SPAZI VETTORIALI. 1. Spazi e sottospazi vettoriali

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1 SPAZI VETTORIALI 1. Spzi e sottospzi vettorili Definizione: Dto un insieme V non vuoto e un corpo K di sostegno si dice che V è un K-spzio vettorile o uno spzio vettorile su K se sono definite un operzione di somm in V, + : V V V ed un prodotto esterno, : K V V, per le quli vlgono le seguenti otto proprietà: Proprietà dell somm: 1. v, w, z V si h: (v + w) + z = v + (w + z) (proprietà ssocitiv); 2. v V 0 v V v + 0 v = v (esistenz di un elemento neutro); 3. v V v 1 V v + v 1 = 0 v (esistenz di un opposto); 4. v, w V si h: v + w = w + v (proprietà commuttiv). Le proprietà 1 4 sseriscono che (V, +) è un gruppo belino. Proprietà del prodotto per un K: 1. v V e, b K si h: (bv) = (b) v; 2. v V si h: 1 v = v. Proprietà distributive: 1. v V e, b K si h: ( + b) v = v + bv; 2. v, w V e K si h: (v + w) = v + w. Dll definizione di spzio vettorile seguono: I. Il vettore nullo di V, che indicheremo con 0 v, è unico; II. Per ogni v V il suo opposto, che indicheremo con v, è unico e questo è ugule ( 1)v. Si scrive: v + ( v) = v v e w + ( v) = w v; III. v = 0 v = 0 k oppure v = 0 v ; IV. Si h (v) = ( v) = (-) v K e v V. Dti n vettori v 1, v 2,, v n V e n sclri 1, 2,, n K il vettore v = 1 v v n v n si chim combinzione linere di v 1, v 2,, v n con coefficienti 1, 2,, n ed pprtiene V. - Spzi vettorili - 55

2 Sottospzio: Dto uno spzio vettorile V su un cmpo K, si dice che S, con S V, è un sottospzio di V se S è uno spzio vettorile su K rispetto lle operzioni di V. Teorem: Si S V. S è un sottospzio di V se e solo se, b K e u, v S, si h u + bv S. Dimostrzione: Se S è un sottospzio di V risult che u, bv S e quindi u + bv S. Vicevers se u + bv S, risultno definite in S le stesse operzioni definite in V e quindi l somm è ssocitiv e commuttiv. Per = b = 1 si h u + v S, per b = 0 si h u S, per = b = 0 segue 0u = 0 v S. Le ltre proprietà vlgono in S in qunto vlgono in V. Dl teorem precedente segue che S è un sottospzio di V se e solo se: 1) u, v S u + v S; 2) K e u S u S; 3) 0 v S. Osservzioni: 1) Ogni sottospzio di V deve necessrimente contenere il vettore nullo 0 v. Quindi se 0 v S V llor S non è sottospzio di V. 2) Dll definizione e dl teorem precedente segue che in ogni spzio vettorile il vettore nullo costituisce d solo un sottospzio, detto sottospzio nullo. V stesso è un sottospzio. Questi due sottospzi {0 v }, V sono detti sottospzi bnli. Teorem di intersezione dei sottospzi: Se S e T sono sottospzi di V, llor S T è un sottospzio di V. S V, T V, con S, T sottospzi S T sottospzio di V. Dimostrzione: Se u, v S T si h u, v S e u, v T; quindi poiché S e T sono sottospzi,, b K, segue u + bv S e u + bv T. Questo implic che u + bv S T. - Spzi vettorili - 56

3 Dl precedente teorem segue: Teorem: Se A 1, A 2,,A k sono sottospzi di V, llor A 1 A 2 A k = k A è un sottospzio di V. i=1 i Teorem di unione dei sottospzi: Sino S e T sottospzi di V. S T è sottospzio di V S T oppure T S. Dimostrzione: Se S T [T S] si h S T = T [S T = S] che è un sottospzio di V. Vicevers se S T è sottospzio di V si possono presentre i seguenti csi: 1) 2) 3) S T T S V V S. v. u T V Nei primi due csi il teorem è ovvio. Il terzo cso non si può presentre. Inftti se v S e v T, si h v S T e nlogmente se u T S, si h che v S T e u S T e quindi u + v S T. Cioè u + v è un elemento di S o di T. Se u + v S si vrebbe v 1 = u + v, u = v 1 v cioè u srebbe elemento di S il che è ssurdo. Anlogmente se u + v T si vrebbe u 1 = u + v, v = u 1 v cioè v srebbe elemento di T il che è ssurdo. Sino S e T due sottospzi di V. si chim somm di S e T l insieme S + T = { s + t s S, t T}. L insieme S + T è formto d tutti i vettori di V che sono somm di (lmeno) un vettore s di S e di un vettore t di T. L insieme S + T è un sottospzio di V, in qunto se v 1 e v 2 S + T, 1, 2 K segue 1 v v 2 S + T. Inftti d v 1 = s 1 + t 1 e d v 2 = s 2 + t 2 segue 1 v v 2 = 1 (s 1 + t 1 ) + 2 (s 2 + t 2 ) = ( 1 s s 2 ) + ( 1 t t 2 ) S + T poiché 1 s s 2 S e 1 t t 2 T. L somm S + T di due sottospzi si dice dirett e si scrive S T se ogni v S + T, si può scrivere in modo unico come somm di un vettore di S ed uno di T. - Spzi vettorili - 57

4 Teorem di crtterizzzione dell somm dirett: S + T = S T S T = {0 v } Dimostrzione: Se S + T = S T (cioè ogni vettore di S + T si può scrivere in modo univoco come somm di un vettore di S e uno di T) si h che S T = {0 v }. Inftti se esistesse v 0 v S T, potendosi scrivere v = v + 0 v con v S e 0 v T e v = 0 v + v con 0 v S e v T, e cioè in modo non univoco, si h un ssurdo. Se S T = {0 v }, supponimo che l somm S + T non si dirett. Allor esiste v S + T tle che v = s + t e v = s 1 + t 1 s + t = s 1 + t 1. Allor u = s s 1 = t 1 t con s s 1 S e t 1 t T, quindi u S T, e, per l ipotesi, u = {0 v }. Allor s s 1 = 0 v e t 1 t = 0 v e quindi s = s 1 e t = t Genertori e vettori linermente indipendenti Fissti v 1, v 2,, v n V, l insieme dei vettori di V che sono combinzioni lineri di v 1, v 2,, v n, cioè l insieme dei vettori del tipo 1 v v n v n con i (i = 1 n) K si suole indicre con L(v 1, v 2,, v n ) = { 1 v v n v n, i K} Teorem: 1) L(v 1, v 2,, v n ) è un sottospzio di V. Per dimostrre che L(v 1, v 2,, v n ) è un sottospzio di V bisogn verificre che se u, v L(v 1, v 2,, v n ) llor, per ogni, b K, si h u + bv L(v 1, v 2,, v n ). Pertnto se u = 1 v v n v n e v = b 1 v 1 + b 2 v b n v n, si h : u + bv = ( 1 v v n v n ) + b (b 1 v 1 + b 2 v b n v n ) = = 1 v v n v n + bb 1 v 1 + bb 2 v 2 +b + bb n v n = = ( 1 + bb 1 ) v 1 + ( 2 + bb 2 ) v ( n + bb n ) v n L(v 1, v 2,, v n ) c.v.d. 2) v 1, v 2,, v n L(v 1, v 2,, v n ) Inftti: v 1 = 1v 1 + 0v v n v 2 = 0v 1 + 1v v n... v n = 0v 1 + 0v v n - Spzi vettorili - 58

5 3) Se W è un sottospzio di V tle che W {v 1, v 2,, v n } llor W L(v 1, v 2,, v n ) Inftti se v L(v 1, v 2,, v n ) llor v = 1 v v n v n. Essendo W un sottospzio esso contiene ogni combinzione linere dei suoi elementi, e poiché fr questi vi sono v 1, v 2,, v n ne viene che 1 v v n v n = v W. Il precedente teorem ci dice che L(v 1, v 2,, v n ) è un sottospzio di V, contiene v 1, v 2,, v n e fr tutti i sottospzi di V contenenti v 1, v 2,, v n, esso è il minimo, cioè quello che è contenuto in tutti gli ltri. Posto S = L(v 1, v 2,, v n ) si dice che S è generto d v 1, v 2,, v n, o che v 1, v 2,, v n generno S, o nche che { v 1, v 2,, v n } è un sistem di genertori di S. Se L(v 1, v 2,, v n ) = V, si dice nche che V è finitmente generto. Risult: V è generto d v 1, v 2,, v n 1) v 1, v 2,, v n V e 2) v V è combinzione linere di v 1, v 2,, v n. Esempi In R 2 sono dti i vettori v 1 = (1, 2), v 2 = (2, 1), v 3 = (1, 1). Risult R 2 = L(v 1, v 2, v 3 ). Inftti dto un qulunque vettore (, b) di R 2 l relzione xv 1 + yv 2 + zv 3 = v = (, b) è verifict d infinite terne (x, y, z) in qunto si h: (, b) = x (1, 2) + y (2, 1) + z (1, 1) = (x + 2y + z, 2x + y z) x + 2y + z = che mmette 2x + y z = b infinite soluzioni. Risult R 2 = L(v 1, v 2 ) in qunto si h: v = (, b) = x (1, 2) + y (2, 1) = (x + 2y, 2x + y) x + 2y = 2x + y = b che mmette l soluzione 2b x = 3 b 2 y = 3 Osservimo che v 3 = xv 1 + yv 2 inftti (1, 1) = x (1, 2) + y (2, 1); per x = 1, y = 1; (1, 1) = 1 (1, 2) +1(2, 1) = (1, 1). - Spzi vettorili - 59

6 D questo esempio segue che: - Se d un insieme di genertori ggiungimo ltri vettori si ottiene sempre un sistem di genertori; - Se d un sistem di genertori si eliminno lcuni vettori che sono combinzione linere degli ltri, si ottiene un insieme di genertori. Non tutti gli spzi vettorili sono generti d un numero finito di vettori ( finitmente generti ), cioè non sempre si h che V = L(v 1, v 2,, v n ). Esempi 1) Lo spzio K[x] non è finitmente generto. Inftti se p 1, p 2,, p n sono n polinomi ed r è il loro mssimo grdo, si h che L(p 1, p 2,, p n ) non contiene polinomi di grdo > r e poiché in K[x] vi sono polinomi di grdo > r si h che K[x] L(p 1, p 2,, p n ). Ciò prov che nessun sottoinsieme finito di K[x] gener K[x], cioè K[x] non è finitmente generto. 2) Lo spzio K r [x] è finitmente generto. Inftti un suo qulsisi vettore si può esprimere come combinzione linere dei polinomi 1, x, x 2 x r. Cioè K r [x] = L(1, x, x 2 x r ). 3) Lo spzio K n è finitmente generto d n vettori. Inftti sino e 1 = (1, 0,, 0), e 2 = (0, 1, 0,, 0),, e n = (0, 0,, 1) si h che v = (x 1, x 2,, x n ) = (x 1, 0,, 0) + (0, x 2,, 0) + + (0,, x n ) = x 1 e 1 + x 2 e x n e n. 4) Lo spzio K m,n è nch esso finitmente generto. Un insieme di genertori è costituito dlle m n mtrici venti un solo elemento ugule 1 e gli ltri uguli 0. Per m = n = 2 si h K 2,2 e un vettore di tle spzio è Le 4 mtrici E 11 =, E 12 = 0 0, E 21 = 0 0, E 22 = 1 0, costituirnno un 0 1 sistem di genertori, inftti si h: = 11 E E E E Spzi vettorili - 60

7 Vettori linermente indipendenti I vettori v i (i = 1 n), si dicono linermente indipendenti se l relzione 1 v v n v n = 0 v è ver soltnto qundo tutti gli i = 0. In tl cso l insieme {v i } dicesi libero. In cso contrrio i vettori si dicono linermente dipendenti. Osservzione. L nozione di vettori linermente dipendenti e linermente indipendenti non dipende dll ordine dei vettori. Proprietà 1) Un insieme costituito d un solo elemento è linermente indipendente se esso è diverso d 0 v (inftti se v 0 v, v = 0 v solo se = 0), mentre è linermente dipendente se esso è 0 v (inftti 0 v = 0 v con 0). 2) L insieme {0 v, v 1, v 2,, v n } non è l.i. : cioè un insieme contenente 0 v è l.d. n Σ i =1 3) Se v = ivi llor {v, v 1, v 2,, v n } non è libero (inftti vendosi v = 1 v n v n si h 1 v v n v n v = 0 v e gli sclri non sono tutti nulli). 4) Se {v 1, v 2,, v n } sono linermente dipendenti, llor uno di essi è combinzione linere dei rimnenti. In prticolre se due vettori v 1 e v 2 sono linermente dipendenti, llor uno 2 dei due è multiplo dell ltro. 1 v v 2 = 0 v ; 1 v 1 = 2 v 2 ; v 1 = v 2. 5) Se n vettori sono lin. ind. llor p di essi con p < n, sono lin. ind. Esempio: i vettori di R 3 v 1 = (1, 0, 0), v 2 = (1, 1, 0), v 3 = (1, 1, 1) sono linermente indipendenti (inftti 3 0 R = v 1 + bv 2 + cv 3 = (1, 0, 0) + b (1, 1, 0) + c (1, 1, 1) = ( + b +c, b + c, c) c = 0, b = 0, = 0). Anche i vettori v 1, v 2 oppure v 1, v 3 oppure v 2, v 3 (cioè due di essi) risultno 3 linermente indipendenti. Inftti 0 R = v 1 + bv 2 = (1, 0, 0) + b (1, 1, 0) = ( + b, b, 0) = 0, b = 0. 6) Se r vettori sono linermente dipendenti e si ggiungono d essi ltri vettori si ottiene un insieme di vettori sempre linermente dipendenti. Esempio: i vettori di R 3 v 1 = (1, 2, 0), 3 v 2 = (0, 0, 1), v 3 = (2, 4, 3) sono linermente dipendenti (inftti è 2v 1 + 3v 2 v 3 = 0 R 2 (1, 2, 0) + 3 (0, 0, 1) (2, 4, 3) = (0, 0, 0)). Anche i vettori v 1, v 2, v 3, v 4 = (1, 2, 5), v 5 = (0, 1, 0) sono ncor linermente dipendenti. 3 Inftti si h: 2v 1 + 3v 2 v 3 + 0v 4 + 0v 5 = 0 R. 1 - Spzi vettorili - 61

8 7) Se {v i } i = 1 n, sono linermente indipendenti llor ogni loro combinzione linere si scrive in un unico modo, e vicevers; {v i } l.i. v = i v i è unico. Dimostrzione: Se fosse v = n Σ i = 1 ivi e v = n Σ i = 1 b ivi si vrebbe ( 1 b 1 ) v 1 + ( 2 b 2 ) v ( n b n ) v n = 0 e, per l indipendenz dei vettori v 1, v 2,, v n, è 1 b 1 = 0 2 b 2 = 0... n b n = 0 cioè 1 = b 1, 2 = b 2, n = b n Vicevers se ogni combinzione linere dei v i è unic, d 0 = 1 v v n v n essendo nche 0 = 0v 1 + 0v v n, segue 1 = 2 = = n = Bsi e dimensione Definizione di bse: Un insieme ordinto di vettori di V, ( v i ), si dice che è un bse di V se i v i sono linermente indipendenti e se formno un sistem di genertori per V. Teorem di crtterizzzione delle bsi: B = ( v i ) i = 1 n è un bse di V v V si può scrivere in un solo modo nell form v = Σ i v i. Dimostrzione: Se B = ( v i ) i = 1 n è un bse di V si h che i v i sono linermente indipendenti e generno V. Allor un qulunque vettore v V si può scrivere in mnier unic nell form v = 1 v v n v n. Vicevers se, qulunque si v V, si h v = 1 v v n v n ne segue che (v 1, v 2,, v n ) sono genertori di V e per l unicità dell rppresentzione risultno linermente indipendenti. Se B = ( v i ) è un bse un unic n upl ( 1, 2,, n ) K n tle che v = 1 v v n v n. Gli sclri ( 1, 2,, n ) sono detti componenti del vettore v rispetto B. A volte si scrive ciò nel seguente modo: v = ( 1, 2,, n ) B. Teorem: Se (v 1, v 2,, v n ) è un bse di V llor {v, v 1, v 2,, v n } è un insieme di vettori linermente dipendenti, v V. D questo teorem segue il seguente corollrio. - Spzi vettorili - 62

9 Corollrio: Se (v 1, v 2,, v n ) è un bse di V, llor non esistono in V più di n vettori lin. ind. Segue che se V h un bse di n vettori llor ogni insieme di vettori lin. ind. è finito ed h l più n elementi. Teorem: Se {v 1, v 2,, v n } è un insieme di genertori di V, esso contiene un bse B di V. V = L(v 1, v 2,, v n ) B {v 1, v 2,, v n }. L dimostrzione si bs sul metodo degli scrti successivi. Dl teorem segue che ogni spzio finitmente generto h un bse. Teorem (completmento di un insieme libero un bse): Si V uno spzio vettorile finitmente generto, se v 1, v 2,, v n sono lin. ind. llor esiste un bse B di V contenente tli vettori. [v 1, v 2,, v n l. i. B {v 1, v 2,, v n } B]. Dimostrzione: Inftti se {v 1, v 2,, v r } sono linermente indipendenti e {e 1, e 2,, e i } è un insieme di genertori di V, llor {v 1, v 2,, v r, e 1, e 2,, e i } generno V e quindi d essi si può estrrre un bse con il metodo degli scrti successivi. Poiché v 1, v 2,, v r sono lin. ind. si scrternno solo degli e i m non dei v r, ottenendo un bse in cui v 1, v 2,, v r sono i primi r elementi. In relzione questi ultimi due teoremi esiste un lemm dovuto Steinitz che mette in relzione un insieme di vettori linermente indipendenti (libero) qulsisi di V e un insieme di genertori qulsisi di V. Lemm di Steiniz: Se {v 1, v 2,, v m } è un insieme libero di V e {w 1, w 2,, w n } è un insieme di genertori di V, llor m n. - Spzi vettorili - 63

10 Il precedente lemm ci permette di dimostrre il seguente Teorem di equicrdinlità delle bsi: Se B = (v 1, v 2,, v n ) è un bse di V, llor tutte le bsi di V hnno lo stesso numero n di vettori. Dimostrzione: Sino B = (v 1, v 2,, v m ) e C = (w 1, w 2,, w n ) due bsi di V. Per il lemm di Steiniz: essendo B un insieme di genertori e C un insieme libero si h che m n n = m essendo B un insieme libero e C un insieme di genertori si h che n m Dicesi dimensione di uno spzio vettorile V finitmente generto il numero n dei vettori di un su qulsisi bse: si scrive dim V = n. Se V è uno spzio vettorile di dimensione n le tre proposizioni risultno equivlenti. 1) B = (v 1, v 2,, v n ) è un bse; 2) B è libero; 3) B è un insieme di genertori. Esempi 1) dim R n = n; 2) dim K n,m = m n; 3) dim K r [x] = r + 1. Per convenzione l dimensione dello spzio nullo è zero. Bse dello spzio vettorile nullo è l insieme vuoto. Teoremi sull dimensione dei sottospzi 1) Teorem: Si V uno spzio vettorile di dimensione n. Se W è un sottospzio di V, si h: 1) dim W n; 2) dim W = n W = V. Inftti 1) Essendo dim V = n, segue che non esistono in V, e quindi in W, n + 1 vettori linermente indipendenti. Allor dim W n 2) Se dim W = n, esiste in W un bse B = (w 1, w 2,, w n ). Poiché W V, i vettori w 1, w 2,, w n sono n vettori di V lin. ind., dunque formno un bse di V. Segue W = V. 2) Teorem: dim (S + T) = dim S + dim T dim S T. Nel cso prticolre che S + T è un som dirett, si h dim S T = 0 quindi dim S T = dim S + dim T. - Spzi vettorili - 64

11 Se V = S T, llor un bse di V si può ottenere come unione di un bse B 1 di S e un bse B 2 di T. Inftti qulunque v V si scrive in modo unico come somm di un vettore di S ed uno di T. Poiché ciscuno di questi due vettori si scrive in modo unico medinte i vettori rispettivmente di B 1 e di B 2 ne viene che un qulunque v V si scrive in modo unico come combinzione linere dei vettori di B 1 e di B 2. - Spzi vettorili - 65