Lezione 10 Moto dei fluidi

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1 Lezione 10 Moto dei fluidi

2 Caratterizzazione del moto Consideriamo soltanto il caso di liquidi in moto nei condotti. Parametri descrittivi del moto: Portata Q di un condotto: è il volume di liquido che attraversa una sezione del condotto in 1 s. In pratica: Q misura la quantità di liquido che fluisce attraverso una qualunque sezione del condotto in un fissato intervallo di tempo. Si misura in m 3 /s. Si scrive Q=Sv (S = area della sezione, v=velocità di efflusso).

3 Leggi di conservazione conservazione della massa costanza della portata In un condotto senza ingressi né uscite la portata si mantiene costante: Q = S v = S v Dimensioni fisiche: [Q]=[L 3 T -1 ]

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5 Portata cardiaca Q c = è il volume di sangue che attraversa in 1 secondo una sezione dell aorta. Tipicamente in un adulto Q c =5 litri/min=83 cm 3 /s. Introducendo la frequenza cardiaca f = numero di battiti al secondo e la gittata sistolica G s = volume di sangue espulso dal ventricolo in ogni secondo si ha: Q c = G s f

6 Esercizio 1 Valutare la gittata sistolica in un adulto. Assumiamo Q c =83 cm 3 /s e f=75 battiti/min=75/60 battiti/s= 1.25 battiti/s. Si ha: G s = Q c / f =66.4 cm 3 /battito.

7 Esercizio 2 Calcolare la velocità media del sangue nell aorta utilizzando per la portata il valore Q=83 cm 3 /s e per il raggio dell aorta r=1cm. Si ha: v = Q/S = Q/( r 2 )= 83/(3.14) cm/s=26.4 cm/s. Si noti che la velocità calcolata è una velocità media rispetto al tempo perché il moto del sangue è pulsatile e non stazionario per cui la velocità cambia periodicamente nel tempo.

8 Liquidi ideali Per un liquido ideale (incomprimibile e privo di attrito interno o viscosità) si ha: conservazione dell energia meccanica legge di Bernoulli. PV+1/2 m v 2 +mgh= costante P=pressione del liquido, V=volume della particella di liquido, m=massa della particella, h=quota della particella rispetto ad un piano orizzontale di riferimento.

9 Conseguenze della legge di Bernoulli In un liquido in un condotto orizzontale (h=fissata e costante) la legge di Bernoulli diventa P (S h) +1/2 m v 2 = costante V = S h che è una relazione tra sezione del condotto, pressione e velocità del liquido. Pertanto, se in una sezione del condotto aumenta la velocità (perché diminuisce la sezione) in generale - diminuisce anche la pressione (effetto Venturi).

10 Attacco ischemico transitorio

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13 Applicazioni biomediche In un vaso sanguigno, un deposito alteroschelorotico sulle pareti fa aumentare la velocità per cui la pressione dimuisce. Viceversa nel caso di un aneurisma (dilatazione della parete arteriosa) la velocità del sangue diminuisce e la pressione aumenta, favorendo così ulteriori dilatazioni.

14 Liquidi reali in moto in condotti cilindrici Per descrivere il comportamento dei liquidi reali si introduce il coefficiente di viscosità: che praticamente è una misura dell attrito interno del liquido.. N.B. La viscosità si misura in dyn s/cm2=g/(cm s)=poise.

15 Legge di Hagen-Poiseuille Consideriamo un liquido viscoso in moto in un condotto cilindrico di sezione costante di raggio R. Siano S 0 ed S 1 due sezioni distanti L tra loro e siano P 0 la pressione nel liquido su S 0 e P 1 la pressione nel liquido su S 1. La portata del condotto è data dalla legge di Hagen- Poiseuille: Q= R 4 (P 0 -P 1 ) / (8 L) La portata è maggiore quanto maggiori sono la differenza di pressione tra gli estremi del condotto ed il raggio; si riduce se aumenta la lunghezza tra gli estremi o la viscosità. Se P 0 =P 1 il liquido non fluisce.

16 Unità di misura della viscosità Dalla legge di Hagen-Poiseuille Q= R 4 (P 0 -P 1 ) / (8 L) si ha m 3 s -1 = m 4 Pa /([ ] m)= m 3 Pa /[ ] da cui [ ]= Pa s Una unità pratica spesso utilizzata è il Poise (P): 1 P= 0.1Pa s

17 Legge di Hagen-Poiseuille A parità di altre condizioni la legge di Hagen-Poiseuille dipende fortemente dal raggio R; infatti R figura alla quarta potenza e dunque piccole variazioni di R provocano anche grandi variazioni della portata. R R / 2 Q Q / 16. Questo fatto ha grande importanza per la regolazione della distribuzione del sangue nelle diverse parti del corpo a seconda del momento. Infatti il sistema arterioso è costituito da condotti le cui pareti dispongono di uno strato muscolare: la contrazione o il rilascio di questo strato determina una variazione del raggio del vaso e pertanto influenza molto la portata.

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19 Il sangue Il sangue non è un liquido omogeneo ma è costituito da una componente corpuscolare (per lo più eritrociti) immersa in una soluzione acquosa di sali e molecole organiche detto plasma. La viscosità del sangue dipende fortemente dalla componente corpuscolare ed aumenta al crescere dell ematocrito (volume percentuale di sangue occupato dagli eritrociti). Per valori normali di ematocrito la viscosità del sangue è circa Pa s mentre quella del plasma intorno è circa Pa s.

20 Legge dei gas Per via dell agitazione termica, nei gas le particelle hanno distanze medie molto grandi; pertanto le forze intermolecolari sono praticamente nulle ed ogni particella è praticamente indipendente dalle altre. Mancando le forze intermolecolari un corpo (insieme di particelle) non può restare insieme. Se si vuole che ciò avvenga occorre confinarlo in un certo volume.

21 Modificando questo volume poi il gas si adatta mostrando variazioni di altre grandezze che lo caratterizzano: pressione, temperatura, etc.

22 Gas perfetti Nei gas molto rarefatti, cioè con densità molecolare molto bassa, le molecole sono così distanti l una dall altra da poter essere considerate non interagenti. In queste condizioni il comportamento di un gas non dipende dalle molecole di cui esso è composto, ovvero caratterizza un gas perfetto o ideale. La legge (equazione di stato) che lega P,V,T in un gas perfetto è la seguente: P V = n R T P = pressione, V = volume, n = numero di moli, R = costante di Rydberg=8.31 J/(mol K), T = temperatura assoluta=t+273.

23 Esercizio

24 Casi particolari L equazione di stato dei gas perfetti nei casi particolari di pressione, volume o temperatura costante si riduce alle forme seguenti: P=costante Legge di Charles-Gay Lussac V=V 0 (1+ T), =1/273, V=costante Legge di Volta-Gay Lussac P=P 0 (1+ T), T=costante Legge di Boyle PV=costante.

25 Miscele Quanto detto finora vale per un gas costituito da una sola specie molecolare. Per una miscela (più specie molecolari) valgono considerazioni analoghe; ad esempio la pressione a livello microscopico è sempre dovuta agli urti contro le pareti del recipiente ma ogni specie molecolare dà il proprio contributo. Si introduce pertanto il concetto di pressione parziale. L aria che respiriamo è una miscela di azoto (78%), ossigeno (20.9%), argon (0.9%), anidride carbonica (0.2%).