di ite per x x 0 prescinde dal comportamento della funzione in x 0, ove la funzione potrebbe anche non essere definita. E dunque nel caso in cui x 0 A il valore che la funzione assume in x 0, in generale, non ha nulla a che vedere con il valore del ite della funzione. Il caso in cui il valore della funzione coincide con il valore del ite è strettamente legato alla nozione di continuità. Sia f : A R R una funzione reale di variabile reale, e x 0 sia un punto di accumulazione per A. Definizione Si dice che la funzione é continua in x 0 A se: f(x 0 ) x x 0 Per la continuità di f(x) nel punto x 0 A: - deve esistere il valore della funzione in x 0 - deve esistere finito il ite della funzione per x x 0 - tale ite deve essere uguale a f(x 0 ) Definizione La funzione f è continua in A se è continua in ogni punto di A. La continuità in un estremo di un intervallo si ita all uguaglianza fra il valore della funzione calcolato nell estremo e il solo ite destro o sinistro secondo il caso. Piú precisamente Definizione Se f : A R e A = [a, b] allora f è continua in a (continuitá a destra) se f(a) x a + ed è continua in b (continuitá a sinistra) se f(b) x b 2. Definizione e tipi di discontinuitá Sia f : A R R una funzione reale di variabile reale, x 0 punto di accumulazione per A. Se f non é continua in x 0, allora si dice che x 0 é un punto di discontinuitá per f. É possibile classificare le discontinuitá e piú precisamente si ha: 1) x 0 è un punto di discontinuità einabile o di terza specie se f(x) converge al numero l per x che tende a x 0 e risulta l f(x 0 ). Tale discontinuità potrà essere einata modificando il valore di f(x) nel punto x 0. D. Provenzano 3

4 2. Definizione e tipi di discontinuitá Esempio { 1 se x 0, 3 se x = 0 Figura 1. Discontinuitá einabile La funzione presenta una discontinuità einabile in x = 0. Risulta evidente dal grafico, che 1 f(0) = 3 x 0 Si consideri allora la nuova funzione: { 1 se x 0, 1 se x = 0 f(x) è continua. La discontinuità è stata einata modificando opportunamente il valore della funzione in x = 0. 2) x 0 è un punto di discontinuità di prima specie se esistono e sono finiti: x x 0 l 1 l 2 x x + 0 e risulta l 1 l 2 Esempio { 2x se x < 1, x + 1 se x 1 4 D. Provenzano

5 2. Definizione e tipi di discontinuitá Figura 2. Discontinuitá di prima specie La funzione f(x), rappresentata in figura 2, presenta un punto di discontinuitá di prima specie per x = 1, infatti 2 x 1 2 x 1 + 3) x 0 è un punto di discontinuità di seconda specie se almeno uno dei due iti: x x 0 f(x) non esiste oppure è infinito. f(x) x x + 0 Esempio Si consideri la funzione 1, rappresentata in figura 3, è facile x 1 verificare che 1 x 1 + x 1 = + 1 x 1 x 1 = quindi in x = 1 la funzione presenta un punto di discontinuitá di seconda specie. Anche la funzione, rappresentata in figura 4, definita da D. Provenzano 5

6 3. Teoremi sulle funzioni continue Figura 3. Discontinuitá di seconda specie 1 se x > 0, x 1 se x < 0 presenta un punto di discontinuitá di seconda specie in x = 0. Infatti, 1 x 0 + x = + x 0 1 = 1 3. Teoremi sulle funzioni continue Teorema 3.1. Siano f, g : A R R due funzioni reali di variabile reale. Se f e g sono continue in x 0 A, allora f + g é una funzione continua in x 0 ; f g é una funzione continua in x 0 ; f/g é una funzione continua in x 0, se g(x) 0, x A; f é una funzione continua in x 0 ; c f é una funzione continua in x 0, c R. Definizione Un insieme chiuso e itato si dice compatto. Esempio L insieme {1,2,4,5,7,8} é un insieme compatto. Teorema 3.2. Sia A un intervallo [a,b], f : A R R una funzione reale di variabile reale continua in A, allora f(a) é un intervallo. 6 D. Provenzano

7 3. Teoremi sulle funzioni continue Figura 4. Discontinuitá di seconda specie Teorema 3.3 (Teorema di Darboux). Sia A un intervallo [a,b], f : A R R una funzione reale di variabile reale continua in A, allora la funzione f assume tutti i valori compresi tra f(a) e f(b). Teorema 3.4 (Teorema degli zeri). Sia A un intervallo [a,b], f : A R R una funzione reale di variabile reale continua in A, se f(a) f(b) < 0, allora esiste almeno un punto x ]a, b[ tale che 0. Teorema 3.5 (Teorema di Weierstrass). Sia A un intervallo [a,b], f : A R R una funzione reale di variabile reale continua in A, allora esistono almeno due punti α e β A tale che f(α) =minf(a) e f(β) =maxf(a). Teorema 3.6 (Teorema della permanenza del segno). Sia A un intervallo [a,b], f : A R R una funzione reale di variabile reale continua in x 0 A, e f(x 0 ) > 0, allora esiste un intorno del punto x 0, I(x 0 ), tale che x I(x 0 ), f(x) > 0. D. Provenzano 7