MATEMATICA 5 PERIODI

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1 BACCALAUREATO EUROPEO 2010 MATEMATICA 5 PERIODI DATA : 4 Giugno 2010 DURATA DELL ESAME: 4 ore (240 minuti) MATERIALE AUTORIZZATO: Formulario delle scuole europee Calcolatrice non grafica e non programmabile NOTE: Risolvere tutti e quattro i problemi obbligatori. Indicare i due problemi scelti, fra i tre a scelta, mettendo una croce sulle caselle che trovate nell apposito modulo che vi è stato fornito. Utilizzare, per ogni problema, fogli d esame diversi. Pagina 1/8 IT

2 PROBLEMA OBBLIGATORIO 1. ANALISI Considerare la funzione f definita da 2 x 1 f( x). 2 x a) i. Determinare il dominio di f, gli intervalli in cui essa cresce o decresce e un equazione di ciascuno degli asintoti del grafico di f. ii. Tracciare il grafico di f. b) i. La tangente al grafico di f nel punto ( 1, 2) interseca l asse delle x nel punto A e l asse delle y nel punto B. Calcolare la lunghezza del segmento AB. ii. Calcolare l area della regione di piano delimitata dal grafico di f, dall asse x e dalle rette di equazione x = 1 e x = 2. 5 punti 1 punto Pagina 2/8

3 PROBLEMA OBBLIGATORIO 2. ANALISI Durante una reazione chimica viene prodotta una nuova sostanza. Dopo t secondi, la massa di sostanza prodotta è m grammi. La funzione mt () soddisfa la seguente equazione differenziale: 2 dm (50 m). dt 500 a) Risolvere questa equazione differenziale sapendo che, all istante t = 0, si ha m = 0. 6 punti b) i. Calcolare la massa di sostanza prodotta dopo 100 secondi. 2 punti ii. Calcolare l istante in cui la massa di sostanza prodotta è 40 grammi. iii. Dimostrare che la massa di sostanza prodotta dalla reazione non può mai superare i 50 grammi. 2 punti 2 punti Pagina 3/8

4 PROBLEMA OBBLIGATORIO 3. GEOMETRIA Punteggi In uno spazio munito di un sistema di coordinate ortonormali, considerare i punti: O(0, 0, 0), P (1, 1, 3), Q (1, 5, 2), R (0, 3, 1), S (1, 4, 1). a) i. Dimostrare che la retta OP è perpendicolare alle rette OQ e OR. ii. Determinare un equazione cartesiana del piano QOR e dedurre che S appartiene a questo piano. b) i. Calcolare la distanza tra il punto P e il piano QOR. ii. Calcolare l area del triangolo SPR. 4 punti Pagina 4/8

5 PROBLEMA OBBLIGATORIO 4. PROBABILITA Quattro carte sono estratte a caso, una dopo l altra, senza rimpiazzo, da un mazzo di dieci carte numerate da 1 a 10. a) i. Calcolare la probabilità che tutti i numeri estratti siano minori o uguali a 6. ii. Calcolare la probabilità che il prodotto dei quattro numeri estratti sia un numero pari. b) i. Calcolare la probabilità che il secondo, il terzo e il quarto numero estratti siano maggiori di 1 del numero che li ha preceduti nell estrazione. ii. Si sa che i primi due numeri estratti sono pari. Calcolare la probabilità che ogni numero estratto sia pari. 4 punti Pagina 5/8

6 PROBLEMA A SCELTA I. ANALISI Considerare la funzione f definita da : 2 f ( x) ( 2x 4 x)e x. a) i. Determinare gli zeri di f, gli intervalli in cui f è crescente o decrescente le coordinate degli estremi relativi del grafico di f. 7 punti ii. Studiare il comportamento della funzione f (x) per x e per x. Determinare un equazione di ogni asintoto. b) i. Dimostrare che l equazione della tangente t al grafico di f in x può essere scritta come y x. e e ii. Calcolare l ampiezza dell angolo acuto formato da t con l asse x. 2 punti c) i. Tracciare il grafico di f e la tangente t sullo stesso sistema di riferimento cartesiano. ii. Determinare i valori di b e c tali che F x x 2 bx c 2 e x sia una primitiva di f (x). iii. Calcolare l area della regione di piano delimitata dal grafico di f e dalla tangente t. 4 punti Pagina 6/8

7 PROBLEMA A SCELTA II. PROBABILITA Un indagine sulla popolazione U degli utenti dei mezzi di trasporto pubblico di una grande città ha stabilito che: Il 40% di U sono uomini e il 60% di U sono donne. Il 25% degli uomini di U e il 50% delle donne di U possiedono un abbonamento. a) Una persona è scelta a caso da U. i. Dimostrare che la probabilità che questa persona possieda un abbonamento è 0.4. ii. Sapendo che questa persona non ha un abbonamento, calcolare la probabilità che sia un uomo. b) Dieci persone sono scelte a caso da U. Calcolare la probabilità che: i. esattamente 6 di queste dieci persone possiedano un abbonamento. ii. almeno 2 di queste dieci persone possiedano un abbonamento. c) Un campione casuale di 200 persone è estratto da U. Sia X la variabile casuale che descrive il numero di persone di questo campione che possiedono un abbonamento. i. Individuare la distribuzione di probabilità di X e calcolare la media e la deviazione standard di X. ii. Calcolare P(60 X 100) usando un opportuna approssimazione. Giustificare l uso dell approssimazione scelta. iii. Usando la stessa approssimazione, calcolare il minimo valore dell intero k che soddisfa PX ( k) punti 5 punti Pagina 7/8

8 PROBLEMA A SCELTA III. GEOMETRIA In uno spazio munito di un sistema di coordinate ortonormali, considerare: Il piano : x 2y 3z 12 La sfera S : x y z x y z I punti A(12, 0, 0), B(0, 6, 0), C(0, 0, 4), P(5, 1.5, 5). a) Determinare le coordinate dei punti di intersezione di con gli assi x, y e z. b) I punti A, B, C e l origine O sono i vertici di una piramide a base triangolare. Calcolare il volume di questa piramide. c) i. Determinare un equazione cartesiana della sfera che passa per i vertici della piramide OABC. Verificare che tale sfera è S. ii. Verificare che il centro di S è esterno alla piramide OABC. iii. Il piano interseca la sfera S in un cerchio. Calcolare le coordinate del centro e il raggio di questo cerchio. 2 punti 5 punti 4 punti d) i. Dimostrare che il punto P è interno alla sfera S. 2 punti ii. Q è il punto della superficie della sfera S che è più vicino al punto P. Calcolare le coordinate del punto Q. iii. Il piano ha solo il punto Q in comune con la sfera S. Determinare un equazione cartesiana di. Pagina 8/8