Il prodotto di tre numeri in progressione aritmetica è 16640, il più piccolo è 20. Calcolare i tre numeri.

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1 Scrivi i primi termini delle seguenti successioni: =1; =; = + Individua la legge che genera ognuna delle seguenti successioni: -1,, -, 4, -5, In una progressione aritmetica la somma del primo, quarto, settimo termine è 0. Se da questa somma sottraiamo il doppio del quinto termine otteniamo il quarto diminuito di 6. Calcolare il primo termine e la ragione. Il prodotto di tre numeri in progressione aritmetica è 16640, il più piccolo è 0. Calcolare i tre numeri. In un certo istante di una gara di corsa le distanze in metri di tre corridori dal traguardo sono in progressione aritmetica. Se la distanza del più arretrato è doppia di quella del più avanzato, calcolare le tre distanze, nell'ipotesi che la loro somma sia di 90 km. Scrivi i primi termini delle seguenti successioni: a = a =a a Individua la legge che genera ognuna delle seguenti successioni: 0,,,, La somma di 4 numeri in progressione aritmetica è e la somma dei loro quadrati è 166. Calcolare i quattro numeri. Trovare quattro numeri in progressione geometrica, tali che la somma dei medi sia 1 e quella degli estremi 18. Un quadrilatero ha tre angoli in progressione aritmetica e il quarto angolo di 165. Se il terzo angolo è quadruplo del primo, determinare gli angoli del quadrilatero.

2 1Siano date le funzioni= +5 =6 +4 h =5 7 calcolare i seguenti limiti:1a lim 1 lim 1c lim 1 lim Calcolare il limite della seguente funzione che presenta forme d indeterminazione. lim lim 9 Calcolare i limiti nei punti di discontinuità, agli estremi del dominio e rappresentare il tutto graficamente. 5 = lim 1 1Siano date le funzioni f x =x x+9 g x =x 4x e h x = 7x +x calcolare i seguenti limiti: 1a lim 1 lim h 1c lim 1 lim h Calcolare il limite della seguente funzione che presenta forme d indeterminazione Calcolare i limiti nei punti di discontinuità, agli estremi del dominio e rappresentare il tutto graficamente. 5 = lim 1+

3 Studiare la funzione: =, trascrivere i risultati e fare la rappresentazione grafica: Dominio: (indicare l intervallo del campo di esistenza) Segno della funzione: (espresso come intervallo) pari Funzione simmetrica SI Funzione dispari No Intersezione con gli assi cartesiani: Condizioni agli estremi del dominio: (calcolo dei limiti) Asintoti verticali: Asintoti orizzontali o obliqui Calcolo della derivata prima: Intervallo di crescenza e di decrescenza: Punti di minimo e di massimo: Grafico

4 Studiare la funzione: =, trascrivere i risultati e fare la rappresentazione grafica: Dominio: (indicare l intervallo del campo di esistenza) Segno della funzione: (espresso come intervallo) pari Funzione simmetrica SI Funzione dispari No Intersezione con gli assi cartesiani: Condizioni agli estremi del dominio: (calcolo dei limiti) Asintoti verticali: Asintoti orizzontali o obliqui Calcolo della derivata prima: Intervallo di crescenza e di decrescenza: Punti di minimo e di massimo: Grafico

5 1. Si lanciano tre dadi. Calcolare la probabilità che si abbiano: a) Tre facce uguali. b) Tre numeri la cui somma è sei oppure 8. c) Tre numeri pari o tre numeri divisibili per. + = ( 6,6,6) pari e divisibili per d) Almeno un sei R. a) b) c) d) Risolvere la seguente equazione x x x x = 0 1 x x + 8 R: 4. In una fabbrica due macchine A e B confezionano un certo prodotto. La macchina A confeziona il 60% della produzione e la macchina B il rimanente. Le confezioni della macchina A sono per l 80% perfette, mentre quelle della macchina B lo sono per il 60%.Se si sceglie a caso una confezione e questa risulta perfetta, qual è la probabilità che provenga dalla macchina A? Teorema di Bayes R: / 4. In una scommessa un giocatore riscuote 8,50 in caso di vincita, mentre paga,50 in caso di perdita. Determinare la probabilità che bisogna attribuire all evento vincita e all evento perdita perché il gioco sia equo. R: 4/1 9/1

6 1. Da un mazzo di 40 carte se ne estraggono successivamente tre senza rimettere ogni volta la carta estratta nel mazzo. Calcolare la probabilità che si tratti di: a) Tre fanti b) Tre carte di denaro o tre sette c) Di figure e un asso d) Due re e un fante oppure tre quattro. Risolvere la seguente equazione x x x+ 1 + = x x x 1 R: 4. Un candidato ha probabilità pari a 0,8 di avere la sufficienza nella prova scritta. Se ha la sufficienza nello scritto,la probabilità di vincere il concorso è 0,7; se è insufficiente nello scritto la probabilità di vincere è 0,4. Se il candidato vince il concorso, qual è la probabilità che sia stato insufficiente nello scritto? Teorema di Bayes R: 1/8 4. In un gioco tra due persone si lanciano due dadi. La prima persona vince se escono due numeri la cui somma è almeno 10.Determinare la posta della prima persona ammettendo che la somma delle poste sia 14,50 e che il gioco sia equo. R: 5.000

7 1. Un urna contiene 60 palline numerate da 1 a 60.Estraendo contemporaneamente palline, calcolare la probabilità di trovare: a) Due numeri pari b) Due numeri divisibili per 6 c) Un numero divisibile per 5 e uno non divisibile per 5. R: Probabilità totale e composta: a) 9/118 b) /118 c) 96/95. Risolvere la seguente equazione x+ x+ 1 x+ 1 = R: indeterminata. Tre macchine H 1, H e H producono rispettivamente il 50%, 0% e 0% del numero totale dei pezzi prodotti da una fabbrica. Le percentuali dei pezzi difettosi di queste macchine sono, rispettivamente, il %, il 4% e il 5%. Viene estratto un pezzo a caso: determinare la probabilità che esso sia difettoso e provenga dalla macchina H 1. Teorema di Bayes R: 0,07 prob. difettoso 4. Due giocatori, A e B, partecipano ad un gioco nel quale si lanciano due dadi: A vince se escono due numeri la cui somma è 11;B vince in caso contrario. Supposto che il giuoco sia equo e che il monte premi sia di 18,00 determinare le poste di A e di B. R:

8 1. Calcolare il seguente integrale mediante integrazione immediata x ( 1+ x ) dx = x+ + k. Calcolare il seguente integrale per decomposizione (divisione, somma di frazioni ) x + x x dx = + 4x+ 5l nx + k x. Calcolare il seguente integrale per sostituzione lnx dx x 1 = l n x+ k 4. Calcolare il seguente integrale per parti x x x x e dx = x e xe + e x + k 5. Calcolare il valore del seguente integrale razionale: 4 +4 = 4 + =ln + 6. Calcolare l area della regione di piano delimitata dalla parabola di equazione = e la retta di equazione =. [ R: intersezioni ( 5 + 5; 5+ ) ;( 5+ 5; 5+ ) Area = = 109,5 ]

9 1. Calcolare il seguente integrale mediante integrazione immediata 1 1 4x + x dx = x x + k x x. Calcolare il seguente integrale per decomposizione (divisione, somma di frazioni ) x+ dx = x+ 4l n( x 1) + k x 1. Calcolare il seguente integrale per sostituzione 1 4 x dx = + 6 ( 4x ) k 4. Calcolare il seguente integrale per parti x x l nxdx = x lnx + k Calcolare il valore del seguente integrale razionale: = 1 + = ln + 6. Calcolare l area della regione di piano delimitata dalla parabola di equazione = + e la retta di equazione = 6. [ R: intersezioni (-;-1) ( ; 0) Area = ]

10 E data la seguente tabella della produzione, nel settore laniero, di filati pettinati per maglieria (in migliaia di tonnellate). (ISTAT, Annuario stat. it. 00, Tav. 14.7) N.b.: Assegnare all anno 1998 valore 1, all anno 1999 valore Calcolare: a) il valore medio della produzione con la media aritmetica, la media quadratica, la moda e la mediana; b) lo scarto quadratico medio e gli scostamenti lineari medi (semplice e quadratico) dalla media aritmetica. c) rappresentare graficamente le frequenze percentuali. E data la seguente tabella della rilevazione dei redditi di 100 contribuenti (in migliaia di euro) Costruire l'area di concentrazione e calcolare il rapporto di concentrazione.

11 E data la seguente tabella della rilevazione del numero dei figli di un campione di 100 famiglie di una città. Determinare: a) il numero medio di figli con la media aritmetica, la media quadratica, la mediana e la moda: b) lo scarto quadratico medio e gli scostamenti lineari medi (semplice e quadratico) dalla media aritmetica. c) rappresentare graficamente le frequenze assolute. È data la seguente tabella della distribuzione dei comuni della Lombardia per classe di ampiezza demografica dell'anno 009 ( -lombardia.it). Costruire l'area di concentrazione e calcolare il rapporto di concentrazione.